Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
26.03.2016
Размер:
5.46 Mб
Скачать

 

^1

 

 

 

 

 

 

z =

ER

3k+2

В =

^2k+2

eR

3k+2

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

0kxk

^kx2

0kxk

 

 

A = ^kxk

^k

^kx2

 

^kxk , i^(3k+2){3k+2)

^2xk

^2xk

^2

 

^2xk

 

 

^kxk

^kxk

^kx2

 

 

A^i)

 

 

где 0/xy ~ нулевая матрица размеростью / нау. О/ ~ нулевой /-век­ тор и подчеркнута зависимость матрицы А от вектора Zj. Вос­ пользовавшись этими обозначениями, уравнения (4.50), (4.61) можно представить в виде одного (Зк + 2)-мерного уравнения Z„ =

= /(Zi,^_i)Z*_i + B\Z2^n-\)Xn-\ или же

z;=o(z;_i)+i?*(z;_i)x,_b o(z;.i)=A\Z,^ .-I)Z;_I. (4.62)

Вектор Z fi назовем расширенным стохастическим вектор

состояния. Особенность описываюш^его его динамику разност­ ного уравнения (4.62) проявляется в том, что это уравнение, в от­ личие от (4.50), является нелинейным.

Далее введем в рассмотрение (Зк -^ 2)-мерную вектор-строку Сг'^\ у которой на 5-й позиции находится единица, а остальные элементы равны нулям. Тогда слагаемое C^Zfj из (4.49) с исполь­ зованием новых обозначений можно записать как g<2^-f i)2'^*g<2/:+3)2^ Второе слагаемое р^ из этого же выражения, имеющее неизвестную дисперсию а^^, следующим образом выра­ жается через стандартную гауссовскую величину /7^:

Рп = G^^^'^^^ZnP*n- Само уравнение (4.49) в новых обозначениях приобретает вид

y,-hi/,)^G^''-'%pl

(4.63)

где нелинейная функция A(Z*) = G^^^'^^^Z*C?^^^"^-^^Z*;,. Таким обра­ зом, и модель наблюдений (4.49) при неизвестных параметрах оказывается нелинейно зависящей от расширенного вектора со­ стояния Zft. Последующую задачу можем сформулировать так.

210

Временной ряд представлен уровнями, математически выра­ жаемыми через ненаблюдаемый расширенный вектор состояния Zn в соответствии с (4.63). Сам вектор состояния формируется из порождающего белого шума, как это предусмотрено разностным уравнением (4.62). Случайные составляющие х^ и р* в обоих уравнениях являются независимыми гауссовскими белыми шу­ мами с единичными дисперсиями. Задача, как и в предыдущем разделе, заключается в поиске оценки Д^ вектора состояния Z,^* по вектору наблюдений j^i^ и в последующем использовании этой оценки в целях прогнозирования. Отличие этой задачи от преды­ дущей проявляется прежде всего в нелинейной структуре моде­ лей (4.62), (4.63). Иным будет и результат решения задачи: в этом случае наряду с оцениванием вектора состояния Z« проводится оценивание и неизвестных параметров модели (4.49), (4.э0), включая дисперсии случайных составляющих. Платой за пер­ спективу совместной параметрической идентификации и, как го­ ворят, фильтрации оказывается размерность задачи.

Решение сформулированной задачи, как и выше, ищем в со­ ответствии с критерием максимума апостериорной плотности ве­ роятностей, аналогичным (4.51). Однако нелинейный характер модели существенно усложняет как сам процесс поиска точного решения, так и соответствующий алгоритм. Поэтому удобнее прибегать к помощи различных процедур линеаризации нелинейностей для получения более простых алгоритмов, подобных их линейному аналогу. Если, вооружившись идеей линеариза­ ции, пройти путь, подобный приведшему к алгоритму (4.57)-(4.60), получим систему рекуррентных соотношений для совместной параметрической идентификации модели и фильтра­ ции вектора состояния. В систематизированном виде эти уравне­ ния таковы:

алгоритм фильтрации

 

Zn = Z;«-i + Кп(Уп - h{Z\,_{))\

(4.64)

алгоритм одношагового прогнозирования

 

Z\n-x = Ф(^л-1);

(4.65)

211

априорная ковариационная матрица ошибок

 

 

 

 

dZ

 

dZ

 

 

(4.66)

 

 

 

n p H / = Z*_i;

 

 

 

 

 

 

апостериорная ковариационная матрица ошибок

 

 

 

 

 

Т /

-A(Z)if„,„_,

-KZ)

^п - ^п,п-\

~ ^п,п-\

TKZ)

 

 

 

 

dZ

bZ

dZ'

^G<^''''R„,„-^iG^''^'V\

•:^KZ')R„^.,

 

(4.67)

при

Z*=Z;„_i;

 

 

 

 

bZ

 

 

 

коэффициент усиления

 

 

 

 

K^^RA

T^/r(Z*)r(G<^^-^>J?,,,.l(G<^^^^>)^)-^

 

 

 

3 ^

^

^

 

(4.68)

 

 

 

npnZ '=Zn^n-\'

 

 

Входящие в выражения (4.66)~(4.68) производные могут быть

конкретизированы. Так как в данном случае

 

 

0(Z*) = / ( Z i ) Z = [Zx^ Z^

Z^

Z^A^iZOf,

TO в блочных обо­

значениях

 

 

 

 

 

 

 

dZ-ФiZ

) =

^kxk

^k

^kx2

^kxk .^(3^+2)x(3/:+2)^ (4 59)

^Ixk

(^2xk

^2

f^2xk

 

 

где через

z\

обозначен

первый компонент

вектора Z,

5 = [1 1 ... 1]^€ R^, jFJ^_.iG R^^^~^^ и представляет собой единичную ~ 1)-матрицу £^_1, окаймленную снизу нулевой строкой.

Аналогичным образом несложно установить

9Z

9Z

 

(4.70)

212

где Zi — /-Й компонент вектора Z. Таким образом, в данной зада­ че матрица (4.69) и вектор-строка (4.70) существенно разрежены, что, несмотря на возросшую размерность задачи, способствует упрощению программной реализации алгоритма (4.64)—(4.68). Организация вычислений в соответствии с этим алгоритмом осу­ ществляется так же, как и в случае (4.57)—(4.60). Отличие прояв­ ляется лишь в том, что вычислению оценки Z^ предшествует вы­ числение прогноза Z;j,j_i по правилу (4.65).

Это же правило используется для проведения одношагового прогнозирования после обработки всех уровней временного ря­ да: ^ ?

YJ,^, = h(Zм^,,N) = h(ФiZJ;)).

Если принять Z^+2, N = Ф(^//+1, jv), то можно построить про­ гноз на два шага, и т. д. (см. приложение 2).

4.14. Обобщенный рекуррентный алгоритм прогнозирования стохастических временных рядов

При построении и последующем изучении модели (4.49), (4.50) было опущено слагаемое Ьх^ в составе соотношения (4.49). Хотя во многих прикладных задачах это условие выполняется, модель (4.49), порожденная традиционными эконометрическими моде­ лями типа AR, МА, ARMA, ARIMA, это слагаемое содержит. По­ этому целесообразно калмановскии алгоритм прогнозирования обобщить и на этот случай.

Итак, пусть временной ряд представлен моделями

Уп = C^Z, + bXn^Pn, л = 1, 2,..., N,

(4.71)

Z^ = ^«_i + ^x,_,.

(4.72)

Отличительная особенность этого представления временного ряда проявляется в том, что теперь шумы р^ = Ьх^ + /?« и Bx^_^i в обоих уравнениях оказываются коррелированными, а именно: ^{Рп^к) ^ Фп,ь где д = M{p*„Xfj} = ba^ и 5;^ ^^; ~ дельта-символ Кро некера. Чтобы воспользоваться прежним способом вывода алго­ ритма прогнозирования, воспользуемся идеей «раскоррелирования» шумов [20]. Существо идеи заключается в следующем.

213

Перепишем уравнение (4.72) в таком виде:

Zn^^=AZn^Bxn+W{y^~C^Zn-bXn-Pn),

или же

Найдем такой вектор W, при котором величины х^ и р^ ока­ жутся некоррелированными, т.е. потребуем М{ХпРп} =

= М{{{В - bW)Xn - Щ^пКЬХп-^Рп)} = 0. Усреднив, получим уравне ние - ЬЩЬо^ - WOp = О, из которого следует

Ь Ох+Ор

Таким образом, при выполнении (4.73) временной ряд опи­ сывается уравнениями

y« = C'^Z, + /;;,

(4.74)

Z, = ^*Z,_i+>F);,_i + x;,

(4.75)

эквивалентными (4.71), (4.72), но содержащими некоррелиро­ ванные шумы и в этом смысле подобными (4.49), (4.50). Присут­ ствие известного слагаемого H^^-i в (4.75) не препятствует теперь по модели (4.71), (4.72) получить алгоритм прогнозирования тем же образом, что и в случае (4.49), (4.50). Опуская доказательства, приведем окончательную редакцию алгоритма в обозначениях выражений (4.71), (4.72):

Zn.n~\ = AZr,_x+ W(yn-C^Zn-{).

Кп = Rn, n-xC(C^Rn. n-xC + bW + CT/)-^

Rn,/1-1 = (^ - WC^)Rr,.i{A - WC^)^ + G^BB^ + ф^о^ 4- a/)W

Rn^ i^- ^rP )Rn, n-h

Это Правило рекуррентных вычислений мы и называем обоб­ щенным калмановским алгоритмом. Конкретная организация вычислений по этому алгоритму проводится точно так же, как и в случае (4.57)--(4.60). Отличие, как и в предьщущем случае, про­ является только в вычислении прогнозированного значения ^n,n-h предшествующего оценке Д,.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Операционные методы исследования динамических систем

при исследовании различного рода явлений, процессов, законо­ мерностей и т.п. (обобщенно-динамических систем), описывае­ мых линейными дифференциальными или разностными уравне­ ниями с постоянными параметрами, широкое распространение получили так называемые операционные методы, основанные на преобразовании Лапласа и z-преобразовании. Привлекательная сторона этих методов проявляется в возможности превращения дифференциального или разностного уравнения в алгебраичес­ кое, содержащее одну неизвестную функцию и легко разрешимое относительно нее. Правда, полученное решение алгебраического уравнения определено в ином пространстве, нежели решения ис­ ходных уравнений. Поэтому требуются дополнительные усилия на переход в пространство искомых решений. Но это окупается общим упрощением процесса поиска решений. Кратко изложим существо этих методов.

Определение П1Л. Функцию y(t), где для определенности / — время, называют оригиналом, если

1)>;(0 = 0приУ/<0;

2)y(t) Ф О при всех или некоторых / > О и является однознач­ ной, непрерывной или кусочно-непрерывной функцией;

3)ЗЛ/, с > О такие, что

^(i)\<Me^K

(П1,1)

Определение П1.2. Функция ^{s) комплексного аргумента s называется изображением или прямым преобразованием Лапласа оригинала д'СО, если

оо

y{s)=\y{t)e-'^dt. (П1.2)

О

Утверждение Hl.L Если y{t) — оригинал, то несобственный интефал в (П1.2) сходится, причем абсолютно, при всех j , для ко-

215

торых Re 5 > Со, где CQ — точная нижняя грань множества значений параметра с, удовлетворяющих неравенству (П1.1).

Соотношение (П1.2) часто записывают лаконично y(s) = = L{y(t)}, понимая под Ц...} стоящий в правой части (П1.2) опе­ ратор (интеграл) Лапласа. Прямое преобразование Лапласа уста­ навливает по оригиналу изображение. Существует обратная опе­ рация, устанавливающая по изображению оригинал и известная как обратное преобразование Лапласа:

Y(t) = L-Uy(s)} = ':^ ' Т ^ y(s)e''6s,

(П1.3)

^Ц/ -уоо+Ц

 

гдеУ - мнимая единица (/^ = — 1) и интегрирование проводится в комплексной плоскости по прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на расстоянии Ь1| = Re 5. Для элементарных и многих неэлементарных функций составлены таблицы соответ­ ствия оригиналов и изображений, а также разработаны операции вычисления оригиналов по изображениям без непосредственно­ го использования интефальной процедуры (П1.3), но при про­ дуктивном использовании свойств преобразования Лапласа.

Приведем без доказательств, не вызывающих больших за­ труднений, основные свойства преобразования Лапласа, исполь­ зуя при этом обозначение y(s) = L{y(t)}.

1. Теорема линейности

]

к

 

 

/^ Еа^уДО

=Есх/^{з^/(0}, ау= const.

(m.4)

2. Теорема подобия

 

 

 

 

 

1

( s\

а = const # 0.

 

L{y(at)} = —д — ,

 

 

а'^

V'а)

 

 

3. Теорема смещения

 

 

 

 

L{e^^y(t)}=y(s —а),

а = const

 

4. Теория запаздывания оригинала

 

 

L{y(t-T)} = e-''y(s).

216

5. Теорема о дифференцировании изображения

1-Ч-^Я^) =(-1)"^"М0, « = 1, 2,3,....

6. Теорема о дифференцировании оригинала

где /: = 1, 2, 3, ..., /^^(0 — оригинал и У'^0+) — ^'-я правая^произ­ водная оригинала в точке t = 0.

7.Теорема об интегрировании оригинала

оJ ^

8.Теорема об интегрировании изображения

9.Теорема об изображении периодической функции: если

Я0 = 3^(^+7), то

y{s)^—^\y{t)e-''dt.

\-е ^^ о

10. Теорема о свертке

L-^ {yii^mi^)} = bi ('^)У2и - T)dT = } л (/ - T)j;2(i:)dT, (Ш .6)

где УКО? )^2(0 ~ оригиналы, соответствующие изображениям his), Ms)-

11. Теорема о начальном значении оригинала lim y(t) = lim sy(s).

111

12. Теорема о предельном значении оригинала limy(t)=limsy(s). (П1.7)

13. Формула Хевисайда: если У\^) =

, где 5^(^) и У4;^(5) -

многочлены по степеням s соответственно т-то и п-го порядков, причем п> т,то при простых корнях 5/, /=1,2, ..., л, уравнения У4^(5) = О справедливо

/=1 ^ (Si)

Существуют обобщения этой формулы на случай кратных корней того же уравнения A(s) = 0.

Рассмотрим существо операционного метода в связи с реше­ нием следующей задачи Коши. Пусть задано линейное диффе­ ренциальное уравнение с постоянными параметрами

а^^'^О + oi,_,/"-'\t) + ... + аау(0 =

(111.6)

= ^mX^"'\t) + ^m^iX^'^-'kt) + ... + РоХ(0, П>т,

где а/, Ру - известные постоянные параметры, x(t) - заданная функция-оригинал. Требуется найти решение уравнения (П1.8), удовлетворяющее начальным условиям

/\04.)=>;о/,/ = 0, 1,...,А2-1.

(П1.9)

Для решения задачи обе части уравнения (П1.8) подвергнем преобразованию Лапласа. Воспользовавшись теоремами линей­ ности и дифференцирования оригинала и сгруппировав слагае­ мые, содержащие y(s) = L{y(t)}, x(s) = L{x(t)} и одни и те же на­ чальные условия, получим

Л(^)К*)-

л-1

т-\

,

5:Ф/(5)>'О,=5„(5)Х(5)-

I

V;t(^)^ (0+). (П1.10)

 

/=0

к=0

 

где использованы обозначения:

A„(s) = а^ + a„_i/-i + ... + оо, 5„(5) = p„y" + P„_i/'-' + ... + Po,

218

ФХ5) = а^^-^-^ + ап-х^-^-^ + ... + ai+/,

/ = 0, 1,..., «-2;ф„_1(5) = а„,

А: = о, 1,..., т-2\ y^rn-\{s) = ^т-

Полученное в результате преобразования выражение (ШЛО) является линейным алгебраическим уравнением, содержащим единственную неизвестную функцию y{s), которая легко нахо­ дится из этого уравнения:

п-\

т-\

...

«^"^ад^^^^

tfe

• <"'•">

Функция (П1.11) является изображением искомого решения задачи (П1.8), (П1.9). Для поиска оригинала следует осуществить переход из пространства изображений в пространство оригина­ лов:

что во многих случаях делается на основании формулы Хевисайда (П1.7) или путем разложения изображения (П1.11) на простей­ шие слагаемые с последующим установлением оригиналов этих слагаемых. В этом и заключается суть операционного метода интефирования линейного дифференциального уравнения с посто­ янными параметрами.

Соотношение (П1.11) существенно упрощается, если на на­ чальные условия /'чО+) никаких офаничений типа (П1.9) не нало­ жено. В этом случае начальные условия порождены непосредст­ венно функцией х(0, а это приводит к тому, что второе слагаемое в (П1.11) обращается в нуль, и, как следствие, оказывается, что

y{s) = ^f^x{s).

(П1.12)

вmis)

Комплексный коэффициент пропорциональности W{s) = ^ , ,,

связывающий изображения y{s) и x{s), принято называть переда­ точной функцией динамической системы, описываемой диффе-

219

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]