Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon
.pdf(4.37). Построение этого уравнения, таким образом, сводится к следующему.
Пусть у;, / = О, 1, ..., — стационарная случайная последова тельность с ковариационной функцией Ку{т]. Подобным (4.22) образом строятся функции
|
SHz)= |
1 KYWZ-"^, |
SY(Z) = |
S^(Z)-^SHZ-^)-KYIO]. |
|
|
|
/и=0 |
|
|
|
После приведения к общему знаменателю функция Sy(z) при |
|||||
обретает вид |
Syiz) = |
—, где A(z) — знаменатель функции |
|||
Sy^iz), |
а Q(z) |
A(z)A(z |
) |
|
|
— некоторый |
возвратный многочлен. Этот много |
||||
член подвергается факторизации, в результате чего |
его удается |
||||
представить |
в виде Q(z) = |
B{z)B(z~^) с очевидным |
следствием |
||
SY(Z) |
= |
Г"- Функция ^ ( ^ ) = ~тгт, |
называемая часто ле;;е- |
||
|
Aiz)A(z-b |
^(^) |
|
|
даточной, определяет разностное уравнение (4.32) формирующе го фильтра. Принцип его построения легко обнаруживается из сопоставления уравнения (4.32) и структуры многочленов A(z) и
Biz).
В |
иллюстративных целях |
рассмотрим |
следующий пример. |
Пусть |
Ку{т] = a V ^ W . Тогда |
SHz) = o^ S |
(е'^-'Г--^^ |
|
|
т=о |
z-e ^ |
что справедливо
а2(1-^-2«)
Zl—I^' iz-e-'^Kz-'-e-'^)
при е ^\z \ < 1. Далее находим SY(Z) =
т.е. в этом простейшем случае Q(z) =
= а^(1 - е ^") и, следовательно, B{z) = ci4l-e^^, |
A{z) ^ z- е ". |
Это позволяет уравнение формирующего фильтра представить в виде
н 1 - ^ ">^,, = a V l - e ^"^х^.
Обратим внимание на одно очень важное обстоятельство. Ра нее уже отмечалось, что выражения (4.31), (4.35) справедливы по истечении большого, теоретически бесконечного, промежутка
190
времени. При офаниченном времени процессы, порождаемые уравнениями (4.28), (4.32), оказываются нестационарными. Что бы их сделать стационарными при любых значениях времени, не обходимо надлежащим образом подобрать начальные условия. Это, разумеется, касается и формирующих фильтров. В продол жение предьщущего примера покажем, как это можно осущест вить. В целях лаконичности перепишем уравнение формирующе го фильтра в виде
Уп^\-аУп-^Ьх^, t? = e-«, Z^ = aVl-e"2«. |
(4.38) |
Для формирования последовательности}';,, л = О, 1, ..., обра зованной в соответствии с (4.38), предполагается, что с помощью некоторого генератора создается последовательность х^, AZ = О, 1,
... как реализация дискретного белого шума единичной интенсив ности и при каждом п по правилу (4.38) вычисляется соответству ющее значение д^л+1- Но чтобы «запустить» алгоритм, необходимо задать начальное условие у^. Попытаемся это сделать таким обра зом, чтобы процесс Y^, реализации которого образуются на осно вании (4.38), имел постоянную дисперсию а^ при всех п, С этой целью положим, что у^^ является реализацией случайной величи ны Уо) имеющей нулевое математическое ожидание m^Q] = О и пока неизвестную дисперсию D^Q] = DQ. Найдем эту дисперсию. Усредняя обе части рекуррентного выражения (4.38), получаем
т^п + 1] = ат^п] + Ьт)^п\ = О => т^п] = О при \/л,
т.е. последовательность Y^ является центрированной. Далее воз ведем обе части того же выражения в квадрат и усредним. В ре зультате получим:
Dy{n + 1] = a^D^n] 4- b^D^n] => Dy[\] = = O^DQ + b^, Dy{2] = O^DQ + a V + 6^ ...,
/=o |
a^-l |
Так как a^ < 1, то при л —> «>, т.е. в установившемся режиме,
Dy = —Z— = а . Потребуем, чтобы это равенство выполнялось а -1
при всех п\
191
И-^Ч-ьИ''-^^^-l)-^ = -4^=^i)o--^
Таким образом, если начальное условие в (4.38) является не произвольным, а представляет собой центрированную случайную величину с дисперсией DQ = а^, то множество реализаций, полу ченных из белого шума с помощью формирующего фильтра (4.38), образует последовательность с постоянной при всех п дисперсией а^. Покажем, что и ковариационная функция этой последователь ности будет удовлетворять условиям стационарности. Для этого
«свернем» алгоритм (4.38), записав |
п-\ . |
У^ =^Vo+*5^ ^'^л-ь/' |
|
и найдем |
'"^ |
/=0у=0
Так как Xi — дискретный белый шум, то M{Xn-\-iXj^_\_j} рав няется единице при n — i — k—jw нулю в остальных случаях. По этому при п> к имеем i = п — к +j,j = О, 1,..., к— 1и
Аналогичным образом при k> n выразим у = /: — л + /, / = О, 1, ..., « - 1 и
у. 1
(=0
9 |
9 |
Последние два соотношения в совместной записи приобрета ют вид:
М{YnYk} = Ку{п ~к] = c^J'^-^ = а2е-«1'^-^,
192
т.е. ковариационная функция последовательности У}, / = О, 1, ..., построенной с помощью формирующего фильтра, определяется только расстоянием между сечениями, и сама последователь ность действительно при всех / является стационарной с задан ной ковариационной функцией.
4.10. Типовые модели стохастических временных рядов эконометрики
традиционно в эконометрических приложениях используют оп ределенный класс моделей стохастических временных рядов, по лучивших широкое распространение в практике обработки вре менных рядов и включенных во многие пакеты прикладных про грамм. Все эти модели можно рассматривать как частные случаи линейного разностного уравнения (4.32) при определенном вы боре параметров и порождающем дискретном белом шуме Х^, AZ = О, 1, ..., т.е. как своеобразные формирующие фильтры. Для удобства запишем еще раз это уравнение:
аоУп^ахУп+\ + а^п-¥2+'- |
+ акУп+к=^ |
,^ ^^, |
|
|
(4.39) |
= Ь^Кп + *ix^+i + Ь2Хпл-2 + - |
+ ЬггРСп^гпу |
к>т. |
Конкретизацию этого уравнения удобно осуществить, перей дя к операторному представлению уравнения. Для этого введем в
рассмотрение оператор сдвига q, такой, что qy^ = к+i, q^y^ == Уп+2 и т.д. Тогда уравнение (4.39) примет вид (^о + ^i? + ^2S + ••• + ^1А}Уп "= = (bo + biq + b2q^ + ... + Ьт^^)Хп или же
что и будет операторной формой записи разностного уравнения. |
|
Положим bo = bi = ... = bp_i = bp+2 = - = *m = О, ap+i = a^+2 = ... |
= 0 |
и обозначим С/=—^-^ (/= 1, ...,р), Z^ = ~^. Тогда, возвратившись |
|
к обычной форме записи уравнения и изменив нумерацию аргу |
|
ментов переменных переходом отп +ркп, получим уравнение |
|
Уп = С1Уп-1 + С2у„-2 + ... + СрУп-р + Ьх^, * |
(4.4 |
193
Соотношение (4.40) принято называть авторегрессионной р-то порядка моделью стохастического временного ряда и обозначать символом АР(р) или в зарубежном варианте AR(/?). Рассмотрен ную ранее модель (4.38) можно рассматривать как частный вари ант модели АР(1). Иногда в этой модели предусматривают еще од но слагаемое, моделирующее средний уровень ряда, и тогда мо дель записывают в форме:^;j = ^о "^ ^гУп-! "^ ^2V«-2 + ••• + с^^п-р + Ьх^. Это слагаемое можно интерпретировать как ненулевое математи ческое ожидание порождающего шума х^.
Второй не менее распространенной в эконометрических при ложениях моделью является так называемая модель скользящего среднего. Ее также можно получить, исходя из уравнения (4.32), ес ли положить ^0 = ^1 = ... = Gg^i = Qg+i = ... = ajt = о, 6^4-1 = V 2 ""
=... = Л;;, = 0. Обозначая «/ = »/ = О, 1,..., q, и заменяя в нуме-
рации переменных л + ^ на «, получаем модель скользящего сред него порядка q\
Уп = d^n + dxXn-x + ... + dqXn_,g, |
(4.41) |
которую в литературе часто сокращенно обозначают как CC{q) или МА(^).
Если в уравнении (4.32) положить йр^х = ^^+2 = ... =flf;t~ 0>
6о = Ьх = ... = Ьр_д_х = О, Ьр^х "^ Ьр+2 = ••• == ^т "= О» ввести обозн чения С;=—-р-(/=1,2, ...,/7), rf =-2L±^/=0, 1,...,/7-^)И0ПЯТЬ
же изменить нумерацию аргументов переменных, заменив п -^ р на п, получим модель, известную под названием смешанной мо дели авторегрессии — скользящего среднего порядка р, q (сокра щенно АРСС(/7, q) или ARMA(/?, q)) и имеющую, таким образом, вид
Уп = СхУп-\ + С'2Уп-2 + ... + СрУп-р + doX^ + dxXn-X + ••• + dgX^-g. (4.42)
Модель (4.32) определяет как стационарные, так и нестацио нарные временные стохастические ряды. Можно показать, что если все корни алгебраического уравнения
A(z) = ло + ^\Z + a2Z^ + ... + a^z!" = О, |
(4.43) |
194
называемого, как и в аналогичном непрерывном случае, харак теристическим, находятся в комплексной плоскости строго вну три окружности единичного радиуса, т.е. по модулю меньше еди ницы, то определяемый уравнением (4.39) процесс в установив шемся режиме оказывается стационарным. Если же хотя бы один из корней этого уравнения находится за пределами единичной окружности или принадлежит ей, последовательность Y^ будет нестационарной. Проиллюстрируем эту мысль на примере урав нения (4.38). Соответствующее ему характеристическое уравне ние Z — л = О имеет единственный корень z\ = а. Дисперсия Dy{n\ определяемого этим уравнением временного ряда Y^, как бы ло показано выше, имеет вид
Ву[п\ = а^''В^ +Z>2'l a'^^ ^a^^'Do +(а^'' -1)-^—.
Легко обнаружить, что при а > 1 дисперсия D}{n] оказывается возрастающей функцией п, и это является признаком нестацио нарности ряда. При а = 1 получаем Оу{п] = />о + Ь^п, что также свидетельствует о нестационарности ряда. И только при а < 1 дисперсия стремится к установившемуся значению, а ковариаци онная функция, что также было уже показано, перестает зависеть от «адресов» сечений, т.е. последовательность Y„ становится ста ционарной. Подобное свойство проявляется и при многочленах A(z) произвольной структуры, если только корни многочлена ^(г) не компенсируются аналогичными корнями многочлена B{z). В эконометрических приложениях среди всех возможных вариан тов расположения корней характеристического уравнения особо выделяют случай, когда небольшая часть корней (один, два) ока зывается равной единице, а остальные корни — внутри единич ной окружности. Эта ситуация приводит к нестационарному ря ду Yn, но такому, что разность некоторого порядка этого ряда ока зывается стационарной. Покажем это.
Прежде всего воспользуемся введенным оператором сдвига С, и дополнительно определим оператор первой разности Ау^ =
= Уп+1 —Уп = (С — ^)Уп- ^^алогично второй разностью Д^>'^ назов первую разность первых разностей А^л = AVw+i - Ау^ = Уп^2 —
— 2уп+х •*" >^л = (С — 1) Уп- Подобным образом можно ввести разн сти произвольных порядков, функцию Yn назовем первообразной функции>^я, если выполняется условие AF^ = Y^+x _ Y^-yn- Спра-
195
-1 |
""'^ |
ведливо легко проверяемое условие ^и = А |
Уп= ^ У!- Поэтому |
|
/=0 |
операцию суммирования часто интерпретируют как обратную по |
отношению к операции взятия разности (подобно соотношению между операциями дифференцирования и интегрирования). В алгебраизированном виде уравнение (4.32) можно записать так:
А(<;)Уп = В(с)Хп. где A(q) = ^о + a^q + ^2?^ + ••. + ^к^!", B{Q = йо + + bi<; + />2? + ••• "*" ^w?'"- Пусть теперь характеристическое уравне ние (4.43) имеетflfравных единице корней и, следовательно, мож
но представить A(z) = Ai(z)(z — 1)^, причем все корни многочлена (к — ^-го порядка^!(г) находятся внутри окружности единичного радиуса. Но этому представлению многочлена A(z) соответствует
запись уравнения (4.32) в виде ^4]((;)((; — 1)^у^ = В(с)Хп. Теперь чис- |
||
то формально запишем Уп- |
В(0 |
j^n и обозначим (/^^ = 5(с;)х,„ |
~ ~ |
||
|
^i(Q(C-l) |
|
что соответствует модели скользящего среднего; A\(c)Vn = q^, что
1 |
.-d |
соответствует модели авторегрессии; Ул = |
т^л=Д ^/i» что |
(С-1) |
|
соответствует оператору ^-кратного суммирования. Из последне го равенства следует А^у^ = v^^. Но последовательность v^ в устано вившемся режиме является стационарной, так как корни много члена A\(z) расположены внутри окружности единичного радиу са. Следовательно, и d-я разность временного ряда Y^ также обра зует стационарный процесс. Нестационарные временные ряды, порожденные стохастическим разностным уравнением (4.32), ха рактеристическое уравнение которого имеет d равных единице корней, а остальные корни по модулю меньше единицы, приня то называть процессами авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка (к, d, т) или ARIMA (к, d, т). Важная особенность модели, таким образом, проявляется в том, что она задает процесс нестационарный, но со стационар ной разностью d-TO порядка. Названия всех перечисленных мо делей не очень благозвучны для русского восприятия и не явля ются безупречно содержательными, но они устоялись и подвер гать их ревизии нецелесообразно.
Проведенный формальный переход от уравнения (4.32) к ча стным моделям AR(p) (4.40), МА(^) (4.41), ARMA (4.42), ARIMA
196
упростится, если предварительно провести следующее измене ние в уравнении (4.32): обозначим п + к = in перепишем уравне ние в виде
С10У!-к + «\У1-к+1 + «2У/-А:+2 + • • • + ^AJ^/ =
= boXi_k + *I^/-yt+l + hXi-k+2 + .- + bfrPCi^k+rn, ^ ^ W
ИЛИ же, в целях унификации символики обозначив i = пи поло жив к = т,в виде
^кУп + ^к-1Уп-\ + ^к-2Уп-2 + - + ^ОУ/1-yt =
= bkXn + ijt-l^Ai-l + bk-2Xn~2 + ••• + *O^Ai-)t-
Тогда легко обнаруживается, что это уравнение превращается в уравнение AR{p) (4.40), если положить ао = ai = ... = а/с-р-\ = О,
Ьг\ =^ Ь\ = ... = Ьк-\ = О и обозначить ^\ -—:;—» ^2 -—~—» -J
с« = |
|
-, Ь--^. |
Если В ЭТОМ же уравнении принять а^ — а\ = |
|
^ |
^к |
Ч |
|
|
= ... = |
а^_1 = Q, Ь^ — Ьх = |
... = bi^_q_\ = о и обозначить |
||
й?о =—, |
di = - ^ ^ , |
..., rf^ =——, |
то получим модель МА(^) (4.41). |
|
(^к |
|
<^к |
^к |
|
Наконец, при а^ = ai=^... = Лу^-/?-1 = О и йо =" *i = ••• =" ^А:-^-! = О И сохранении введенных обозначений для параметров с/, dj полу чим модель ARMA(/?, ^) (4.42). Если дополнительно среди корней уравнения а^ + cik-\Z~^ "^ %-2^~^ + ... + cik-pC^ ^ О «предусмотреть» flf корней, равных 1, получим модель ARIMA(/?, ^f, ^).
При выборе модели стохастического временного ряда возни кают те же проблемы, что и при построении квазидетерминированной модели: какой вид модели обоснованно предпочесть, как определить наилучший порядок модели, как по эксперименталь ным данным оценить параметры модели. Ответы на эти вопросы частично созвучны ранее найденным применительно к задачам регрессионного анализа и достаточно полно освещены в литера туре по исследованию типовых моделей стохастических рядов (например, [2, 4]).
197
4Л L Стохастический вектор состояния. Обобщенная матрично-векторная модель временного ряда
Характерная особенность современных методов обработки слу чайных последовательностей проявляется в широком примене нии рекуррентных алгоритмов, подобных ранее рассмотренному рекуррентному методу наименьших квадратов. Поэтому попыта емся все ранее рассмотренные модели стохастических рядов, на званные нами типовыми, представить в форме одной модели, со ответствующей основным принципам построения рекуррентных алгоритмов обработки экспериментальных данных.
Обратимся к разностному уравнению (4.32) и перепишем его в форме
^кУп+к - Ьк^п-\-к ••" ^к-\Уп+к-\ "" *А:-1^л+А:-1 + .•• + + а\Уп+\ - hXn^x + аоУ« - 6^^ = О
ИЛИ же, используя оператор сдвига,
^\а^Уп - hxn) + ^^~\а^-\Уп - Ьк-\Хп) + ... + + <; (ахУп - Ь\Хп) + (аоУп - Мл) = 0.
Введем новые переменные
Zi,n'='^kyn-bkKn,
^2, л = ^1,/!+1 + «А:- 1Уп - bk- \Хп, Z3, п "= ^2,л+1 + ЛА:-2У« ~ bk-^i^m
Zk, п = Zk-\,n+\ + С1\Уп ~ ЬхХп,
Из первого уравнения выразим
1 |
Ьь |
|
yn=—zu-^'^x„ |
(4.44) |
|
^к |
^к |
|
и, подставив это значение в оставшиеся уравнения, найдем:
198
|
4-\h |
+ *i |
|
<^к |
|
'k-\ |
«, |
|
|
||
(ljc-2 |
|
+ h-iW |
|
Z2,n+\ = :;—Zin +^3,/7 + |
^k |
||
Of, |
|
(4.45) |
|
"k |
\ ^^k |
|
|
(
+ 6i
^\ |
к ^k |
в результате проведенной операции единственное разностное уравнение (4.32) ^-го порядка заменяется системой из к разност ных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно новых переменных в момент « + 1. Решение исходного уравнения (4.32) выражается через решение системы (4.45) в соответствии с (4.44).
Уравнения (4.44), (4.45) удобно переписать в матрично-век- торной форме:
(4.46)
Zn+\ ^ AZf^-^ ВХп, |
(4.47) |
где использованы естественным образом следующие из представ лений (4.44), (4.45) обозначения:
|
£t± |
1 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Ч-2 |
0 |
1 |
0 |
. . |
0 |
|
|
Ok |
|
|||||
Z2,n |
|
|
|
|
|
|
|
Ок-Ъ |
0 |
0 |
1 |
. . |
0 |
|
|
|
(4.48) |
||||||
^к |
^k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Zk-ln |
-fL |
|
|
|
|
|
|
Zk,n |
0 |
0 |
0 |
. . |
1 |
|
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
.fo. |
0 |
0 |
0 |
. . |
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
199