Churakov_Mat_met_obr_exp_dan_v_ekon

(4.37). Построение этого уравнения, таким образом, сводится к следующему.

Пусть у;, / = О, 1, ..., — стационарная случайная последова­ тельность с ковариационной функцией Ку{т]. Подобным (4.22) образом строятся функции

даточной, определяет разностное уравнение (4.32) формирующе­ го фильтра. Принцип его построения легко обнаруживается из сопоставления уравнения (4.32) и структуры многочленов A(z) и

Biz).

Это позволяет уравнение формирующего фильтра представить в виде

н 1 - ^ ">^,, = a V l - e ^"^х^.

Обратим внимание на одно очень важное обстоятельство. Ра­ нее уже отмечалось, что выражения (4.31), (4.35) справедливы по истечении большого, теоретически бесконечного, промежутка

190

времени. При офаниченном времени процессы, порождаемые уравнениями (4.28), (4.32), оказываются нестационарными. Что­ бы их сделать стационарными при любых значениях времени, не­ обходимо надлежащим образом подобрать начальные условия. Это, разумеется, касается и формирующих фильтров. В продол­ жение предьщущего примера покажем, как это можно осущест­ вить. В целях лаконичности перепишем уравнение формирующе­ го фильтра в виде

Для формирования последовательности}';,, л = О, 1, ..., обра­ зованной в соответствии с (4.38), предполагается, что с помощью некоторого генератора создается последовательность х^, AZ = О, 1,

... как реализация дискретного белого шума единичной интенсив­ ности и при каждом п по правилу (4.38) вычисляется соответству­ ющее значение д^л+1- Но чтобы «запустить» алгоритм, необходимо задать начальное условие у^. Попытаемся это сделать таким обра­ зом, чтобы процесс Y^, реализации которого образуются на осно­ вании (4.38), имел постоянную дисперсию а^ при всех п, С этой целью положим, что у^^ является реализацией случайной величи­ ны Уо) имеющей нулевое математическое ожидание m^Q] = О и пока неизвестную дисперсию D^Q] = DQ. Найдем эту дисперсию. Усредняя обе части рекуррентного выражения (4.38), получаем

т^п + 1] = ат^п] + Ьт)^п\ = О => т^п] = О при \/л,

т.е. последовательность Y^ является центрированной. Далее воз­ ведем обе части того же выражения в квадрат и усредним. В ре­ зультате получим:

Dy{n + 1] = a^D^n] 4- b^D^n] => Dy[\] = = O^DQ + b^, Dy{2] = O^DQ + a V + 6^ ...,

Так как a^ < 1, то при л —> «>, т.е. в установившемся режиме,

Dy = —Z— = а . Потребуем, чтобы это равенство выполнялось а -1

при всех п\

191

И-^Ч-ьИ''-^^^-l)-^ = -4^=^i)o--^

Таким образом, если начальное условие в (4.38) является не произвольным, а представляет собой центрированную случайную величину с дисперсией DQ = а^, то множество реализаций, полу­ ченных из белого шума с помощью формирующего фильтра (4.38), образует последовательность с постоянной при всех п дисперсией а^. Покажем, что и ковариационная функция этой последователь­ ности будет удовлетворять условиям стационарности. Для этого

/=0у=0

Так как Xi — дискретный белый шум, то M{Xn-\-iXj^_\_j} рав­ няется единице при n — i — k—jw нулю в остальных случаях. По­ этому при п> к имеем i = п — к +j,j = О, 1,..., к— 1и

Аналогичным образом при k> n выразим у = /: — л + /, / = О, 1, ..., « - 1 и

у. 1

(=0

Последние два соотношения в совместной записи приобрета­ ют вид:

М{YnYk} = Ку{п ~к] = c^J'^-^ = а2е-«1'^-^,

192

т.е. ковариационная функция последовательности У}, / = О, 1, ..., построенной с помощью формирующего фильтра, определяется только расстоянием между сечениями, и сама последователь­ ность действительно при всех / является стационарной с задан­ ной ковариационной функцией.

4.10. Типовые модели стохастических временных рядов эконометрики

традиционно в эконометрических приложениях используют оп­ ределенный класс моделей стохастических временных рядов, по­ лучивших широкое распространение в практике обработки вре­ менных рядов и включенных во многие пакеты прикладных про­ грамм. Все эти модели можно рассматривать как частные случаи линейного разностного уравнения (4.32) при определенном вы­ боре параметров и порождающем дискретном белом шуме Х^, AZ = О, 1, ..., т.е. как своеобразные формирующие фильтры. Для удобства запишем еще раз это уравнение:

Конкретизацию этого уравнения удобно осуществить, перей­ дя к операторному представлению уравнения. Для этого введем в

рассмотрение оператор сдвига q, такой, что qy^ = к+i, q^y^ == Уп+2 и т.д. Тогда уравнение (4.39) примет вид (^о + ^i? + ^2S + ••• + ^1А}Уп "= = (bo + biq + b2q^ + ... + Ьт^^)Хп или же

193

Соотношение (4.40) принято называть авторегрессионной р-то порядка моделью стохастического временного ряда и обозначать символом АР(р) или в зарубежном варианте AR(/?). Рассмотрен­ ную ранее модель (4.38) можно рассматривать как частный вари­ ант модели АР(1). Иногда в этой модели предусматривают еще од­ но слагаемое, моделирующее средний уровень ряда, и тогда мо­ дель записывают в форме:^;j = ^о "^ ^гУп-! "^ ^2V«-2 + ••• + с^^п-р + Ьх^. Это слагаемое можно интерпретировать как ненулевое математи­ ческое ожидание порождающего шума х^.

Второй не менее распространенной в эконометрических при­ ложениях моделью является так называемая модель скользящего среднего. Ее также можно получить, исходя из уравнения (4.32), ес­ ли положить ^0 = ^1 = ... = Gg^i = Qg+i = ... = ajt = о, 6^4-1 = V 2 ""

=... = Л;;, = 0. Обозначая «/ = »/ = О, 1,..., q, и заменяя в нуме-

рации переменных л + ^ на «, получаем модель скользящего сред­ него порядка q\

которую в литературе часто сокращенно обозначают как CC{q) или МА(^).

Если в уравнении (4.32) положить йр^х = ^^+2 = ... =flf;t~ 0>

6о = Ьх = ... = Ьр_д_х = О, Ьр^х "^ Ьр+2 = ••• == ^т "= О» ввести обозн чения С;=—-р-(/=1,2, ...,/7), rf =-2L±^/=0, 1,...,/7-^)И0ПЯТЬ

же изменить нумерацию аргументов переменных, заменив п -^ р на п, получим модель, известную под названием смешанной мо­ дели авторегрессии — скользящего среднего порядка р, q (сокра­ щенно АРСС(/7, q) или ARMA(/?, q)) и имеющую, таким образом, вид

Уп = СхУп-\ + С'2Уп-2 + ... + СрУп-р + doX^ + dxXn-X + ••• + dgX^-g. (4.42)

Модель (4.32) определяет как стационарные, так и нестацио­ нарные временные стохастические ряды. Можно показать, что если все корни алгебраического уравнения

194

называемого, как и в аналогичном непрерывном случае, харак­ теристическим, находятся в комплексной плоскости строго вну­ три окружности единичного радиуса, т.е. по модулю меньше еди­ ницы, то определяемый уравнением (4.39) процесс в установив­ шемся режиме оказывается стационарным. Если же хотя бы один из корней этого уравнения находится за пределами единичной окружности или принадлежит ей, последовательность Y^ будет нестационарной. Проиллюстрируем эту мысль на примере урав­ нения (4.38). Соответствующее ему характеристическое уравне­ ние Z — л = О имеет единственный корень z\ = а. Дисперсия Dy{n\ определяемого этим уравнением временного ряда Y^, как бы­ ло показано выше, имеет вид

Ву[п\ = а^''В^ +Z>2'l a'^^ ^a^^'Do +(а^'' -1)-^—.

Легко обнаружить, что при а > 1 дисперсия D}{n] оказывается возрастающей функцией п, и это является признаком нестацио­ нарности ряда. При а = 1 получаем Оу{п] = />о + Ь^п, что также свидетельствует о нестационарности ряда. И только при а < 1 дисперсия стремится к установившемуся значению, а ковариаци­ онная функция, что также было уже показано, перестает зависеть от «адресов» сечений, т.е. последовательность Y„ становится ста­ ционарной. Подобное свойство проявляется и при многочленах A(z) произвольной структуры, если только корни многочлена ^(г) не компенсируются аналогичными корнями многочлена B{z). В эконометрических приложениях среди всех возможных вариан­ тов расположения корней характеристического уравнения особо выделяют случай, когда небольшая часть корней (один, два) ока­ зывается равной единице, а остальные корни — внутри единич­ ной окружности. Эта ситуация приводит к нестационарному ря­ ду Yn, но такому, что разность некоторого порядка этого ряда ока­ зывается стационарной. Покажем это.

Прежде всего воспользуемся введенным оператором сдвига С, и дополнительно определим оператор первой разности Ау^ =

= Уп+1 —Уп = (С — ^)Уп- ^^алогично второй разностью Д^>'^ назов первую разность первых разностей А^л = AVw+i - Ау^ = Уп^2 —

— 2уп+х •*" >^л = (С — 1) Уп- Подобным образом можно ввести разн сти произвольных порядков, функцию Yn назовем первообразной функции>^я, если выполняется условие AF^ = Y^+x _ Y^-yn- Спра-

195

отношению к операции взятия разности (подобно соотношению между операциями дифференцирования и интегрирования). В алгебраизированном виде уравнение (4.32) можно записать так:

А(<;)Уп = В(с)Хп. где A(q) = ^о + a^q + ^2?^ + ••. + ^к^!", B{Q = йо + + bi<; + />2? + ••• "*" ^w?'"- Пусть теперь характеристическое уравне­ ние (4.43) имеетflfравных единице корней и, следовательно, мож­

но представить A(z) = Ai(z)(z — 1)^, причем все корни многочлена (к — ^-го порядка^!(г) находятся внутри окружности единичного радиуса. Но этому представлению многочлена A(z) соответствует

что соответствует модели скользящего среднего; A\(c)Vn = q^, что

соответствует оператору ^-кратного суммирования. Из последне­ го равенства следует А^у^ = v^^. Но последовательность v^ в устано­ вившемся режиме является стационарной, так как корни много­ члена A\(z) расположены внутри окружности единичного радиу­ са. Следовательно, и d-я разность временного ряда Y^ также обра­ зует стационарный процесс. Нестационарные временные ряды, порожденные стохастическим разностным уравнением (4.32), ха­ рактеристическое уравнение которого имеет d равных единице корней, а остальные корни по модулю меньше единицы, приня­ то называть процессами авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка (к, d, т) или ARIMA (к, d, т). Важная особенность модели, таким образом, проявляется в том, что она задает процесс нестационарный, но со стационар­ ной разностью d-TO порядка. Названия всех перечисленных мо­ делей не очень благозвучны для русского восприятия и не явля­ ются безупречно содержательными, но они устоялись и подвер­ гать их ревизии нецелесообразно.

Проведенный формальный переход от уравнения (4.32) к ча­ стным моделям AR(p) (4.40), МА(^) (4.41), ARMA (4.42), ARIMA

196

упростится, если предварительно провести следующее измене­ ние в уравнении (4.32): обозначим п + к = in перепишем уравне­ ние в виде

С10У!-к + «\У1-к+1 + «2У/-А:+2 + • • • + ^AJ^/ =

= boXi_k + *I^/-yt+l + hXi-k+2 + .- + bfrPCi^k+rn, ^ ^ W

ИЛИ же, в целях унификации символики обозначив i = пи поло­ жив к = т,в виде

^кУп + ^к-1Уп-\ + ^к-2Уп-2 + - + ^ОУ/1-yt =

= bkXn + ijt-l^Ai-l + bk-2Xn~2 + ••• + *O^Ai-)t-

Тогда легко обнаруживается, что это уравнение превращается в уравнение AR{p) (4.40), если положить ао = ai = ... = а/с-р-\ = О,

Ьг\ =^ Ь\ = ... = Ьк-\ = О и обозначить ^\ -—:;—» ^2 -—~—» -J

Наконец, при а^ = ai=^... = Лу^-/?-1 = О и йо =" *i = ••• =" ^А:-^-! = О И сохранении введенных обозначений для параметров с/, dj полу­ чим модель ARMA(/?, ^) (4.42). Если дополнительно среди корней уравнения а^ + cik-\Z~^ "^ %-2^~^ + ... + cik-pC^ ^ О «предусмотреть» flf корней, равных 1, получим модель ARIMA(/?, ^f, ^).

При выборе модели стохастического временного ряда возни­ кают те же проблемы, что и при построении квазидетерминированной модели: какой вид модели обоснованно предпочесть, как определить наилучший порядок модели, как по эксперименталь­ ным данным оценить параметры модели. Ответы на эти вопросы частично созвучны ранее найденным применительно к задачам регрессионного анализа и достаточно полно освещены в литера­ туре по исследованию типовых моделей стохастических рядов (например, [2, 4]).

197

4Л L Стохастический вектор состояния. Обобщенная матрично-векторная модель временного ряда

Характерная особенность современных методов обработки слу­ чайных последовательностей проявляется в широком примене­ нии рекуррентных алгоритмов, подобных ранее рассмотренному рекуррентному методу наименьших квадратов. Поэтому попыта­ емся все ранее рассмотренные модели стохастических рядов, на­ званные нами типовыми, представить в форме одной модели, со­ ответствующей основным принципам построения рекуррентных алгоритмов обработки экспериментальных данных.

Обратимся к разностному уравнению (4.32) и перепишем его в форме

^кУп+к - Ьк^п-\-к ••" ^к-\Уп+к-\ "" *А:-1^л+А:-1 + .•• + + а\Уп+\ - hXn^x + аоУ« - 6^^ = О

ИЛИ же, используя оператор сдвига,

^\а^Уп - hxn) + ^^~\а^-\Уп - Ьк-\Хп) + ... + + <; (ахУп - Ь\Хп) + (аоУп - Мл) = 0.

Введем новые переменные

Zi,n'='^kyn-bkKn,

^2, л = ^1,/!+1 + «А:- 1Уп - bk- \Хп, Z3, п "= ^2,л+1 + ЛА:-2У« ~ bk-^i^m

Zk, п = Zk-\,n+\ + С1\Уп ~ ЬхХп,

Из первого уравнения выразим

и, подставив это значение в оставшиеся уравнения, найдем:

198

(

+ 6i

в результате проведенной операции единственное разностное уравнение (4.32) ^-го порядка заменяется системой из к разност­ ных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно новых переменных в момент « + 1. Решение исходного уравнения (4.32) выражается через решение системы (4.45) в соответствии с (4.44).

Уравнения (4.44), (4.45) удобно переписать в матрично-век- торной форме:

(4.46)

где использованы естественным образом следующие из представ­ лений (4.44), (4.45) обозначения:

199