Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

пример, в [14], и опустим соответствующие пространные ком­ ментарии.

Определение 3.1. Множество Л, элементами которого являют­ ся вещественные функции (для определенности, времени t) или временные последовательности с установленными соотношени­ ями между элементами, будем называть вещественным функцио­ нальным пространством.

Определение 3.2. Функциональное пространство 3 называют линейным, если для любых двух элементов u(t) и v(t) из этого про­ странства (т.е. u(t), v(t)e 3) и любых чисел Xj, ^2 GR линейная комбинация z(t) = X]w(/) + X2v(t) также принадлежит мно­ жеству 3.

Вэтом определении операции умножения функций на число

исложения функций понимаются в обычном алгебраическом смысле (в этом же смысле указанные операции понимаются и да­ лее).

Определение 3.3. Линейное функциональное пространство 3 называется нормированным, если существует правило, ставящее в соответствие каждому элементу Д/)^ 5 вещественное число, на­ зываемое нормой (или длиной) функции ДО? символически обозначаемое \\f{t)\\ и удовлетворяющее трем аксиомам нормы ко­ нечномерных линейных пространств [14]:

1.11Д011 > О приЛО ^ О и 11Д011 = О «ЛО = 0; 2.||V(0ll = W«A0l|npHVXGR;

3. Г(0 + у(011 ^ 11Д011 + \Ш1 при \/у(0,Л0^3

Определение 3.4. Функциональное пространство 3 называет­ ся метрическим, если существует правило, ставящее в соответст­ вие любым двум функциям u(t) и v(/) из Л неотрицательное веще­ ственное число, называемое метрикой (расстоянием) простран­ ства Л, символически обозначаемое p{u(t), v(/)) и удовлетворяю­ щее трем аксиомам метрики конечномерных линейных прост­ ранств [14]:

l.p(w(0,v(0) = 0«w(0 = v(0;

2.p(u(t), v(0) = p(v(/), «(/));

3.p(u(t), v(0) < p{u{t), z(t)) + pizit), v(0).

Определение 3.5. Линейное функциональное пространство 3 называется евклидовым (или пространством со скалярным произ-

110

ведением), если существует правило, ставящее в соответствие любым двум функциям u(t) и v(0 из Л вещественное число, назы­ ваемое скалярным произведением функций u(t) и v(/), символичес­ ки обозначаемое (w(0, v(/)) и удовлетворяющее четырем аксио­ мам скалярных произведений конечномерных линейных прост­ ранств [14]:

1.(^(0, v(0) = (v(/),t/(0);

2.(^(0 + z(th v(/)) = (u(t), v(/)) + (z(0, v(0);

3.(Xu(t), v(0) = X (u(t), v(0) при VAG R;

4.(w(0, w(0) > 0 при M(0 9t 0 И (u(t), u(t)) = 0^w(0 = 0.

Если в линейном функциональном пространстве определено скалярное произведение, то обычно принимают:

и в зависимости от способа определения скалярного произведе­ ния получают те или иные норму и метрику. В таком случае гово­ рят, что норма (метрика) порождена скалярным произведением. Заметим, что если отвлечься от математической аккуратности мышления, то норму можно интерпретировать как своеобразную меру «величины» функции и указать, какая функция по норме больше, а какая меньше. С аналогичной степенью строгости ме­ трику можно рассматривать как «расстояние» между двумя функ­ циями.

Для функциональных пространств одной из фундаменталь­ ных является проблема сходимости последовательности элемен­ тов этого пространства.

Определение 3.6. Пусть {fnit)}°°n = i ~ последовательность функ­ ций из метрического пространства 3. Если для Ve > О ЗЛ^(8) > О та­ кое, что при всех п > Л/^выполняется р(/п(0,ЛО) "^ £» где/(Ое Л, то говорят, что последовательность {fn(t)}°°n = i в метрике простран­ ства Л сходится к функцииДО^Д

Другими словами, последовательность функций {fn(0}'^n=\ сходится в метрике пространства Л к функции^/) из этого прост­ ранства, если Итр(/^(0,ЛО) == О при л —> оо. Это означает, что с ростом п «расстояние» между элементами последовательности

111

{fn{t)} и функцией ДО становится сколь угодно малым. Если не возникает недоразумений, то в подобных случаях пишут: fnit) -^At) при п-^оо.

Если пространство нормировано и метрика порождена нор­ мой, то в случае lim ||/« (0-/(011=0 говорят, что последователь-

ность {fn{t)} ПО норме сходится к/(0. в последующем, как прави­ ло, именно в этом смысле будем понимать сходимость.

Определение 3.7. Последовательность функций {^(0}°°л = i из метрического пространства 3 называют последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью, если для Ve > О 3iV(e) > О такое, что для всех т,п> Щг) выполняется нера­ венство pifniiOJniO) < е.

У фундаментальной последовательности, таким образом, «расстояние» между ее элементами при достаточно больших но­ мерах элементов становится сколь угодно малым.

Утверждение 3.1. Если некоторая последовательность {^(0}°^=lC:Л, где Л— метрическое пространство, сходится к функ­ ции f{t)G Д то эта последовательность является фундаменталь­ ной.

Действительно, пусть последовательность {^(0}°^=ic:5 схо­ дится к функции ДО^ 3. Это значит, что при Ve > О 3N{E) > О та­ кое, что при п > iV справедливо неравенство p(fn(t),f{t)) < е. Так

равенство pifmit), fn(0) ^ 2е, т.е. при достаточно больших п, т «расстояние» между любыми двумя элементами сходящейся по­ следовательности становится сколь угодно малым. Но в соответ­ ствии с определением 3.7 последовательность {/«(0}°^=i тогда яв­ ляется фундаментальной.

Сходящаяся последовательность, таким образом, всегда фун­ даментальная. Но фундаментальная последовательность функ­ ций, в отличие от числовой последовательности, оказывается не всегда сходящаяся. В некоторых метрических пространствах уда­ ется построить такие последовательности Коши, которые не схо­ дятся ни к какой функции из этого пространства. Вместе с тем су­ ществуют и пространства, в которых фундаментальные последо­ вательности оказываются сходящимися, причем сходящимися

112

именно к какому-либо элементу этого же пространства. Такие пространства принято выделять в самостоятельный класс.

Определение 3.8. Если в метрическом пространстве 3 любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого же пространства, то пространство 3 называется

полным.

Определение 3.9. Нормированное линейное пространство, полное относительно метрики p(w(/), v(/)) = \\u{t) — v(/)||, порож­ денной его нормой, называется банаховым пространством.

Определение 3.10. Линейное функциональное пространство 3 со скалярным произведением (w(0, v(0) называется гильберто­ вым, если оно полно относительно нормы, порожденной его ска­ лярным произведением.

Таким образом, если в нормированном пространстве «рассто­ яние» между функциями определено через норму пространства и любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится по норме к элементу этого пространства, то такое нор­ мированное пространство принято называть банаховым. Если дополнительно функциональное пространство является евкли­ довым, норма в нем выражена через скалярное произведение и любая фундаментальная последовательность по этой норме схо­ дится к некоторому элементу этого пространства, то такое евкли­ дово пространство называют гильбертовым.

3.2.2. Пространство L2

Абстрактные функциональные пространства в эконометрических приложениях не находят широкого применения. Обычно ис­ пользуют множества с конкретным заданием скалярного произ­ ведения, нормы и метрики. Распространенным множеством та­ кого вида является пространство Li.

Определение 3.11. Функция^/) называется функцией с интег­ рируемым квадратом, или квадратично интегрируемой на отрезке [/ь /2], если

h

т.е. интефал существует и конечен.

113

Квадратично интефируемые функции обладают рядом полез­ ных для последующего свойств. В частности:

1) квадратично интегрируемая функция является интегрируе­ мой;

2)произведение двух квадратично интегрируемых функций является интегрируемой функцией;

3)сумма двух квадратично интегрируемых функций является квадратично интегрируемой функцией;

4)если ЛО квадратично интефируема, то и ХДО квадратично интегрируема, где Хе R.

Таким образом, линейная комбинация квадратично интефируемых функций является квадратично интефируемой, а это зна­ чит, что множество квадратично интефируемых функций образу­ ет линейное пространство.

Определим на множестве квадратично интефируемых функ­ ций следующую интефальную операцию над некоторыми функ­ циямиДО и u(t):

h

где |х(0 - произвольная положительная интефируемая функция.

Несложно убедиться, что выражение (3.9) удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произведения и, следовательно, является скалярным произведением в линейном пространстве квадратично интефируемых функций.

Определение 3.12. Линейное функциональное пространство, состоящее из квадратично интефируемых на [^i, /2] функций, со скалярным произведением (3.9) называется пространством L2.

Норма и метрика в этом пространстве определяются соответ­ ственно выражениями:

114

в евклидовом пространстве, как известно, выполняются не­ равенства Коши—Буняковского и треугольника (Минковского имеющие в общем случае соответственно вид:

m.u{t))4m.At)){u{t\u{t)\

ид/) + ^/(/)||<||Д011 + И/)||.

в пространстве L2 эти неравенства таковы:

h

jV(0(/(0 + w(0)^d/ < jj^i(0/(0^cir +\]\i{t)u{t)^dt. (3.13)

Доказывается (например, [14]), что пространство bi является полным, т.е. представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением (3.9). Во многих случаях принимается |Li(0 = 1, и тогда приведенные соотношения упрощаются.

Сходимость последовательности функций {fn{i)Yli=\^^i к функцииУ(0^ L2 понимается в смысле равенства

lim||Li(/)(/,(/)-/(/))2d/ = 0,

и в этом случае говорят, что последовательность функций

{fn{t)Tn^\ сходится к функцииЛО в среднеквадратическом смысле.

3.2.3. Ортогональные и ортонормировонные системы функций

Рассмотрим некоторую систему функций \fn{t)Y°n = 1 ^^2, te {t\, ^2], у которой ни одна из функций тождественно не обращается в нуль на [t\, tj\.

Определение 3.13. Система функций {fn{t)Y^=^ 1 называется линейно независимой на отрезке [^ь /2]^ ^сли любая конечная сово-

115

купность этих функций/х! W'/cx2 ^^)' '•">fan(0 являстся линейно

Отметим, что в функциональных пространствах в общем слу­ чае можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых функций. Поэтому такие пространства (в том числе и hi) называют бесконечномерными.

Определение 3.14. Система функций {4(0}"^ = i называется ор­ тогональной на отрезке [/], /2], если любые две функции/(О, J^CO (/ ^j) из этой системы обладают свойством: (fi{t),fj{t)) = 0. Сами функции в этом случае также называются ортогональными.

Определение 3.15. Система функций {fn{t)Y°n = 1 называется ортонормированной на отрезке [t\, ti], если любые две функцииУ/(0, fj{t) из этой системы ортогональны и каждая из них имеет единич­ ную норму, т.е.

[1, /=У.

В этом случае говорят, что сама функция нормирована. Ортогональную систему функций легко превратить в орто-

нормированную путем перехода к функциям fi (t) = fi(t)/^t)\\, /=1,2,.... Ортогональная система функций является линейно не­ зависимой. Действительно, рассмотрим равенство SP//)(0 = 0.

Умножив обе его части скалярно на функцию/|;(/), с учетом орто­ гональности получим РА:11/А:(01Г ~ О => РА: ~ О? Т.е. линсйная комби­ нация ортогональных функций обращается в нуль только при равных нулю весовых коэффициентах, что является признаком линейной независимости. Опять же, любую линейно независи­ мую систему функций с помощью специальной операции ортогонализации можно превратить в ортогональную или в ортонормированную.

Определение 3.16. Ортогональная (ортонормированная) сис­ тема функций называется полной в Li, если в этом пространстве нет ни одной функции, кроме нулевой, которая была бы ортого­ нальна ко всем функциям данной системы.

Доказывается, что в пространстве L2 существуют полные ор­ тогональные системы функций. Приведем рад таких систем, характерных для приложений.

116

1. Основная тригонометрическая система функций

1, cos/, sin/, cos 2/, sin 2/, cos3/, sin3/,....

Система является ортогональной на отрезке [—тс, я]. Действи­ тельно, пусть / Ф], Тогда при ц(/) == 1

(cos//, COS Jt)= j COS it COS jt d/ = - / (cos(/-y)/+cos(/ + y))d/ = 0,

—-rr - ^ —TT

(1, cos//)= J cos//d/ = 0,

- Я

я

(1, sin//)= J sin//d/=0.

- Я

Система не нормирована, так как

l|l|hJj^d/=V2^,

II cos //11= I J (cos //)^d/ = л/я,

-т=-, -T=cos/, -p^sin/, -?=cos2/, -r=-sin2/, -j=cos3/, -7=sin3/, ... .

V27C л/тс л/тс л/тс л/тс л/тс л/тс

117

2. Тригонометрическая система общего вида

1, cos (О/, sin (О/, cos 2со/, sin 2Ш, cos ЗсоГ, sin Зсо/,....

Система ортогональна на отрезке " 2 ' 2 |, где 7" = —. Дока­

зательство аналогично предыдущему. Ортонормированная триго­ нометрическая система общего вида такова:

7 ^ ' J-^ cos со/, J~sino)/, J ^ cos 2(0/, J~sin2co^

^~cos3co/, ^ ^ sin 3(0/,

3. Многочлены Чебышева первого рода Т^О)

Эти многочлены задаются рекуррентным правилом r,+i(o = 2tTr,{t) - т; _ i(o,« = 1,2,3,...

при начальных условиях 7о(0 — \,T\(t) — t. Они являются ортого­ нальными на отрезке [—1, 1] с весом jbi(/) = l/Vl-/^, причем

Ортогональные многочлены Чебышева, таким образом, име­ ют вид:

-^го(о, ^т), ^т,т, ^т,....

4. Многочлены Чебышева второго рода 1/^(0

задаются рекуррентным соотношением

Un+i(t) = 2tU„(t) -Un- i(0, At = 1, 2, 3,...

118

при начальных условиях t/o(/) = 1, U{(t) = 2/. Эти многочлены ор­ тогональны на отрезке [—1, 1] с весом ц(0 = V1 -/^, при этом

О, /Vy,

(f/ДО, Uj(t))= J Vb^f//(/)f/y(Od/ =

Ортонормированная система имеет вид

^Uo(t), ^U,it), ^U,it), ^U,it), ...

5. Многочлены Лежандра Р/О, вычисляемые по правилу

при начальных условиях Ро(0 = 1^ Pi(0 ~ ^- Многочлены Лежанд­ ра ортогональны на отрезке [-1, 1] с весом ^i(/) = 1, причем

что позволяет построить ортонормированную систему многочле­ нов Лежандра:

jjPoit), ]|л(/), j^Piit), -J|P3(0,....

В прикладных задачах находят применение и другие системы функций: многочлены Эрмита, многочлены Лагерра, функции Радемахера, функции Хаара, функции Уолша и др. Заметим, что все перечисленные системы функций, исключая функции Раде­ махера, являются полными.

119