Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

Решение задачи начнем с вычисления математического ожида­ ния myit) процесса Y(t). По определению имеем myit) = M{Y(t)} = = M{AX(t)}, Оператор усреднения М, как и оператор А, является линейным, причем оба оператора действуют в одном и том же функциональном пространстве случайных процессов. Поэтому, хотя в общем случае линейные операторы не коммутативны, в данном случае можно изменить последовательность их действия и записать ту{0 =AM{X(t)}, что приводит к первому важному ре­ зультату:

Ковариационную функцию Kyitj, tj) процесса Y(t) ищем, ис­ пользуя тот же принцип рассуждений. По определению Ky{ti, tj) = = М{Г°(//)Г°(/))}. Так как Г°(0 = Y{t) - mj{t) ^AX(t) -Amx{t) = =-Ar{t), получаем ЛГ^//, tj) = М{ДТ°(//)4-ЛГ°(0}, где индексы у операторов подчеркивают, по каким переменным (// или tj} они действуют. Снова изменяя последовательность действия операто­ ров Л/, Ai и Ар получаем второй важный результат:

и, как следствие, Dy{t) = Ky{t, t).

Поиск взаимных ковариационных функций не будем сопро­ вождать развернутыми комментариями:

Ку)({и. tj) = M{Y^{t,)X\tj)) = M{AiX\ti)X\tj)) = AiKxiti, tj), (4.26) KxYitb tj) = M{X%t,)Y^{tj)} = M{X%tdAjX^{tj)) = AjKxiti, tj). (4.27)

Аналогичным образом решается задача поиска вероятност­ ных характеристик процесса У(/), полученного преобразованием двух случайны^ процессов X{t) и Z{t) соответственно линейными операторами Л^и 5 по правилу

У(0 = AX{t) + BZ{t).

Прежняя методика преобразований позволяет установить, что:

my{t)^Am^t) + Bmz^t),

Kyitb tj) = AiAjK^ti, tj) + ABjKxziti, tj) + BiAjKzxiti, tj) +B^Kz(tb tj),

180

KY^U, tj) = AiKxiU, tj) + BiKz)({tb tj),

Kyzktb tj) = AiKxz{ti, tj) + BiKz^tb tj),

Kxyitb tj) = AjKxiU, tj) + BjKxzitb tj),

KzM tj) = AjKzx{tb tj) + BjKz{ti, tj),

где символика обозначений не требует дополнительных поясне­ ний.

4.8. Преобразование случайного процесса оператором свертки

Оператор свертки является частным сл^-чаем линейного операто­ ра, широко применяемым при исследовании самых разнообраз­ ных динамических процессов и явлений, математическая модель которых представлена линейным дифференциальным или разно­ стным уравнением с постоянными (для простоты) параметрами. Природа оператора такова.

Пусть два случайных процесса Y{t) и ДО связаны друг с дру­ гом дифференциальным уравнением вида

где y^^^(t) — производная /-го порядка и n < т. Такие уравнения принято называть стохастическими. Изучение современной тео­ рии стохастических уравнений требует высокой математической культуры, и мы не будем в нее погружаться, ограничив рассмот­ рение стандартными приемами интегрирования дифференци­ альных уравнений в рамках операционного подхода (см. прило­ жение 1). Преобразовав это уравнение по Лапласу при отсутствии искусственных ограничений на начальные условия, сведем его к следующему алгебраическому соотношению:

A{s)

где s - комплексная переменная Лапласа, y(s) — изображение функции y(t), x(s) — изображение функции x(t), A(s) = ^о + ais +

181

+ a2S^ + ... + aj", B{s) = Z>o -+• ^i^^ + bis^ + ... + bm^. Чтобы из (4.29) выразить функцию y{i), необходимо это выражение подвергнуть обратному преобразованию Лапласа, которое на основании од­ ного из свойств преобразования Лапласа можно представить в виде

где k{t) - обратное преобразование Лапласа от функции W{s). Выражение (4.30) и принято называть оператором свертки. Таким образом, оператор свертки является одной из форм представле­ ния решения дифференциального уравнения (4.28) при отсутст­ вии предварительных ограничений на начальные условия.

Итак, теперь предположим, что X{f) - случайный процесс с известными числовыми характеристиками и связан с процессом Y(t) оператором (4.30). Необходимо найти аналогичные характе­ ристики процесса Y{t) и установить статистическую связь между обоими процессами. Поиск решения задачи проводим в соответ­ ствии с общими результатами (4.24)—(4.27):

Если процесс X(t) является стационарным, эти выражения упрощаются:

182

t

1. mY{t) = mx\k(\x)d\i\

0

00

3. Dy(t) = !fk(v)k(^)Kx(y''li)dlidv;

00

4. /:лт(//, 0)=/A:([x)i:x(T-fx)d^;

0

5. KYx(ti,tj) = lk(v)Kx(T-^v)dv.

Эти равенства показывают, что в общем случае процесс Y(t) даже при стационарном процессе X(t) является нестационарным. Однако существуют условия, при выполнении которых процесс Y(t) при достаточно больших //, tj становится стационарным.

Пусть процесс X{t) — стационарный и k(t) —> О при / -^ ©о таким образом, что все интегралы в предьщущих выражениях сходятся при t, ti, tj-^ оо. Можно показать, что сходимость интегралов обес­ печивается, если все корни уравнения A(s) = О, называемого ха­ рактеристическим, имеют отрицательные вещественные части. Тогда:

183

Таким образом, при выполнении указанных условий процесс Y{t), будучи при малых t нестационарным, со временем «превра­ щается» в стационарный с перечисленными характеристиками. В этом, как говорят, установившемся режиме можем дополнитель­ но определить его спектральную плотность

= Щ—yco), окончательно находим

Syico) = lV(j(oW(-J(o)Sx((^)

(4.31)

|2

= |^(усо)р^дг(со) = ВОЪ)Жусо) Sx((^l

Таким образом, если эндогенная и экзогенная переменные связаны друг с другом дифференциальным уравнением (4.28), эк­ зогенная переменная представляет собой стационарный случай­ ный процесс со спектральной плотностью Sxi(i^) и корни характе­ ристического уравнения имеют отрицательные вещественные ча­ сти, то спектральная плотность эндогенной переменной в уста­ новившемся режиме достаточно просто выражается через спект­ ральную плотность экзогенной переменной и параметры уравне­ ния (4.28).

Аналогичные соотношения можно установить и для случай­ ных последовательностей 7^, А'^, « = О, 1, 2, ..., связанных друг с

184

другом линейным разностным уравнением к-то порядка с посто­ янными параметрами:

= ЬоХп + biXn+i + b2Xn+2 + .- + brrpcn+m. к>т.

Подвергнув это уравнение при отсутствии умышленных огра­ ничений на начальные условия ^-преобразованию (см. приложе­ ние 1), получим, подобно (4.29),

где y{z), x(z) — изображения соответственно функций у„, х^ и Aiz) = «о + aiz + a2Z^ + ... + д^^, B(z) = 6о + biz + Z^2^ + ... + b^z!^. Пе­ реходя от (4.33) в область оригиналов, получаем

/=0

что является оператором свертки, отождествляемым с решением разностного уравнения (4.33). Решетчатая функция ki в (4.34) яв­ ляется оригиналом изображения W{z)- Последующая работа с оператором (4.34) проводится точно так же, как и с оператором (4.30), но в конечных соотношениях интегральные операции сле­ дует заменить суммированием. Так как соответствующее редак­ тирование сложностей не порождает, приведем окончательные результаты для случая стационарной случайной последователь­ ности X/, / = О, 1, 2, ... при дополнительном ограничении: корни характеристического уравнения A{z) = О по модулю меньше еди­ ницы, что обеспечивает сходимость соответствующих рядов и позволяет представить:

185

v=0

Эти соотношения, как и их непрерывные аналоги, напомним, относятся к установившемуся режиму, в котором процесс 1/ можно рассматривать как стационарный. В предшествующем пе­ реходном режиме последовательность У^ является нестационар­ ной. Подвергнув ковариационную функцию К}{т] двустороннему ^-преобразованию, найдем спектральную плотность процесса 1/, относящуюся к установившемуся режиму:

Снова, изменив последовательность операций суммирования и обозначив X — ц + V = Y, получим

ц=0 v=0

(4.35)

.-Ь

A(z)A(z-^)

Соотношение (4.35), таким образом, позволяет найти спект­ ральную плотность случайной последовательности }^, если зада­ но разностное уравнение (4.32) и известна спектральная плот­ ность Sxiz) последовательности Х^.

4.9. Формирующие фильтры

При разработке математических моделей стохастических процес­ сов важную роль играет понятие формирующего фильтра. С ма­ тематической точки зрения под формирующим фильтром пони­ мают некоторое стохастическое уравнение, решение которого, будучи обусловленным порождающим белым шумом, представ-

186

ляет собой случайный процесс с заданными вероятностными свойствами. Универсального отработанного способа построения такого уравнения нет, однако для процессов с дробно-рациональ­ ными спектральными плотностями соответствующая методоло­ гия известна. Рассмотрим вначале случай непрерывного случай­ ного процесса.

Пусть Y(t) — стационарный случайный процесс со спектраль­ ной плотностью iSj^co). Ранее уже отмечалось, что эта плотность является четной функцией частоты со и для большинства имею­ щих практическую значимость процессов аппроксимируется дробно-рациональным выражением

ДсоЪ

где С((о^) = Со + cico^ + сгсо'* + ... + с^со^"^, Дсо^) = do + dxix?'4+ ^/20' + ...+ 4co^^A2>w.

Характерная особенность многочленов, зависящих от четных степеней аргумента со, проявляется в том, что их можно предста­ вить в виде произведения двух одинаковых многочленов, но один из которых зависит отусо, а второй — от (—усо). Например, а^ + со^ = = (а + усо)(а + (—/со)). Это позволяет представить С(со^) = = 5(/со)5(~усо), Дсо ) = ^(/co)v4(-yco), где 5(/со) и Л(/со) - многочле­ ны поусо соответственно порядков тип. Подобную операцию принято называть факторизацией. В случае ее проведения полу­ чим факторизованную спектральную плотность

Сопоставим это выражение и ранее полученное выражение (4.31). Если в (4.31) положить -5';^<со) = 1, то оба выражения совпа­ дают, причем соотношение (4.31) получено на основе уравне­ ния (4.28) при предположении, что X(t) является случайным про­ цессом со спектральной плотностью i^j^co). Следовательно, и (4.36) можно считать результатом, порожденным уравнением (4.28), но при условии, что процесс X(t) имеет единичную спект­ ральную плотность 5Y(CO) = 1. Как уже отмечалось, таким процес-

187

COM является белый шум с единичной интенсивностью. Но тогда процесс Y(t) можно интерпретировать как решение уравнения (4.28), в котором левая и правая части построены по результатам факторизации (4.36), при порождающем белом шуме ДО с еди­ ничной интенсивностью. Это уравнение при такой его содержа­ тельности и принято называть формирующим фильтром. Процеду­ ра его построения, таким образом, сводится к следующему. Про­ водится факторизация заданной спектральной плотности ^^со), следствием чего являются многочлены .4(/со) и 5(/со). Технология этой операции отработана, содержится, например, в [7] и может быть усовершенствована с привлечением современных вычисли­ тельных возможностей. Полезно обратить внимание на то, что при правильно выполненной факторизации корни многочленов A(s) и B(s) имеют отрицательные вещественные части. По резуль­

белый шум с единичной интенсивностью, то это уравнение и бу­ дет представлять собой формирующий фильтр. Заметим, что если природа уравнения (4.28) не связана с результатами факториза­ ции, но X{t) — белый шум, то это уравнение позволяет белый шум преобразовать в процесс Y{t), не обязательно стационарный, со свойствами, определяемыми операторами А(р) и В(р).

Подобная идея построения формирующего фильтра распро­ страняется и на случайные последовательности, но здесь форми­ рующий фильтр отождествляется не с дифференциальным, а с разностным стохастическим уравнением и дискретным белым шумом. В основе соответствующего подхода лежит соотношение (4.35), вытекающее из разностного уравнения (4.32). Итак, пусть рассматривается случайная последовательность J^, / = 1, 2, ... с известной спектральной плотностью Syiz), построенной в соот­ ветствии с (4.22). Функции Sy^iz) и SY^(Z~^) обычно являются дробно-рациональными функциями аргументов zn z"^ соответ­ ственно, причем нули и полюсы функции Sy^iz) лежат внутри ок­ ружности единичного радиуса. Если правую часть в выражении функции Syiz), соответствующем определению (4.22), привести к общему знаменателю, то снова получим дробно-рациональное выражение. Его знаменатель представляет собой произведение двух одинаковых многочленов, но один из них зависит от^, а вто­ рой — от г~^ В числителе же окажется так называемый возврат-

188

ный многочлен вида qoz"^ + Q\Z~^^^ + ..• + Qk-iz"^ + ^^ + Qk-\Z + ...

+ ^i^~^ + QQZ!^. Особенность таких многочленов проявляется в том, что их можно представить в виде произведения двух одина­ ковых многочленов, из которых один зависит от z, а второй - от z~^ Для этого достаточно вычислить корни многочлена, разло­ жить его на элементарные сомножители, сгруппировать сомно­ жители, содержащие корни, по модулю меньшие единицы, и со­ множители с большими по модулю корнями и затем преобразо­ вать к требующемуся виду. Например: Iz"^ + 5 + 2г = 2z~ (г^ +

+ 1^+1) = 2z^\z + ^ )(z + 2) = 2(z + I )(1 + 2z-^) = 2(z +

+ - )2(г"^ "*" 7 )' искомые сомножители 2(z + Ч ) ^ 2(z~^ "*" 9" ^•

С использованием современных вычислительных средств подоб­ ную процедуру несложно реализовать для возвратных многочле­ нов произвольного порядка. В результате этой процедуры, кото­ рую также называют факторизацией, спектральную плотность Sy(z) удается представить в виде

A{z)A{z-'^)

где A{z) — знаменатель функции Sy^iz), B(z) — результат факториза­ ции ее числителя.

Из сопоставления выражений (4.37) и (4.35) следует, что при S)^z) = 1 оба выражения совпадают. Но соотношение (4.35) полу­ чено на основе разностного уравнения (4.32), в котором последо­ вательность Xi принималась случайной стационарной со спект­ ральной плотностью S]^z). Тогда выражение (4.37) можно также считать следствием уравнения (4.32), но для последовательности Jf/, имеющей единичную спектральную плотность. Такой после­ довательностью является дискретный белый шум с ковариацион­ ной функцией К^т\ = 5^^ о и» *^^к следствие, со спектральной плотностью S^z) ~ 1. Стохастическое разностное уравнение (4.32), в котором последовательность Jf/ принимается дискрет­ ным белым шумом с единичной интенсивностью, принято назы­

вать дискретным формирующим фильтром для стационарно

случайной последовательности со спектральной плотностью

189