Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

ренциальным уравнением (П1.8). Очевидно, передаточная функ­ ция сама является изображением решения уравнения (П1.8), но при такой функции х(0, изображение которой x(s) = 1. Такой функцией является дельта-функция Дирака 5(0, обладающая свойствами:

В силу последнего равенства принимается

L{5(0} =оT8(0^"'^d/ = l.

Заметим, что иногда значение этого интеграла считают рав­ ным ~ . Решение уравнения (П1.8) при x(t) = 5(/) называют весо­ вой функцией, или импульсной характеристикой динамической системы. Обозначим ее символом со(0, т.е. со(0 = L~^{lV{s)}. Тогда оригинал изображения (П1.12) можно найти на основании теоре­ мы о свертке

оо

Каждое из интефальных выражений в этом соотношении на­ зывают оператором свертки. Оператор свертки, таким образом, позволяет при отсутствии ограничений на начальные условия найти решение уравнения (П1.8) при произвольной функции х(0, если известно решение при x{t) = 5(0, представленное функ­ цией со(0.

Аналогичная методология решения распространяется на ли­ нейные разностные уравнения. Изложению соответствующего подхода, как и ранее, предпошлем ряд начальных определений.

Определение П1.3. Пусть>'(0, te Т— непрерывная или кусочно непрерывная функция, определенная не непрерывном множест­ ве Г, и {^0, ti, t2, ...}сГ— дискретное подмножество точек из Т, причем t^+i — tn = const, л = О, 1,.... Тогда функция

, 1 ЫО, t = t^, п = 0, 1, 2, ...,

у[п] = i

[О, t*t„ называется решетчатой.

220

с решетчатыми функциями связывают ряд понятий, уподоб­ ляющих их непрерывным. В частности, функцию

Ау[п]=у1п+1]-у[п]

называют первой разностью, или разностью первого порядка ре­ шетчатой функции и рассматривают как своеобразный аналог производной от непрерывной функции. Первую разность первых разностей принято называть второй разностью (второго порядка) и обозначать

А^у[п]-=Ау[п+ 1]-Ау[п].

Подобным образом первую разность (к- I) -х разностей оп­ ределяют как к-ю разность

А^у[п] = A^~V[« + 1] - A^"V[«1.

Воспользовавшись методом математической индукции, не­ сложно убедиться, что к-я разность выражается непосредственно через значения решетчатой функции по правилу

и наоборот,

y[n^q]-Y.Cgl^y[n\

/=0

функцию Y[n], для которой АУ[л] = у{п], называют первооб­ разной функции y{t). Справедлив непосредственно проверяемый результат:

yin] = 'iy[i]-^c,

/=о

где с = const, в частности с = 0.

Пусть у[п] — неизвестная решетчатая функция, х[п] — извест­ ная. Тогда алгебраическое соотношение, связывающее разности

различных порядков функций у[п] и х[п], назывгаот разностным

уравнением. Если разности выразить в соответствии с (П1.14), уравнение окажется записанным в терминах самих решетчатых

221

функций. Распространенный вариант такого уравнения имеет вид

аоу[п] + aiy[n + 1] + а2у[п + 2] + ... + af^[n -^к] =

= Рох[л] + pix[Az + 1] + Р2Х[« + 2] + ... + ^^[п + т],

где а/, Ру — заданные константы и /: > т . В этом случае уравнение называют линейным разностным А:-го порядка с постоянными параметрами. Поиск решения этого уравнения, удовлетворяю­ щего начальным условиям:

У10]=УО,

У11]=Уи

(П1.16)

у[к~1]=ук-ь

называют по аналогии с дифференциальными уравнениями зада­ чей Коши. Хотя эта задача легко решается в «числе», используют различные аналитические подходы с целью получения решения в аналитической форме. Среди таких подходов широкое распрост­ ранение получил операционный. Его сущность подобна основан­ ному на преобразовании Лапласа варианту, но отражает особен­ ности (в частности, недифференцируемость) решетчатых функ­ ций.

Определение IT1.4. Решетчатую функцию >^[/7] со свойствами:

1)у[п]шО,п<0,

2)у[п] Ф О при всех или некоторых л > О,

3)ЗЛ/, с > О такие, что [у[л]| < Ме^^

называют оригиналом.

Определение П1.5. Функция 'yiX) комплексного аргумента z называется изображением, или ^-преобразованием оригинала

у[п\, если

Утверждение П1.2. ЕСЛИ>'[А2] — оригинал, то ряд в (П1.17) схо­ дится, причем абсолютно, при всех г, для которых |^ > е^^, где С{^ определено аналогичным утверждению П1.1 образом.

222

Изображение yiz) отождествляется с суммой ряда (П1.17). Су­ ществует обратная операция, позволяющая установить оригинал по изображению и называемая обратным ^-преобразованием:

2njQ

где G - любой несамопересекающийся контур, содержащий вну­ три себя окружность радиуса /^. Интеграл (П1.18) может быть вычислен в соответствии с теоремой о вычетах. Как и для непре­ рывных функций, построены обширные таблицы соответствия решетчатых оригиналов и их изображений.

Опуская достаточно несложные доказательства, приведем на­ иболее характерные свойства ^-преобразования.

1.zhciyi[n]\ = lCiZ{yi[n]}, c,.=const.

2.Z{y[n + k]} = z^y(z)-^i\^''yUl

3.Z{y[n^k]}^z~^y{z),k>0.

4. Z{A^y[n]} = (z-l)^y(z)-zi(z-l)^-^-'A'y[Ol

v=0

5. ZjEЯ/][=-Ц•Жг).

[/=0 J Z-l

6. Z-^{Mz)y2(z)}= i yiUWn-i]- i yi[n-l]y2\il

где j^i[w] иу2[п] — оригиналы, соответствующие изображени­ ям >?i(z) и >^2(^).

7.у[0] = lim y(z).

8.nmyln] = lim(z-l)y(z).

Рассмотрим теперь существо операционного метода решения задачи (П1.15), (П1.16). Логическая направленность метода пол-

223

ностью соответствует предьщущему изложению, относящемуся к дифференциальным уравнениям.

Вооружившись свойствами 1 и 2 ^-преобразования и началь­ ными условиями (П1.16), подвергаем обе части уравнения (П1.15) z-преобразованию. Обозначим y(z) = Z{j^[«]}, x{z) = Z{X[A2]}H сгруппируем вместе слагаемые, содержащие y(z), x{z) и одинако­ вые начальные условия, обусловленные офаничением (П1.16) и процессом х[п]. В результате получим подобное (П1.10) алгебра­ ическое уравнение с единственной неизвестной функцией y{z):

Подвергнув изображение (П1.19) обратному z-преобразова­ нию, получим решение исходной задачи (П1.15), (П1.16). Выра­ жение (П1.19) значительно упрощается, если, подобно предыду­ щему, снять Офаничения (П1.16) на начальные условия и считать их естественным проявлением влияния функции х[п]. Это приво­ дит к взаимной компенсации определяемых начальными услови­ ями слагаемых и в результате оказывается

224

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Калмановскоепрогнозированиеразвития отдельных отраслей экономики России

Результаты прогнозирования, в частности краткосрочного (до 1 года), развития отдельных отраслей экономики России представ­ ляют большой интерес для многих управляющих органов страны. Это стимулирует разработку большого числа подходов к реше­ нию данной проблемы. Краткая аннотация этих подходов содер­ жится в работе [31], где построена и успешно реализована автор­ ская модель экономики России, представленная системой одно­ временных уравнений и идентифицированная на квартальных макроэкономических данных (4-й квартал 1994 г. — 1-й квартал 2001 г.) из официальньЕх: статистических источников. Покажем, что эти данные позволяют построить модели соответствующих временных рядов в терминах стохастического вектора состояния и использовать их для разработки алгоритмов прогнозирования калмановского типа, обладающих не худшими по сравнению с [31] характеристиками.

Данные, используемые нами далее для разработки стохасти­ ческих моделей рядов, представлены на рис. П2.1 — П2.5. Здесь же указаны относительные ошибки прогнозирования, проведен­ ного с помощью системы одновременных уравнений (СОУ) на 1 и 2 квартала 2001 г. [31] (2001:1 и 2001:2). Технология соответ­ ствующего анализа изложена в [31] и здесь не детализируется. На­ ша цель заключается в разработке по имеющимся апостериорным данным рекуррентного алгоритма прогнозирования калмановско­ го типа и исследовании его свойств по аналогии с [31].

Визуальный анализ эмпирических данных позволяет интер­ претировать их как аддитивную смесь квазидетерминированной и случайной составляющих. Первую из них в соответствии со структурой эмпирических данных аппроксимируем многочленом 3-го порадка. Случайную составляющую представляем в форме стохастического процесса, на который наложен независимый бе­ лый шум. Так как для всех 5 радов техника формализации являет­ ся общей, далее изложение ведется без конкретной адресации.

Таким образом, если Уп — п-й уровень ряда, причем л = 1, 2,..., 25

226

Совокупное потребление

30

0 > 0 > 0 ) 0 ) 0 > 0 > 0 ) 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 ) 0 > 0 > C 7 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 > 0 0 0 0 0 0 ' « - i t - T - T - T - T - T - ^ T - ' r - ' r - t - T - C M C M O I C N C N J C N J

Рис. П2Л. Эмпирические, модельные и прогнозные значения переменной СО

Рис. П2.2. Эмпирические, модельные и прогнозные значения переменной Y

227

Рис. П2.3. Эмпирические, модельные и прогнозные значения переменной X

Денежные доходы населения

С Г > 0 ) 0 > 0 > 0 > 0 > 0 ) О С 7 > 0 > 0 > 0 ) 0 ) 0 0 > 0 > 0 > 0 ) 0 ) 0 > 0 ) 0 0 0 0 0 0

Рис. П2.4. Эмпирические, модельные и прогнозные значения переменной Л^

228

Рис. П.2.5. Эмпирические, модельные

ипрогаозные значения переменной М

Всоответствии с объемом наблюдений, <<пригодных» для разра­ ботки алгоритмов, то

У«=/п+е«+/^т«=Ь25. (П2Л)

Детерминированная составляющая/, описывается простейшеймомоделью/j^ = ^о "^ d\n + djn^ + di^r?, или в векторных обозначениях

Стохастическая составляющая £„ отождествляется со случай­ ной последовательностью типа ARMA и описывается разност­ ным уравнением вида (4.32) афп "+" ^i^/i+i + ^2^п+2 "^ ^о^л "^ ^Л+i

спорождающим белым шумом х„ единичной интенсивности.

Втерминах состояния, как показано в разд. 4.11, это уравнение эквивалентно представлению

229