Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

матрицу Фишера, воспользовавшись вторым определением из (2.10). Прежде всего необходимо найти условную плотность экс­ периментальных данных /.сив). Если в модели наблюдений (2.4) вектор в зафиксирован, то природа «случайности» вектора у по­ рождена аналогичным качеством вектора е, так как иных источ­ ников случайности в этой модели нет. Поэтому вектор >? при фик­ сированном в будет также гауссовским с ковариационной матри­ цей о^Е и математическим ожиданием Ч'в, что непосредственно следует из (2.4). Таким образом,

ПуЩ = Nyi'VQ, о^Е) => In 1(у\в) = const - 0,5а-^|1у - Тв|р,

где через const обозначено независимое от в слагаемое. Дважды продифференцировав последнюю функцию по в (см. (2.14)), найдем

Но этот результат полностью совпадает с ковариационной матрицей ошибки оценивания (2.27). Следовательно, при гауссовских некоррелированных экспериментальных ошибках нера­ венство Рао — Крамера вырождается в равенство, соответствую­ щее точной нижней фани неравенства, а это и является призна­ ком эффективности МНК-оценки в указанных условиях.

2.3.3. МНК-оценки параметров производственной функции Кобба - Дугласа

В качестве своеобразной иллюстрации техники построения МНК-оценок рассмотрим одну частную, но важную для многих эконометрических приложений задачу.

Производственными функциями принято называть соотноше­ ния между используемыми в производстве материальными и тру­ довыми ресурсами (обобщенно — производственными ресурса­ ми) и выпускаемой продукцией. Пусть некоторое предприятие (отрасль, объединение, фирма и т.п.) в течение определенного промежутка времени производит q наименований продукции со­ ответственно в количествах wi, W2, ..., Ug, представленных в нату­ ральных единицах измерения или в денежном эквиваленте. Что­ бы производить эту продукцию, необходимы S видов ресурсов со-

50

ответственно в количествах vi, V2, ..., v^, также представленных в определенных единицах измерения. Тогда неявная функция

F(u,v,A)^0,

связывающая вектор выпускаемой продукции м = [«j W2 ... w^]^, вектор используемых ресурсов v = [vi V2 ... vj и вектор а = [ai ai... йр]^ параметров, представляет собой производствен­ ную функцию. Причина для включения вектора параметров в со­ став производственной функции та же, что и в случае регресси­ онной модели: точно указать характер аналитической зависимос­ ти между векторами и и v невозможно; однако можно предвидеть параметрический класс функций, которому принадлежит произ­ водственная функция; в последующем эти параметры можно оценить по результатам надлежащим образом поставленного экс­ перимента. Суть последнего может заключаться в следующем: регистрирз^отся объемы выпускаемой продукции при различных объемах используемых ресурсов, что приводит к массиву экспе­ риментальных данных, подобному (1.1), (1.2); на основе этих данных находятся, например, МНК-оценки вектора а.

В настоящее время наиболее часто производственные функ­ ции применяют при решении однопродуктовых экономических задач \q- 1) с несколькими материальными и трудовыми ресур­ сами (^ > 1). В этом случае и = и — скалярная величина, и произ­ водственную функцию, разрешив относительно w, представляют в виде

и=Ду, а)

ичасто называют функцией выпуска.

Вид функцииУ(.) не может быть совершенно произвольным. Она должна удовлетворять определенным условиям. Вот некото­ рые из них.

1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного из ресурсов, т.е.

ЛО, V2, V3,..., v^, а) =y(vb О» ^з, ...,v^, а) = = ... =Дуь ...,v^_bO, л) = 0.

Заметим, что если некоторый вид ресурса может компенсиро­ ваться другими, записанные условия относительно этого ресурса могут и не выполняться.

51

2.При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается, т.е. для дифференцируемой произ­ водственной функции ЧЛ^» л) ^ 0.

3.Увеличение одного ресурса при неизменных значениях других ресурсов должно приводить ко все меньшим приростам

выпускаемой продукции. Это достигается, если —r-/(v,a)<0,

/ = 1, 2, ..., 5", что эквивалентно требованию положительной зна­ коопределенности матрицы -Vyf[y, а).

Одной из наиболее ранних производственных функций явля­ ется предложенная в 1928 г П. Дугласом и Д. Коббом функция для определения влияния величины затрачиваемого капитала (vi) и объема труда (v2) на объем выпускаемой продукции (и) в обра­ батывающей промышленности США. Эта функция была предло­ жена в форме

u=-avi^ v{, а>0, А>0,с>0, й + с=1.

Здесь в терминах предьщущих обозначений а = [а й с]^ — век­ тор параметров, оцениваемых по экспериментальным данным. В качестве этих данных использовались зафиксированные в проме­ жутке с 1899 по 1922 г. объемы затрачиваемого капитала vi^\ труда V2^^ и соответствующий им объем выпускаемой продукции Ду=1,2,...,24.

Характерная особенность предложенной производственной функции проявляется в нелинейной зависимости от параметров, что существенно усложняет процедуру их последующего оцени­ вания по экспериментальным данным. Поэтому оказалось целе­ сообразным предварительное логарифмирование этой функции, приводящее к очевидному результату:

In W ~ In V2 = In а + 6(1П VI — In V2),

уже линейно зависящему от параметров \nawb. Тогда математи­ ческую модель экспериментальных данных можно отобразить равенством

In w^'^ - In vs^"^ = In й + й(1п vi^"^ - In V2^*^) + e^\y =1,2,..., 24,

в котором слагаемое e^^ моделирует неизбежные отклонения ре­ зультатов эксперимента от предполагаемых теоретических значе-

52

8y = e^^ и положить n = 24, экспериментальные данные опишутся

соотношением

yj=yV^(xj)e + Бу ,У = 1, 2,..., л.

что полностью совпадает с регрессионной моделью (2.3). В тер­ минах этого совпадения величиныyj и Xj,j = 1, 2,..., л, можно ин­ терпретировать как экспериментальную выборку соответственно эндогенной и экзогенной переменных данной экономической системы. МНК-оценка вектора параметров в находится с помо­ щью уже известного правила (2.24), которое с учетом введенных обозначений и после проведения соответствующих матричновекторных операций может быть конкретизировано следующим образом:

во=р-х01, Bi (хЪ-Зс^

где, в свою очередь, использованы обозначения

Зная оценки параметров ©о и ©i, не представляет труда найти оценки исходных параметров а, Ь, с производственной функции. Следует заметить при этом, что исследование свойств этих оце­ нок может породить самостоятельную задачу. Обратим внимание еще на одну особенность полученных оценок: они выражаются не через отдельные компоненты у\уУ2, --',Уп экспериментальных данных, а через функции у, к^у этих данных. Поэтому найденные оценки можно классифицировать как достаточные, а функции У,

кху рассматривать как достаточные статистики.

2.3.4. Идемпотентные матрицы

Для последующего анализа нам потребуются матрицы, обладаю­ щие определенными специфическими свойствами. Одной из них является идемпотентная.

53

Определение 2.2. Матрица Ре R^^^ называется идемпотентной, если выполняется условие Р^ = РР = Р, т.е.квадрат идемпотентной матрицы равен самой матрице.

Как следствие этого определения, очевидно, /^ = Рпри V/: G N. Идемпотентные матрицы обладают рядом замечательных свойств. Ограничим рассмотрение важным для нас случаем сим­ метрических матриц.

Утверждение 2.3. Собственные числа идемпотентной матри­ цы равны нулю или единице.

Действительно, пусть v и z — собственное число и соответст­ вующий ему собственный вектор матрицы Р. Тогда по определе­ нию /% = VZ => P^z = vPz => Pz = v\ т.е. V = v^, что выполняется при V = О или V = 1.

Утверждение 2.4. Ранг симметрической идемпотентной мат­ рицы Р равен ее следу: rank P=Sp Р.

Так как Р — симметрическая матрица, то существует ортого­ нальная матрица 1] диагонализирующая матрицу Р, т.е. обладаю­ щая свойствами Г J = Е, JFPT== V, где v = diag [V/], i= 1,2, ...,q, - диагональная матрица из собственных чисел матрицы Р. Отсю­ да, учитывая, что 'Г = Т~^, получаем Р = IVJ^. Так как Г - невы­ рожденная матрица, то rank Р = rank v. Но ранг диагональной ма­ трицы V равен числу ее ненулевых строк. Число же таких строк совпадает с количеством собственных чисел, равных единице, т.е. со следом матрицы v: rank v = Sp v. В свою очередь, Sp Р = = Sp (IS^'f) = Sp(IT^v) = Sp V и, следовательно, rank P = Sp P.

Заметим, что здесь и далее используются свойства следа матрицы: Sp (АВ) = Sp (ВА); Sp (А) = Sp {А\ Sp (^ + J?) = Sp ^ + + Sp В; Sp (АА^) = Sp (А^А) - А^А, где Ае К"".

Обратим внимание еще на одну особенность идемпотентной матрицы, по существу являющуюся следствием доказанного ут­ верждения: так как ранг ненулевой матрицы является целым по­ ложительным числом, сумма диагональных элементов симметри­ ческой идемпотентной матрицы представляет собой положитель­ ное целое число.

Утверждение 2.5. Пусть 8GR^— стандартный гауссовский век­ тор {М{г} = 0^, М{ег^} == а^Е) и Р — идемпотентная ^-матрица. Тогда случайная величина \х = е^Рв подчинена j^{r) распределе­ нию, где г = rank Р.

54

Действительно, г^Ре = e'^TVT^e = (J^e)'^v(J^e). Так как J - ор­ тогональная матрица, то Т^е ~ Л^(0^, с^Е), т.е. также стандартный гауссовский вектор. Но тогда случайная величина е РЕ = = (J^e)^v(r^8) представляет собой сумму г квадратов стандартных гауссовских величин и распределена, следовательно, по закону

xV).

2.3.5. Несмещенная оценка дисперсии экспериментальных ошибок и ее свойства

Выше было получено выражение (2.27), определяющее точность МНК-оценок, и одновременно отмечена ограниченность его применения, обусловленная неизвестностью дисперсии а^ экс­ периментальных ошибок в большинстве реальных эконометрических задач. Поэтому оказывается целесообразным оценивание параметров в рефессионной модели совместить с оцениванием дисперсии экспериментальных ошибок, чтобы в последующем иметь возможность аргументированно анализировать свойства МНК-оценок регрессионных параметров.

С целью получения оценки дисперсии найдем минимальное значение целевой функции (2.20), соответствующее МНК-оцен- ке регрессионных параметров, т.е.

Легко устанавливается

\\у - т е |р = CF ~ "Vef (у - "¥&) = у^(у - Тв) -e^4f^(y ~ ^в).

Так как в силу необходимого условия (2.23) оптимальности МНК-оценки вычитаемое справа в этом выражении представля­ ет собой нуль, то получаем

Ь-Ч^в|р=/(>;-Тв).

В свою очередь, если учтем модель экспериментальных дан­ ных (2.4) и выражение МНК-оценки (2.24), получим

где, как обычно, £„ - единичная л-матрица.

55

Если теперь еще раз воспользоваться моделью (2.4) и учесть то обстоятельство, что матрица ^^(Е^ — Y(Y^Y)~^4'^) является нулевой, то установим окончательно

Усредняя это выражение, с учетом (2.19) получаем

M{mmJ} = a^^aii=G^Sp(E„-'¥{W^^)^^).

Из сопоставления с (2.35) следует, что среднее значение этой величины M{G^} = а^. Но это означает, что величина а^ может быть принята в качестве несмещенной оценки дисперсии а экспе­ риментальных ошибок. Таким образом, окончательно

(2.37)

п-т-1

Оценка (2.37) позволяет конкретизировать точностные свой­ ства МНК-оценки регрессионных параметров, если в подвергав-

56

шемся критическим комментариям выражении (2.27) дисперсию а^ заменить ее оценкой (2.37). Так как эта оценка является слу­ чайной величиной, при обширном ее использовании в процеду­ рах эконометрических исследований недостаточно знания толь­ ко ее математического ожидания, но необходим более обширный спектр вероятностных характеристик. Установим одну из них. Для этого воспользуемся определением (2.36) и откорректируем его в соответствии с (2.34):

Утверждение 2.6. Матрица Е^ - Y(Y^M[')~*Т^ является идемпотентной с рангом rank (Е„ - Y(Y'^T)~^T'^) = п-т-\.

Справедливость утверждения проверяется непосредственно:

{Еп - Т(Ч'^^-^Ч^^)2 = (Еп - Y(Y^40"^Y^)(^« - Ч ' ( Т ^ Т ) - ^ ^ ^ ) = = £^-Т(Т^Ч')"^Ч^^;

rank {En - Y(Y'^Y)-^4P'^) = Sp {En - Т(Т'^ЧО~^Ч''^) = м - w - 1.

Ориентируясь на перспективу применения этого утвержде­ ния, следующим образом подкорректируем выражение (2.38):

I о

Так как вектор е/а представляет собой стандартный гауссовский вектор, стоящая справа в (2.39) случайная величина в соот­ ветствии с утверждением 2.5 подчинена х^-распределению с п — т — \ степенями свободы. Таким образом, получен следую­ щий важный результат.

на х^-распределению сп — т— I степенями свободы, т.е. распре­ делению х"'{п — т— 1).

Оценки а^ и в обладают еще одним любопытным свойством. Обе они являются функциями вектора наблюдений у. И тем не менее справедлив следующий результат.

57

Утверждение 2.8. Оценки а (у) и В(у) некоррелированы, а при гауссовских экспериментальных ошибках е независимы.

Для доказательства МНК-оценку (2.24), используя модель данных (2.4), представим в виде

Воспользовавшись (2.33), построим величину

(у - Ч?в)в^ = {Е- 4fCr^4r}-^4f^)e(B^4f(4f^Wr^ + в^)

инайдем ее среднее значение

М{(у - Ув)в'^} = (£- WC¥^4ri-^4'^)M{eB^}4'(W^W)'^ = Опх(т

где Опх{т +1) "" нулевая пх{т + 1)-матрица. Здесь учитывается, что М{г} = О и М{8е } = с^£. Следовательно, векторы у - YO и в не коррелированы. Но тогда не коррелированы случайная величина \\у - 4fB\f и случайный вектор в, а это влечет за собой некоррели­ рованность самих оценок Ъ^ и в, так как первая из них непосред­ ственно выражается через \\у - Т в |р. Если дополнительно вектор е экспериментальных ошибок является гауссовским, то векторы

J? - Y ^ и в также гауссовские и из их некоррелированности

следует независимость, порождающая независимость и оценок а^

ив.

Зная оценку д^ и учитывая то обстоятельство, что при гауссовском векторе е оценка в ~ N(B, a^(Y^Y)"'^), можно построить доверительные интервалы для компонентов вектора в. Действи­ тельно, приближенно примем в - N{B, a^(Y^Y)"' ), заменив ис­ тинное, но неизвестное значение дисперсии ее оценкой, и зада­ димся доверительной вероятностью 1 ~ а. Для /-го компонента Э/ вектора в имеем Э/ ~ М©/, ^V//)? где \i/// — /-й диагональный эле­ мент матрицы (Y^Y)~^ Найдем такую величину Л, при которой Р(в/ - А < ё/ < 0/ + Л) = 1 - а, т.е.

где Ъ,^ =ст^\|//,.После замены переменной а, ' (в, — Q,) = Zi это ра­ венство преобразуется к виду

58

1 .2 L- _« ^.-^.;,-\

\ exp-^ -тг,- [dz/ ==—, Л = hdj => A = -djUa/2,

где Wa/2 есть а/2-квантиль стандартного гауссовского распределе­ ния. Таким образом, с вероятностью 1 — а выполняется неравен­ ство 0/ + a/Woc/2 ^ 0/ < 0 / - &/"а/2» из которого следует в/ + сг/М(х/2 < < 0/ < 0/ - a/Wcx/2, / = О, 1, 2,..., m. Это и будут доверительные ин­ тервалы для регрессионных параметров. Далее эти неравенства будут уточнены.

2.3.6. Проблема обусловленности МНК-оценок. Векторные и матричные нормы

Выражение (2.24) для вычисления МНК-оценки внешне подку­ пает своей простотой и математической изящностью. Однако присутствие в нем операции обращения матрицы представляет собой тот айсберг, встреча с которым может привести к непредви­ денным последствиям, если к этой встрече не подготовиться предварительно. Природа опасения заключается в следующем.

Матрица (Ч'^^)" в (2.24) преобразует вектор W^y в оценку &(у). В практических задачах вектор у отображает результаты определенного эксперимента, которому сопутствуют неизбеж­ ные ошибки и неточности, обусловленные несовершенством из­ мерительных технологий, методологии организации экспери­ мента и др. Все это приводит к тому, что реально вместо вектора у* = ^ в , объективно отражающего состояние исследуемого явле­ ния, придется оперировать вектором у Ф у*, который после его подстановки в (2.24) приведет к величине Q(y) = (Y^Y)"^Y^>? Ф в(У*) "^ aV^^y^^^y^. Это неравенство порождает крайне сущест­ венный вопрос: если ^^(у* — у) - Av, где Ду - некоторое откло­ нение, то к каким последствиям в смысле величины изменения 6 в = вСк*) - %(у) МНК-оценки отклонение Ьу приведет? Есте­ ственным является желание иметь при малых в некотором смыс­ ле отклонениях Ду малые изменения 5в . Однако это пожелание далеко не всегда достигается. Поэтому нужно выявить механизм, определяющий характер взаимодействия величин 8 в и Ду, с тем чтобы, раскрыв этот механизм, суметь достичь желаемого резуль­ тата. Сформулируем ряд основополагающих в данной проблеме положений.

59