Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

3.2.4. Обобщенные ряды Фурье

Напомним, что в л-мерном конечномерном линейном пространст­ ве (т.е. в пространстве, где максимальное число линейно незави­ симых векторов равняется п, а любые л + 1, « + 2 и т.д. векторов линейно зависимы) можно любой элемент этого пространства единственным образом представить в виде линейной комбина­ ции линейно независимых векторов. Если {^,-}/= i - система ли­ нейно независимых векторов их — произвольный вектор из это­ го пространства, то, таким образом, справедливо равенство

известное как разложение по базису. Если векторы с/, / = 1, 2,..., л, взаимно ортогональны, коэффициенты разложения С/, обычно называемые координатами вектора дс в базисе {е/}^= ь определя­ ются соотношениями

Возвратимся теперь к функциональному пространству L2. Как уже отмечалось, в этом пространстве существует неограни­ ченное число линейно независимых элементов. Пусть {в,(0}7= i ~ одна из таких систем. Пусть, далее,/(/) — некоторая функция из Li- Тогда становится логичной мысль о возможности представить функцию/(0 подобным (3.14) образом, т.е. в виде

где С/ — некоторые весовые коэффициенты.

Здесь, в отличие от (3.14), знак равенства заменен символом соответствия ~ по той причине, что не оговорено, в каком смыс­ ле понимается соответствие между функцией ДО и стоящим справа рядом. Представляется вполне естественным знак соот­ ветствия заменить знаком равенства, если правый ряд в каком-то смысле сходится к функцииДО-

Пусть S„(t) — п-я частичная сумма ряда из (3.16), т.е.

120

Будем говорить, что ряд Y.Ciei{t) сходится по норме к функ­

и говорить, что функция д о задана разложением по системе функций {^/(0)7= 1- Если выполняется (3.18), несложно опреде­ лить соответствующие этому равенству коэффициенты с/, / = 1,2,

... . Для этого обе части (3.18) умножим скалярно на ejjj), вос­ пользуемся свойствами скалярного произведения, справедливы­ ми и в случае ряда, и учтем ортогональность функций ejjj) и ^,(0 при (Фк.В результате получим подобное (3.15) выражение

если система функций {^/(017= i ортонормирована. Коэффициен­ ты (3.19), (3.20) HdiZhiBd^OT коэффициентами Фурье.

Итак, предположим, что выполняется (3.17), хотя пока мы и не знаем, при каких условиях это выполняется. В этом случае, по нашей договоренности, справедливо соотношение (3.18).

Определение 3.17. Пусть {в,(0}7= i ~ некоторая система орто­ гональных (ортонормированных) функций из bi и/{1)е Li. Пусть,

оо

далее, выполняется (3.17). Тогда ряд S CiCiit), где С/, /=1,2,..., -

/=1

коэффициенты Фурье (3.19), (3.20), называется обобщенным ря­ дом Фурье функции/(0 по системе функций {е,(0}7= i и использу­ ется запись (3.18).

В этом случае будем говорить, что функция ДО представлена обобщенным рядом Фурье по системе функций {в,(0}Г= ь Если

же для некоторой функцииДОе Li построен ряд S с/вД/) с коэф

фициентами Фурье (3.19) или (3.20), но не доказана сходимость

121

ряда к функции Д/) или выявлено, что ряд сходится, но не к функции ДО, то такой ряд принято называть формальным рядом Фурье функцииДО и использовать запись (3.16).

Если некоторая система функций {е,(0} '**'/= i обеспечивает ра­ венство (3.18) для любой функции ДО из L2, то такую систему функций называют ортогональным (ортонормированным) базисо

пространства Ьг-

3.2.5. Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Использование обобщенного ряда Фурье как математической модели некоторого процесса ДОеЬг при решении практических задач часто приводит к избыточно громоздким результатам. По­ этому стараются ограничиться приближенными моделями, менее точными, но позволяющими получить вполне реализуемые соот­ ношения при обработке временных рядов. Подобная модель мо­ жет быть получена, если использовать частичную сумму ряда по некоторой системе ортогональных (ортонормированных) функ­ ций {е/(0}7= 1- В этом случае, таким образом, приближенно пред­ ставляем

где bi, 1= 1,2, ..., q— некоторые неизвестные пока коэффициен­ ты. Эти коэффициенты, очевидно, следует выбрать так, чтобы обеспечить наивысшую в некотором смысле точность приближе­ ния (часто говорят, аппроксимации) (3.21). Функцию

E{t) = nt)-ibMO

назовем ошибкой аппроксимации (3.21). Величину этой ошибки условимся характеризовать ее нормой или квадратом нормы ||8(/)|р. Тогда коэффициенты 6/, / = 1, 2,..., q, следует выбрать в со­ ответствии с условием

обеспечивающим наивысшую точность аппроксимации.

122

Утверждение 3.2. Величина ||8(0|Р достигает наименьшего зна­ чения, если в качестве коэффициентов 6/ принять коэффициен­

Запишем необходимое условие минимума величины (3.23)

^1|£(0|Р = -(/(0, ej,{t))-^bj,\\ek(t)f = 0, к^\, 2, ..., ^,(3.24)

откуда непосредственно следует

bk = (ДО, ^А(011 / 1к(0|Р = ^ь /fe = й " .

Так как V^||e(0|P = 2£ > О, т.е. матрица вторых производных V^||e(0|P является положительно определенной, полученный ре­ зультат действительно является решением задачи (3.22).

Итак, аппроксимация (3.21) оказывается наилучшей в смыс­ ле минимума нормы ошибки, если в качестве весовых коэффи­ циентов bi использовать коэффициенты Фурье С/. В этом и прояв­ ляется свойство минимальности коэффициентов Фурье. Заме­ тим, что система уравнений (3.24) приобрела простейший вид, при котором каждое из уравнений системы содержит лишь одну неизвестную величину благодаря ортогональности системы функций {^/(0)1= ь Если бы эти функции были неортогональны­ ми, система уравнений, полученная в соответствии с условием минимума величины (3.23), не распалась бы на q независимых уравнений, каждое из уравнений содержало бы все q неизвест­ ных, и решение системы не свелось бы к коэффициентам Фурье. Найденное решение обладает еще одним замечательным качест­ вом: если по каким-либо причинам количество слагаемых q в ап­ проксимирующей модели (3.21) оказалось недостаточным и его следует увеличить, то все коэффициенты не надо пересчитывать, а нужно вычислить лишь новые коэффициенты 6^ = сд^, /с = ^ + 1,

123

^ + 2 и т.д., сохранив все предыдущие коэффициенты. Если бы использовалась неортогональная система функций, пришлось бы пересчитывать все коэффициенты.

Найдем минимальное значение величины (3.23) — min||8(/)|p. С этой целью представим

Ht)f=\\mf Л bi(m, ^до)+i А/НЛО, ^/(0)+*/ WeMh

Эта величина в соответствии с доказанным будет минималь­ на, если выполняется (3.24) и bi = С/. Но тогда

min||e(0|P = ||/(Of -ЕсДЛО, e/(0) = ll/(Of Лс} ЫО\\\ (3.25)

при ортонормированной системе {^/(О}^ = ь Выражения (3.26), (3.27) называют неравенствами Бесселя.

Рассмотрим состоящий из неотрицательных членов числовой ряд Ес/ 11^/(011 . Так как в силу (3.26) частичные суммы этого ря-

да ограничены, то ряд сходится и, следовательно, справедливы общие результаты

||/(0|Р>1с?|кдо|р

/=1

при ортогональной системе функций {^,(0}1= i и

124

при ортонормированной системе {е/(/)}^ = i. Как следствие, из сходимости ряда имеем С/^||е,(0|Р —> О при / -> ©о для ортогональной системы функций и с} -> О при / -^ ©о для ортонормированной си­ стемы.

3.2.6. Сходимость обобщенных рядов Фурье

Прежде чем обсуждать проблему сходимости рядов Фурье, рас­ смотрим небольшой пример, не имеющий практической значи­ мости, но иллюстрирующий технику представления (аппрокси­ мации) некоторой функцииД0^Ь2 частичной суммой обобщен­ ного ряда Фурье. Прежде всего отметим, что функция Д/) и ис­ пользуемая ортогональная (ортонормированная) система функ­ ций {е|(0}% 1 могут быть определены на разных множествах. Что­ бы воспользоваться изложенным аппаратом, их нужно «привес­ ти» к единому множеству определения. Это можно сделать, на­ пример, так.

Пусть функцияДО определена на отрезке [а, й], т.е. /е [а, 6], а система функций {е/(т)}^/= i ортогональна на отрезке [с, d\, те. TG[C, d\. В качестве аргумента системы функций записана пере­ менная X именно для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что пере­ менные / и т принадлежат разным множествам. Чтобы привести их к единому множеству, представим

г = а + Л(й - а), т = с + A,(rf - с), XG [О, 1].

Выразив X, например, из первого соотношения и подставив во второе, найдем т = с + (/ - d){d - c)l(b - а). Если теперь в со­ ставе функций {^/(т)}^/ = 1 аргумент т заменить в соответствии с последним выражением, получим систему функций [ех (/)}^ = i, ортогональную на множестве [а, 6], на котором определена и функция ДОЕсли же подобным образом выразить / = <з +

Н- (т — с)ф — d)l{d — с) и это значение подставить в выражение функции Л0> получим новую функцию /(т), определенную на

[с, d\, на котором ортогональна исходная система функций {е,(т)}^/= 1. Оба приема, разумеется, эквивалентны в смысле полу­ чения одного и того же результата и позволяют после такой заме­ ны аргументов воспользоваться изложенными результатами.

После сделанного замечания рассмотрим следующий пример. Пусть мы хотим функциюДО = 1+ /, /G [О, 2], представить в виде

125

частичной суммы обобщенного ряда Фурье по многочленам Лежандра, ограничив приближение первыми тремя слагаемыми. В данном случае, таким образом, ei(T) = Ро{т) = 1, е2(т) = PI(T) = т, ез(^) = Р2(^) = 3TV2 -1/2, причем те[ - 1, 1], т.е. [а, Ь] = [О, 2], [с, d] = [-1, I]. Переопределим функции Лежандра так, чтобы они оказались ортогональными на отрезке [О, 2]. С этой целью выражаем т = / — 1 и получаем PQ (t) = 1, Pi (t) = t — 1, P2 (t) = = 3/^/2 — 3/ + 1. Теперь нам необходимо найти коэффициенты Фурье Со, сь С2, которые с наивысшей, как мы выяснили, точнос­ тью позволят представить ЛО ~ ^о^о (О + ^1Л (О "^ ^2^2 (О- Эти коэффициенты находятся в соответствии с (3.19):

Ci=m.Pi\tMp;(t)\\\i==o,i,2.

Имеем:

(fit), P2*(0)^=J(l + 0(3rV2-3/ + l)d/ = 0

о

и, следовательно, CQ = 2, ci = 1, С2 = О, что приводит к окончатель­ ному результату: ЛО = CQPO (/) + C]Pi (О = 1 + /. В этом простей­ шем случае, как врщим, с помощью всего лишь двух слагаемых ряда Фурье удалось совершенно точно описать функцию Д/) = = 1 + /, что, еще раз подчеркнем, объясняется простотой задачи. В общем случае такой «блестящий» результат не достигается, но при удачном выборе системы функций {е,(т)}^ = i и достаточно большом их количестве q можно сколь угодно близко к нему по­ дойти.

Определение 3.18. Ортонормированная (ортогональная) сис­ тема функций {^,(т)}7 = 1 называется замкнутой, если любую функциюДОе L2 можно по норме этого пространства приблизить

126

с любой точностью линейными комбинациями конечного числа элементов этой системы.

Утверждение 3.3. Если система функций {е,(т)}'^= i замкнута, то для любой функции ДО^Ьг неравенства Бесселя (3.26), (3.27) переходят в точные равенства соответственно

называемые равенствами Парсеваля.

Ограничим доказательство вторым из этих равенств, относя­ щимся к ортонормированной системе функций. Из определения замкнутой системы следует, что при Ve > О 3^ > О такое, что

0<i|/(Of-ic?<e. (3.28)

Но это эквивалентно условию

lim|||/(/)f-ic?]=0,

так как при возрастании q сумма в (3.28) может только возрастать. Последнее эквивалентно второму из записанных равенств Парсе­ валя.

Утверждение 3.4. Если система функций {е,(т)}'7= i замкнута, то формальный ряд Фурье для любой функции /(/)€ L2 сходится по норме пространства L2 к этой функции, т.е.

Г д \

lim 1/(0-1^^/(011 :0.

/=1

Действительно, в соответствии с (3.25) для ортонормированных функций имеем

wm-^icicM -\\т\? Лс}

Так как при возрастании q правая часть последнего равенства стремится к нулю, приходим к данному утверждению.

127

Существует еще одно очень важное свойство функциональ­ ных пространств, которое мы приведем без доказательства.

Утверждение 3.5. В пространстве hz всякая полная ортого­ нальная (ортонормированная) система функций является замк­ нутой, и наоборот.

И вообще, в функциональных пространствах справедливы выводы: если ортогональная (ортонормированная) система функций {е/(т)}°]= 1 является полной, то она оказывается замкну­ той; с помощью линейной комбинации ее элементов с любой точностью можно представить произвольную функцию/(Ое L2; формальный ряд Фурье функции ДО сходится по норме к самой функции; выполняется равенство Парсеваля. Такая система яв­ ляется ортогональным (ортонормированным) базисом в прост­ ранстве L2. Соответственно, если выполняется равенство Парсе­ валя, то такая система функций является базисом в пространстве L2, т.е. выполнение равенства Парсеваля эквивалентно сходимо­ сти формального ряда Фурье функции^/) к этой функции.

3.2.7. Ортогональные (ортонормированные) системы дискретных функций

При определении временного ряда было указано, что он форми­ руется на основе наблюдений, проводимых в дискретные, как правило равноотстоящие, моменты времени /ь /2> •••> ^л^- Это в яв­ ном виде отражено в модели тренда (3.2). Изложенные же выше основы теории обобщенных рядов Фурье используют концепцию квадратично интефируемых непрерывных функций с интефальным определением скалярного произведения, нормы, метрики и других основанных на этих понятиях характеристик. Поэтому не­ посредственно использовать полученные результаты для матема­ тического описания временных рядов принципиально невоз­ можно. Однако можно построить системы функций, определен­ ных на дискретных множествах значений их аргумента, которые обладают свойствами и характеристиками, подобными прису­ щим квадратично интефируемым функциям.

Итак, рассмотрим множество функций, определенных в точ­ ках /i, t2, ..., tj\f. Условимся символом У(//), / = 1, 2, ..., N, обозна­ чать некоторую из них. Величину

128

назовем скалярным произведением функций /(//) и w(//). Нормой

функцииД//) назовем число

ll/(^/)hV(/(^/)'/(^/))=J^/^(^/)- (3.30)

Пол расстоянием между функциями/(//) и w(//) условимся по­ нимать величину

Р(/(^/), «(^/))HI/(//)-«(^/) 11= 4U{ti)-u{U), f{ti)-u{U)) =

=JI(/(//)-«(//))^

Можно убедиться, что все введенные величины удовлетворя­ ют соответствующим аксиомам.

Функции У(//) и u{ti) будем называть ортогональными, если (Д//), w(//)) = О, и ортонормированными, если, помимо условия ор­ тогональности, выполняется нормировка ||Д//)|| = ||w(^/)|| = 1. Обра­ тим внимание на то, что все введенные определения подобны их аналогам из пространства Li, но интегральные операции замене­ ны конечными суммами. В выражении (3.29) скалярного произ­ ведения могут быть предусмотрены весовые коэффициенты, мо­ делирующие функцию ц(/) в определении (3.9).

Систему функций {^А:(^/)}\ = о? где /=1,2, ..., N, будем назы­ вать ортогональной на множестве {ti, /2, ..., ^л^} дискретных значе­ ний ее аргумента, если любые две функции е^(//) и еу(//) этой сис­ темы при к Ф] ортогональны, и ортонормированной, если

где S/cj — дельта-символ Кронекера.

Все введенные понятия удобно переформулировать в терми­ нах линейных конечномерных пространств. Действительно, не­ которую функцию/(//), определенную на множестве дискретных

129