Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

86-2008(методичка-математика)

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
783.61 Кб
Скачать

ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”

Кафедра “Прикладная математика”

№86-2008

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к контрольной работе № 2

по высшей математике для студентов инженерно – технических специальностей заочной формы обучения

divFdV FndS

V S

Воронеж 2008

Составители: канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук канд. техн. наук ст. преп.

УДК 517.2 (07)

А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, Н.В. Рогова, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова

Методические указания к контрольной работе №2 по высшей математике для студентов инженерно– технических

специальностей

заочной формы обучения

/ ГОУВПО

“Воронежский

государственный технический

университет”;

cост. А.П.

Бырдин, Н.В. Заварзин,

Н.В. Рогова,

А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова. Воронеж, 2008.

48 с.

Методические указания предназначены для студентовзаочников инженерно - технических специальностей и содержат рекомендации к работе над курсом высшей математики, программу курса с указанием литературы, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.

Ил. 4. Табл.1. Библиогр.: 5 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов

Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2008

2

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, включающая его изучение по рекомендованным учебникам, решение задач с помощью учебных пособий, самопроверка и только затем - выполнение контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения.

Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В пособиях [2], [4] имеется большое количество решенных задач, с которыми студентам рекомендуется ознакомиться при изучении соответствующего материала.

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для самопроверки приведен на страницах 5 - 6.

Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:

правильном и подробном решении задач в контрольной работе,

3

умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе,

твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.

Если в процессе изучения теоретического материала или

при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться с которыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.

Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.

Предпоследняя цифра x

Предпоследняя цифра x

совпадает с одной из цифр:

совпадает с одной из цифр:

 

0, 2, 4, 6, 8.

1, 3, 5, 7, 9.

 

 

 

x1

1–й вариант

x1 – 11–й вариант

x2

2–й вариант

x2 – 12–й вариант

x3

3–й вариант

x3 – 13–й вариант

x4

4–й вариант

x4 – 14–й вариант

x5

5–й вариант

x5 – 15–й вариант

x6

6–й вариант

x6 – 16–й вариант

x7

7–й вариант

x7 – 17–й вариант

x8

8–й вариант

x8 – 18–й вариант

x9

9–й вариант

x9 – 19–й вариант

x0

– 10–й вариант

x0 – 20–й вариант

 

 

 

4

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.

1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2.На обложке контрольной работы должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.

3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.

4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.

6.После получения проверенной работы исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.

ПРОГРАММА КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТОВ –- ЗАОЧНИКОВ

ИНЖЕНЕРНО – ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ (ВТОРОЙ СЕМЕСТР)

Исследование функций с помощью производных

1. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума Необходимое и достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

5

[1, гл. 5, §§1-6].

2. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций [1, гл. 5, §§9-11].

Неопределенный интеграл

3.Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям

иподстановкой [1, гл.10, §§1-4,6].

4.Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений [1, гл. 10, §§5,7-10,12].

Определенный интеграл

5.Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла [1, гл.11,

§§1-3].

6.Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница [1, гл.11, §4].

7.Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям и подстановкой. Приближенное

вычисление

определенного интеграла по формулам

прямоугольников, трапеций и Симпсона [1, гл.11, §§5-6,8].

8. Приложение интегралов к вычислению площадей, длин

дуг кривых,

объемов тел и площадей поверхностей вращения.

[1, гл.12, §§1,3,5,6].

Несобственный интеграл

9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости [1, гл. 11, § 7].

6

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

1.Каковы признаки возрастания и убывания функции? Что называется экстремумом функции? Как найти максимумы

иминимумы функции? Сформулируйте два правила.

2.Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.

3.Чем отличается максимум (минимум) функции, заданной на некотором отрезке, от ее наибольшего (наименьшего) значения?

4.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке? Всегда ли они существуют?

5.Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

6.Что называется асимптотой кривой?

7.Как находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции?

8.Каковы основные пункты общей схемы исследования функции и построения ее графика?

9.Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла.

10.Напишите таблицу основных интегралов.

11.Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

12. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

13.Выведите формулу интегрирования по частям.

14.Запишите простейшие рациональные дроби I-IV типов. Вычислите неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей I-III типов.

15. Изложите правило разложения правильной

7

рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов.

16.Интегрирование иррациональных выражений.

17.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.

18.Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.

19.Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

20.Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле

21.Несобственные интегралы первого и второго рода.

22.Теоремы оценки сходимости несобственных интегралов первого и второго рода.

23. Формула площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат.

24.Формулa площади криволинейной трапеции в полярной системе координат.

25.Формула длины дуги кривой в декартовой системе координат.

26.Формула объема тела вращения.

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

 

 

 

 

Задача № 1

 

 

 

 

Найти критические точки первого рода и интервалы

монотонности функции

y y(x) .

 

 

 

1.

y

x2 2x 2

.

2.

y e1/ (5 x) .

 

 

 

x 1

 

 

 

 

3.

y x ln(1 x2 ).

4.

y

4x x2 4

.

 

 

 

 

 

 

 

x

8

5. y

x2 x 1

.

6. y x2 2 ln x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. y ln

 

1 x

.

8. y x3e x 2 / 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

y

ln

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

y ln (1 x2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

y

 

 

x 1

.

12.

y (x 1)e3x 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

y

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

14.

y x

 

ln x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

x2

 

 

.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

x3

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 1

 

 

 

 

 

 

x 1

 

17.

y

(x 2)

2

.

18.

 

y x ln x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

y

x

2 6

.

 

 

 

 

20.

y

x2

 

3x 2

.

x

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследовать на экстремум функцию

y y(x) .

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

1. y

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2. y

x

2

 

 

(x 5).

 

(x 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. y e2x x 2 .

4. y

x3 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

9

5.

y

 

 

 

 

 

x3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4 1

 

 

 

7.

y x2

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

9.

y

4 2x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

11.

y x e1/ x .

 

 

 

13.

y

e2x

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

y

 

 

 

5x4

3

.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

5x

 

 

 

17.

 

 

.

 

 

 

 

4 x2

 

 

 

19.

y

 

 

2(x 1)

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. y x ln (x2 4).

8. y x ln 2 x.

10.

y x2e x 2 / 2.

12.

y

 

x5

.

 

x

4 1

 

 

 

 

 

14.

y x e x .

 

 

16.

y

4e x2

1

.

 

 

 

 

e x2

 

 

 

 

 

 

18.

y (x 2)e1 x .

20.

y (x 1)e2x .

Задача № 3

Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки

перегиба графика функции

y y(x) .

1. y

x2

 

.

2. y ln(x2 2x 6).

(x 2)

2

 

 

 

10