Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

называют корреляционной функцией случайного процесса X(t), или

нормированной ковариационной функцией. Если Лд^//, tj) = О, т ворят, что сечения Д//) и X(tj) процесса ДО не коррелированы. В частности, если эти сечения независимы, то они и не коррелиро­ ваны. Действительно, при независимых сечениях выполняется (4.10), двойной интеграл в (4.15) распадается на два одномерных, каждый из которых равен нулю. Из равенства R^tt, /^) = О в общем случае не следует независимость сечений, но эту зависимость с помощью ковариационной (корреляционной) функции не удает­ ся зарегистрировать. Из неравенства Лл^^ь {/) "^ О вытекает зависи­ мость сечений.

Приведем наиболее характерные свойства ковариационной функции.

1. Kx{th tj) = Kx(tj, //), что непосредственно следует из опреде­ ления (4.15).

2.Kx{ti, //) = Dx{ti) ^ О, что опять же следует из (4.15).

3.Для любых т вещественных чисел 9ь ^2> •••>?/« и моментов времени t\,t2, ...,t^ выполняется неравенство

/=1у=1

Чтобы убедиться в справедливости неравенства, достаточно построить случайную величину т] = X QiX'^iJi) и вычислить М{г| }.

/=1

Функции со свойством (4.17) принято называть неотрицательно определенными.

4. {Kxitb tj)f < Ыи. td Mtj, tj) = DMD^tj),

что является аналогом известного неравенства Коши-Буняков- ского. Это неравенство следует из (4.17), если положить /w = 2,

5.Если Z{t) = g{t) + X{t), где g{t) — детерминированный про­ цесс, ДО - случайный процесс, то Kzlifi, tj) = K^ti, tj), т.е. неслу­ чайное слагаемое не изменяет ковариационную функцию слу­ чайного процесса. Это объясняется легко получаемым равенст­ вом Z°(0 =^°(0.

6.Если Z(t) = g(t)X(t), где g{t) — детерминированный процесс, ДО — случайный процесс, то А2(//, tj) "= g(ti)g(tj)Kx{ti, tj). Это нера венство несложно получить, воспользовавшись определением ковариационной функции.

170

Полезно подчеркнуть, что все приведенные определения и свойства справедливы как для непрерывных случайных процес­ сов, так и для случайных последовательностей. Однако для не­ прерывного процесса моменты //, /) могут быть любыми в непре­ рывной области определения процесса, а для случайной последо­ вательности они должны совпадать с дискретными моментами существования элементов последовательности.

При построении математических моделей непрерывных про­ цессов большое значение имеет случайный процесс, называемый

белым шумом.

Определение 4.10. Случайный процесс X(t) называется белым шумом, если M{X{t)} = О и А';^//, tj) = с6(/у — ^/), где с = con^t — ин­ тенсивность белого шума, 5(0 — дельта-функция Дирака, облада­ ющая свойствами

Из этого определения следует, что любые два сечения белого шума при ti Ф tj некоррелированы, а дисперсия Dy/^t) = ©о. В силу этих обстоятельств белый шум является чисто гипотетическим процессом, реально не существующим, но представляющим со­ бой весьма полезную математическую модель, широко применя­ емую при решении многих практических задач. Используется и более широкое толкование белого шума, при котором с = c{t) — функция времени.

При решении задач, основанных на концепции случайных последовательностей, используют другое понятие белого шума. Хотя применительно к иной ситуации это понятие уже использо­ валось, дадим соответствующее определение.

Определение 4.11. Случайная последовательность Х\, Х^, ...

называется дискретным белым шумом, если элементы этой после­ довательности независимы, М{Х^ = О и K^^ti, tj) = M{XiXj} = c5/j, где, как и выше, с = const — интенсивность, 5/у - дельта-символ Кронекера, уже встречавшийся ранее и определяемый так:

hj-l 1, i = J

171

Таким образом, дискретный белый шум представляет собой последовательность независимых центрированных случайных величин с постоянной дисперсией с. При более общем определе­ нии дискретного белого шума допускается с = с(//).

Ковариационная функция Kxiti, tj) случайного процесса X{t), как уже отмечалось, является мерой статистической связи двух сечений этого процесса. Для количественной оценки аналогич­ ной связи, но двух различных процессов используют понятие взаимной ковариационной функции. Дадим соответствующие определения. Пусть X{t) и Y{t) — два случайных процесса.

Определение 4.12. Функция Fx^ }{х, у\ Г/, tj) = P((X(ti) < х)п{ Y{tj) < у)) называется совместным распределением вероятностей про­ цессов X{t) и Y(t) в моменты времени //, tj.

Определение 4.13. Если Fx yix, у; //, tj) — дифференцируемая

функция, то функцияД у{х, у; //, /у) = - ^ Fx^ у(х, у; //, tj) называ­ ется совместной плотностью вероятностей процессов X{t) и Y(t) соответственно в моменты времени // и tj.

Определение 4.14. Взаимной ковариационной функцией KxA^h ^j) двух случайных процессов X(t) и Y{t) называется неслу­ чайная функция переменных //, t/.

Kxy{t,,tj) = M{X4ti)Y^(tj)}==

—оо—оо

Эта функция, представляющая собой среднее значение про­ изведения двух центрированных сечений процессов X{t) и Y(t), используется в качестве меры статистической связи этих процес­ сов. Если при некоторых //, tj Kxyith Ф ~ О, то говорят, что сече­ ния X{ti) и Y{tj) некоррелированы. Если же это равенство выпол­ няется при любых ti и tj, то процессы называют некоррелирован­ ными на всем множестве их определения. В соответствии с опре­ делением Kxy{ti, tj) = Kyx^tj, ti). Если Z(/) = ДО + Г(0, где X(t) и Y{t) - два случайных процесса, то

Kziti, tj) = M{Z^(tdZ%tj)} =

= Kxiti, tj) + Kniti, tj) + KY)({ti, tj) + Ky{ti, tj),

111

Если же процессы не коррелированы, то KzfJi, tj) = Kxitj, tj) + + KyiU, tj).

Ковариационные и взаимные ковариационные функции ес­ тественным образом распространяются и на векторные сучайные процессы, но в этих случаях соответствующие ковариационные функции оказываются матричными. Так, если X(t)e R", Y{t)e R™ - два векторных случайных процесса, то по определению:

Kxitb tj) = M{X^{t;){X%tj))^)eBP''\

Kyitb tj) = M{F°(/,)(F°(/,))'^}€R'"^'",

4.5. Стационарные и эргодические случайные процессы

Все случайные процессы принято делить на два широких класса

— стационарные и нестационарные процессы, что связано с ря­ дом принципиальных различий в их характеристиках.

Определение 4.15. Случайный процесс X{t) называется стацио­ нарным в узком смысле, если все конечномерные функции распре­ деления вероятностей любой размерности инвариантны относи­ тельно сдвига во времени, т.е при Vw, t:

^Л'(^Ь ^ 2 , - , ^Ai; ^Ь ^2, •••» О =

(4.18)

= ^Л'(^Ь ^2, - , ^п\ t\ + t\ t2 + t\ ..., tn + Л.

Из определения следует, что процессы X(t) и Д/ + /) имеют одинаковые распределения. Процессы, не удоволетворяющие определению (4.18), принято называть нестационарными в узком смысле. Из (4.18) вытекает ряд свойств.

1- /\<^Ь ^2» •••) Хт t\, ti, ..., tn) =

= / А ( ^ Ь ^Ъ -М ^п\ t\ + t\ ti + t\ ..., /„ + {),

так как плотность вероятностей как производная от (4.18) также инвариантна относительно сдвига /.

173

2.Пусть л = 1 и выберем / = —//. Тогда/Y(X; //) =/х(х; ti+ t) = =fxix), т.е. одномерная плотность вероятностей стационарного в узком смысле процесса одна и та же во всех сечениях процесса.

3.Пусть л = 2 и выберем / = —//. Тогда^хь ху, //, tj) =/х(х\, Х2\ tj — ti) =/И^ь ^г?'^)) "^ ^ b^^h т.е. двумерная плотность вероятнос­ тей стационарного в узком смысле случайного процесса не зави­ сит от того, как выбраны сечения //, tj, а зависит лишь от расстоя­ ния т между сечениями.

4.Математическое ожидание стационарного в узком смысле процесса является постоянной величиной:

оо

шх = M{X(t)} = J xfx(x)6x = const.

—оо

5. Дисперсия стационарного в узком смысле процесса являет­ ся постоянной величиной:

6. Ковариационная функция стационарного в узком смысле процесса не зависит от моментов времени //, tj, а зависит от рас­ стояния 'I- tj — ti между ними:

—оо—оо

l.Dx-KM^

Помимо процессов, стационарных в узком смысле, вьщеляют класс процессов, стационарных в широком смысле.

Определение 4.16. Случайный процесс X(t) называется стаци­ онарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а ковариационая функция зависит только

от расстояния между сечениями, те. m^^t) — гпх— const, D^t) — Dx—

= const, Kj^ti, tj) = Kx(tj ~ ti) = Kx{x).

Из сопоставления двух последних определений следует, что стационарный в узком смысле процесс одновременно является стационарным и в широком, но не наоборот. Понятия стацио­ нарности в обоих смыслах совпадают лишь для так называемых гауссовских процессов, у которых одномерные и многомерные распределения являются гауссовскими. Аналогичным образом вводится понятие совместно стационарно связанных случайных

174

процессов. В этом случае M{X(ti)Y(tj)} = Kxiitj — //) = Kxyit). По­ лезно заметить, что сумма двух нестационарных случайных про­ цессов может оказаться процессом стационарным.

Свойства числовых характеристик стационарных процессов не противоречат их общим свойствам, изложенным выше. Тем не менее удобно заново их указать с учетом стационарности про­ цессов.

1. Kxit) = Kjd—x) — четная функция.

2.\Kx(x)\<Dx;\Rx(r)\<L

3.Если функция Кх(т) непрерывна в точке т = О, то она непре­ рывна при Vx.

4.Для многих стационарных процессов Кх(х) -^ О при т —> ©о. Величина т^^ такая, что |А;^<т)| ~ О при х > Ху^, называется временем

6.{Kxy(x)f < Кх{0)Ку(0) = DxDy.

7.Если Z(/) = X(t)Y(t), где X{t) и Y(t) - стационарные центрированные независимые случайные процессы, то Kz(x) =

=M{Z^(t)Z^(t + X)} = Кх(т)Ку{т),

8.Если 7(0 -g{t)X(t), где^(0 -детерминированная функция, X{t) - стационарный случайный процесс, то /Гу(//, ф = =^g(ti)g(tj)Kx(x).

Понятие стационарности распространяется как на непрерыв­ ные процессы, так и на случайные последовательности. Однако в последнем случае необходимо иметь в виду, что расстояние меж­ ду сечениями представляет собой целое число периодов дискре­ тизации (х = /и^, m = О, ±1, ±2,...), а ковариационная функция яв­ ляется решетчатой и ее обозначают символом Кх[т].

Среди стационарных случайных процессов выделяют класс так называемых эргодических процессов, наиболее привлека­ тельный с практической точки зрения. Пусть X(t) — стационар­ ный случайный процесс и x(t) - некоторая его реализация, при­ чем теоретически /G(—©о, ©о). Построим по этой реализации сле­ дующие величины:

175

Далее положим, что процесс X{t) имеет математическое ожи­ дание, дисперсию и ковариационную функцию, определяемые обычным образом:

Определение 4.17. Стационарный (в узком смысле) случай­ ный процесс ДО называется эргодическим по математическому ожиданию и ковариационной функции, есл^1 с вероятностью единица вьшолняются равенства: т = гпх, К{х) = А^^т) и, как следствие, D = Dx-

Таким образом, принципиальная особенность эргодического процесса праявляется в том, что основные его числовые характе­ ристики могут быть определены по одной реализации процесса до­ статочно большой длительности без использования плотностей вероятностей. Усреднение проводится по времени, те., как гово­ рят, «вдоль процесса». Для неэргодического процесса эти же харак­ теристики приходится искать в соответствии с их классическим определением, использующим плотности вероятностей, поиск которых, в свою очередь, основывается на обработке множества реализаций процесса. Поэтому говорят, что характеристики неэр­ годического процесса находятся усреднением по множеству реа­ лизаций или «поперек процесса». Не любой случайный процесс является эргодическим. Существуют специальные условия, вы­ полнение которых обеспечивает эргодичность. В частности, гауссовский процесс является эргодическим, если lim Kx{i) = 0.

Понятие эргодичности распространяется и на случайные по­ следовательности. Однако интегральные операции при проведе­ нии временного усреднения здесь уже принципиально неприме­ нимы и усреднение, если Х/, / = О, ±1, ±2,... — реализация случай­ ной последовательности, принимает вид:

IN

К[т]= lim-— S (х/-/й)(х,+^~/й).

176

4,6. Спектральная плотность случайного процесса

Определение 4.18. Пусть X{t) — непрерывный стационарный слу­ чайный процесс с абсолютно интегрируемой ковариационной функцией Кх(т). Тогда спектральной плотностью ij^co) процесса

X(t) называют двустороннее преобразование Фурье от его ковари­ ационной функции

где со — параметр, обычно называемый частотой; j — мнимая еди­ ница (/^=-1).

Так как К;^т) - четная функция и е"-^^'^ = cos сот -ysincox, то можно записать

оо

Sx((o) = 2j KX(T)COS coxdi,

о

откуда следует, что Sx((xy) является четной функцией со. Справедливо обратное представление

Из последнего равенства вытекает важное следствие

Выявим физический смысл спектральной плотности. С этой целью дополнительно предположим, что X(t) - эргодический центрированный процесс. Тогда

Dx = lim т^ J (x(t)fdt.

Последнее соотношение показывает, что дисперсия представ­ ляет собой среднюю мощность процесса. Это обстоятельство позволяет следующим образом интерпретировать равенство (4.20): случайный процесс X{t) условно можно представить как

177

линейную комбинацию бесконечного количества составляющих гармонического типа, частоты которых непрерывно заполняют

1 весь диапазон [О, «»); тогда величину •г5л<со)<1(о можно тракто­

вать как среднюю мощность составляющих процесса, частоты которых принадлежат отрезку [со, со + dco]; суммирование (интег­ рирование) этих мощностей по всему диапазону частот приводит к средней мощности всего процесса. Следовательно, сама спект­ ральная плотность с точностью до множителя 1/я представляет собой плотность распределения мощностей гармонических со­ ставляющих процесса по частотам.

Спектральные плотности для большинства случайных про­ цессов, моделирующих реальные явления, построены и система­ тизированы в различных литературных источниках. Приведем некоторые.

1. Кх{х) = с5(х), с = coast => 5Y(CO) = с.

(со^-а^-р2)^+4а2а)^

Полезно отметить еще одно свойство пары «ковариационная функция — спектральная плотность»: чем шире фафик ковариа­ ционной функции, тем уже график спектральной плотности, и наоборот. Объясняется это следующим обстоятельством. Широ­ кий график ковариационной функции говорит о том, что процесс характеризуется большим временем корреляции, т.е. его реализа­ ции медленно меняются во времени. Но это означает, что мощ­ ность процесса определяют низкочастотные составляющие, и график спектральной плотности концентрируется в области низ­ ких частот. Узкому фафику ковариационной функции соответст­ вует малое время корреляции, реализации процесса меняются

178

быстро и в них превалирует роль высокочастотных составляю­ щих, что «расширяет» график спектральной плотности. Имеются и более строгие доказательства этого свойства.

Понятие спектральной плотности распространяется и на слу­ чайные последовательности. Однако поскольку ковариационная функция Ajrf/w] случайной последовательности является решет­ чатой, применить к ней интегральное преобразование вида (4.19) невозможно. Поэтому по определению под спектральной плот­ ностью Sxliz) стационарной случайной последовательности пони­ мают двустороннее ^-преобразование ковариационной функции

Ыт]:

где z — комплексная переменная, и предполагается, что функция Кх[т] удовлетворяет условиям сходимости ряда (4.21). Часто функцию (4.21) удобнее представить в виде:

m=0

где Sx^iz) — одностороннее ^-преобразование ковариационной функции, для которого существуют обширные справочные мате­ риалы. Заменой z = в^^% (о^е[~я, п] спектральную плотность Sxiz) часто переводят в частотную область, но в данном случае в этом нет необходимости.

4.7. Преобразование случайного процесса линейным оператором

Пусть X{t) — случайный процесс с известными математическим ожиданием ntxit) и ковариационной функцией Kx{ti, tj)j- в ре­ зультате воздействия заданным линейным оператором А преоб­ разуется в случайный процесс 7(0, т.е.

Задача заключается в поиске числовых характеристик случай­ ного процесса Y(t) и взаимных ковариационных функций про­ цессов ДО и 7(0-

179