Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon
.pdf
|
^1 |
|
|
|
|
|
|
z = |
ER |
3k+2 |
В = |
^2k+2 |
eR |
3k+2 |
|
|
|
|
|
||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
0kxk |
^kx2 |
0kxk |
|
|
||
A = ^kxk |
^k |
^kx2 |
|
^kxk , i^(3k+2){3k+2) |
|||
^2xk |
^2xk |
^2 |
|
^2xk |
|
|
|
^kxk |
^kxk |
^kx2 |
|
|
A^i) |
|
|
где 0/xy ~ нулевая матрица размеростью / нау. О/ ~ нулевой /-век тор и подчеркнута зависимость матрицы А от вектора Zj. Вос пользовавшись этими обозначениями, уравнения (4.50), (4.61) можно представить в виде одного (Зк + 2)-мерного уравнения Z„ =
= /(Zi,^_i)Z*_i + B\Z2^n-\)Xn-\ или же
z;=o(z;_i)+i?*(z;_i)x,_b o(z;.i)=A\Z,^ .-I)Z;_I. (4.62)
Вектор Z fi назовем расширенным стохастическим вектор
состояния. Особенность описываюш^его его динамику разност ного уравнения (4.62) проявляется в том, что это уравнение, в от личие от (4.50), является нелинейным.
Далее введем в рассмотрение (Зк -^ 2)-мерную вектор-строку Сг'^\ у которой на 5-й позиции находится единица, а остальные элементы равны нулям. Тогда слагаемое C^Zfj из (4.49) с исполь зованием новых обозначений можно записать как g<2^-f i)2'^*g<2/:+3)2^ Второе слагаемое р^ из этого же выражения, имеющее неизвестную дисперсию а^^, следующим образом выра жается через стандартную гауссовскую величину /7^:
Рп = G^^^'^^^ZnP*n- Само уравнение (4.49) в новых обозначениях приобретает вид
y,-hi/,)^G^''-'%pl |
(4.63) |
где нелинейная функция A(Z*) = G^^^'^^^Z*C?^^^"^-^^Z*;,. Таким обра зом, и модель наблюдений (4.49) при неизвестных параметрах оказывается нелинейно зависящей от расширенного вектора со стояния Zft. Последующую задачу можем сформулировать так.
210
Временной ряд представлен уровнями, математически выра жаемыми через ненаблюдаемый расширенный вектор состояния Zn в соответствии с (4.63). Сам вектор состояния формируется из порождающего белого шума, как это предусмотрено разностным уравнением (4.62). Случайные составляющие х^ и р* в обоих уравнениях являются независимыми гауссовскими белыми шу мами с единичными дисперсиями. Задача, как и в предыдущем разделе, заключается в поиске оценки Д^ вектора состояния Z,^* по вектору наблюдений j^i^ и в последующем использовании этой оценки в целях прогнозирования. Отличие этой задачи от преды дущей проявляется прежде всего в нелинейной структуре моде лей (4.62), (4.63). Иным будет и результат решения задачи: в этом случае наряду с оцениванием вектора состояния Z« проводится оценивание и неизвестных параметров модели (4.49), (4.э0), включая дисперсии случайных составляющих. Платой за пер спективу совместной параметрической идентификации и, как го ворят, фильтрации оказывается размерность задачи.
Решение сформулированной задачи, как и выше, ищем в со ответствии с критерием максимума апостериорной плотности ве роятностей, аналогичным (4.51). Однако нелинейный характер модели существенно усложняет как сам процесс поиска точного решения, так и соответствующий алгоритм. Поэтому удобнее прибегать к помощи различных процедур линеаризации нелинейностей для получения более простых алгоритмов, подобных их линейному аналогу. Если, вооружившись идеей линеариза ции, пройти путь, подобный приведшему к алгоритму (4.57)-(4.60), получим систему рекуррентных соотношений для совместной параметрической идентификации модели и фильтра ции вектора состояния. В систематизированном виде эти уравне ния таковы:
алгоритм фильтрации |
|
Zn = Z;«-i + Кп(Уп - h{Z\,_{))\ |
(4.64) |
алгоритм одношагового прогнозирования |
|
Z\n-x = Ф(^л-1); |
(4.65) |
211
априорная ковариационная матрица ошибок |
|
|
|||||
|
|
dZ |
|
dZ |
|
|
(4.66) |
|
|
|
n p H / = Z*_i; |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
апостериорная ковариационная матрица ошибок |
|
||||||
|
|
|
|
Т / |
-A(Z)if„,„_, |
-KZ) |
|
^п - ^п,п-\ |
~ ^п,п-\ |
TKZ) |
|
||||
|
|
|
dZ |
bZ |
dZ' |
||
^G<^''''R„,„-^iG^''^'V\ |
•:^KZ')R„^., |
|
(4.67) |
||||
при |
Z*=Z;„_i; |
||||||
|
|
|
|
bZ |
|
|
|
коэффициент усиления |
|
|
|
|
|||
K^^RA |
T^/r(Z*)r(G<^^-^>J?,,,.l(G<^^^^>)^)-^ |
||||||
|
|
|
3 ^ |
^ |
^ |
|
(4.68) |
|
|
|
npnZ '=Zn^n-\' |
|
|
||
Входящие в выражения (4.66)~(4.68) производные могут быть |
|||||||
конкретизированы. Так как в данном случае |
|
|
|||||
0(Z*) = / ( Z i ) Z = [Zx^ Z^ |
Z^ |
Z^A^iZOf, |
TO в блочных обо |
||||
значениях |
|
|
|
|
|
|
|
dZ-ФiZ |
) = |
^kxk |
^k |
^kx2 |
^kxk .^(3^+2)x(3/:+2)^ (4 59) |
||
^Ixk |
(^2xk |
^2 |
f^2xk |
|
|
||
где через |
z\ |
обозначен |
первый компонент |
вектора Z, |
5 = [1 1 ... 1]^€ R^, jFJ^_.iG R^^^~^^ и представляет собой единичную {к ~ 1)-матрицу £^_1, окаймленную снизу нулевой строкой.
Аналогичным образом несложно установить
9Z |
9Z |
|
(4.70) |
212
где Zi — /-Й компонент вектора Z. Таким образом, в данной зада че матрица (4.69) и вектор-строка (4.70) существенно разрежены, что, несмотря на возросшую размерность задачи, способствует упрощению программной реализации алгоритма (4.64)—(4.68). Организация вычислений в соответствии с этим алгоритмом осу ществляется так же, как и в случае (4.57)—(4.60). Отличие прояв ляется лишь в том, что вычислению оценки Z^ предшествует вы числение прогноза Z;j,j_i по правилу (4.65).
Это же правило используется для проведения одношагового прогнозирования после обработки всех уровней временного ря да: ^ ?
YJ,^, = h(Zм^,,N) = h(ФiZJ;)).
Если принять Z^+2, N = Ф(^//+1, jv), то можно построить про гноз на два шага, и т. д. (см. приложение 2).
4.14. Обобщенный рекуррентный алгоритм прогнозирования стохастических временных рядов
При построении и последующем изучении модели (4.49), (4.50) было опущено слагаемое Ьх^ в составе соотношения (4.49). Хотя во многих прикладных задачах это условие выполняется, модель (4.49), порожденная традиционными эконометрическими моде лями типа AR, МА, ARMA, ARIMA, это слагаемое содержит. По этому целесообразно калмановскии алгоритм прогнозирования обобщить и на этот случай.
Итак, пусть временной ряд представлен моделями
Уп = C^Z, + bXn^Pn, л = 1, 2,..., N, |
(4.71) |
Z^ = ^«_i + ^x,_,. |
(4.72) |
Отличительная особенность этого представления временного ряда проявляется в том, что теперь шумы р^ = Ьх^ + /?« и Bx^_^i в обоих уравнениях оказываются коррелированными, а именно: ^{Рп^к) ^ Фп,ь где д = M{p*„Xfj} = ba^ и 5;^ ^^; ~ дельта-символ Кро некера. Чтобы воспользоваться прежним способом вывода алго ритма прогнозирования, воспользуемся идеей «раскоррелирования» шумов [20]. Существо идеи заключается в следующем.
213
Перепишем уравнение (4.72) в таком виде:
Zn^^=AZn^Bxn+W{y^~C^Zn-bXn-Pn),
или же
Найдем такой вектор W, при котором величины х^ и р^ ока жутся некоррелированными, т.е. потребуем М{ХпРп} =
= М{{{В - bW)Xn - Щ^пКЬХп-^Рп)} = 0. Усреднив, получим уравне ние (В - ЬЩЬо^ - WOp = О, из которого следует
Ь Ох+Ор
Таким образом, при выполнении (4.73) временной ряд опи сывается уравнениями
y« = C'^Z, + /;;, |
(4.74) |
Z, = ^*Z,_i+>F);,_i + x;, |
(4.75) |
эквивалентными (4.71), (4.72), но содержащими некоррелиро ванные шумы и в этом смысле подобными (4.49), (4.50). Присут ствие известного слагаемого H^^-i в (4.75) не препятствует теперь по модели (4.71), (4.72) получить алгоритм прогнозирования тем же образом, что и в случае (4.49), (4.50). Опуская доказательства, приведем окончательную редакцию алгоритма в обозначениях выражений (4.71), (4.72):
Zn.n~\ = AZr,_x+ W(yn-C^Zn-{).
Кп = Rn, n-xC(C^Rn. n-xC + bW + CT/)-^
Rn,/1-1 = (^ - WC^)Rr,.i{A - WC^)^ + G^BB^ + ф^о^ 4- a/)W
Rn^ i^- ^rP )Rn, n-h
Это Правило рекуррентных вычислений мы и называем обоб щенным калмановским алгоритмом. Конкретная организация вычислений по этому алгоритму проводится точно так же, как и в случае (4.57)--(4.60). Отличие, как и в предьщущем случае, про является только в вычислении прогнозированного значения ^n,n-h предшествующего оценке Д,.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Операционные методы исследования динамических систем
при исследовании различного рода явлений, процессов, законо мерностей и т.п. (обобщенно-динамических систем), описывае мых линейными дифференциальными или разностными уравне ниями с постоянными параметрами, широкое распространение получили так называемые операционные методы, основанные на преобразовании Лапласа и z-преобразовании. Привлекательная сторона этих методов проявляется в возможности превращения дифференциального или разностного уравнения в алгебраичес кое, содержащее одну неизвестную функцию и легко разрешимое относительно нее. Правда, полученное решение алгебраического уравнения определено в ином пространстве, нежели решения ис ходных уравнений. Поэтому требуются дополнительные усилия на переход в пространство искомых решений. Но это окупается общим упрощением процесса поиска решений. Кратко изложим существо этих методов.
Определение П1Л. Функцию y(t), где для определенности / — время, называют оригиналом, если
1)>;(0 = 0приУ/<0;
2)y(t) Ф О при всех или некоторых / > О и является однознач ной, непрерывной или кусочно-непрерывной функцией;
3)ЗЛ/, с > О такие, что
^(i)\<Me^K |
(П1,1) |
Определение П1.2. Функция ^{s) комплексного аргумента s называется изображением или прямым преобразованием Лапласа оригинала д'СО, если
оо
y{s)=\y{t)e-'^dt. (П1.2)
О
Утверждение Hl.L Если y{t) — оригинал, то несобственный интефал в (П1.2) сходится, причем абсолютно, при всех j , для ко-
215
торых Re 5 > Со, где CQ — точная нижняя грань множества значений параметра с, удовлетворяющих неравенству (П1.1).
Соотношение (П1.2) часто записывают лаконично y(s) = = L{y(t)}, понимая под Ц...} стоящий в правой части (П1.2) опе ратор (интеграл) Лапласа. Прямое преобразование Лапласа уста навливает по оригиналу изображение. Существует обратная опе рация, устанавливающая по изображению оригинал и известная как обратное преобразование Лапласа:
Y(t) = L-Uy(s)} = ':^ ' Т ^ y(s)e''6s, |
(П1.3) |
^Ц/ -уоо+Ц |
|
гдеУ - мнимая единица (/^ = — 1) и интегрирование проводится в комплексной плоскости по прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии Ь1| = Re 5. Для элементарных и многих неэлементарных функций составлены таблицы соответ ствия оригиналов и изображений, а также разработаны операции вычисления оригиналов по изображениям без непосредственно го использования интефальной процедуры (П1.3), но при про дуктивном использовании свойств преобразования Лапласа.
Приведем без доказательств, не вызывающих больших за труднений, основные свойства преобразования Лапласа, исполь зуя при этом обозначение y(s) = L{y(t)}.
1. Теорема линейности
\к |
] |
к |
|
|
/^ Еа^уДО |
=Есх/^{з^/(0}, ау= const. |
(m.4) |
||
2. Теорема подобия |
|
|
|
|
|
1 |
( s\ |
а = const # 0. |
|
L{y(at)} = —д — , |
|
|||
|
а'^ |
V'а) |
|
|
3. Теорема смещения |
|
|
|
|
L{e^^y(t)}=y(s —а), |
а = const |
|
||
4. Теория запаздывания оригинала |
|
|
L{y(t-T)} = e-''y(s).
216
5. Теорема о дифференцировании изображения
1-Ч-^Я^) =(-1)"^"М0, « = 1, 2,3,....
6. Теорема о дифференцировании оригинала
где /: = 1, 2, 3, ..., /^^(0 — оригинал и У'^0+) — ^'-я правая^произ водная оригинала в точке t = 0.
7.Теорема об интегрировании оригинала
оJ ^
8.Теорема об интегрировании изображения
9.Теорема об изображении периодической функции: если
Я0 = 3^(^+7), то
y{s)^—^\y{t)e-''dt.
\-е ^^ о
10. Теорема о свертке
L-^ {yii^mi^)} = bi ('^)У2и - T)dT = } л (/ - T)j;2(i:)dT, (Ш .6)
где УКО? )^2(0 ~ оригиналы, соответствующие изображениям his), Ms)-
11. Теорема о начальном значении оригинала lim y(t) = lim sy(s).
111
12. Теорема о предельном значении оригинала limy(t)=limsy(s). (П1.7)
13. Формула Хевисайда: если У\^) = |
, где 5^(^) и У4;^(5) - |
многочлены по степеням s соответственно т-то и п-го порядков, причем п> т,то при простых корнях 5/, /=1,2, ..., л, уравнения У4^(5) = О справедливо
/=1 ^ (Si)
Существуют обобщения этой формулы на случай кратных корней того же уравнения A(s) = 0.
Рассмотрим существо операционного метода в связи с реше нием следующей задачи Коши. Пусть задано линейное диффе ренциальное уравнение с постоянными параметрами
а^^'^О + oi,_,/"-'\t) + ... + аау(0 =
(111.6)
= ^mX^"'\t) + ^m^iX^'^-'kt) + ... + РоХ(0, П>т,
где а/, Ру - известные постоянные параметры, x(t) - заданная функция-оригинал. Требуется найти решение уравнения (П1.8), удовлетворяющее начальным условиям
/\04.)=>;о/,/ = 0, 1,...,А2-1. |
(П1.9) |
Для решения задачи обе части уравнения (П1.8) подвергнем преобразованию Лапласа. Воспользовавшись теоремами линей ности и дифференцирования оригинала и сгруппировав слагае мые, содержащие y(s) = L{y(t)}, x(s) = L{x(t)} и одни и те же на чальные условия, получим
Л(^)К*)- |
л-1 |
т-\ |
, |
5:Ф/(5)>'О,=5„(5)Х(5)- |
I |
V;t(^)^ (0+). (П1.10) |
|
|
/=0 |
к=0 |
|
где использованы обозначения:
A„(s) = а^ + a„_i/-i + ... + оо, 5„(5) = p„y" + P„_i/'-' + ... + Po,
218
ФХ5) = а^^-^-^ + ап-х^-^-^ + ... + ai+/,
/ = 0, 1,..., «-2;ф„_1(5) = а„,
А: = о, 1,..., т-2\ y^rn-\{s) = ^т-
Полученное в результате преобразования выражение (ШЛО) является линейным алгебраическим уравнением, содержащим единственную неизвестную функцию y{s), которая легко нахо дится из этого уравнения:
п-\ |
т-\ |
... |
«^"^ад^^^^ |
tfe |
• <"'•"> |
Функция (П1.11) является изображением искомого решения задачи (П1.8), (П1.9). Для поиска оригинала следует осуществить переход из пространства изображений в пространство оригина лов:
что во многих случаях делается на основании формулы Хевисайда (П1.7) или путем разложения изображения (П1.11) на простей шие слагаемые с последующим установлением оригиналов этих слагаемых. В этом и заключается суть операционного метода интефирования линейного дифференциального уравнения с посто янными параметрами.
Соотношение (П1.11) существенно упрощается, если на на чальные условия /'чО+) никаких офаничений типа (П1.9) не нало жено. В этом случае начальные условия порождены непосредст венно функцией х(0, а это приводит к тому, что второе слагаемое в (П1.11) обращается в нуль, и, как следствие, оказывается, что
y{s) = ^f^x{s). |
(П1.12) |
вmis)
Комплексный коэффициент пропорциональности W{s) = ^ , ,,
связывающий изображения y{s) и x{s), принято называть переда точной функцией динамической системы, описываемой диффе-
219