математика

УДК 512.64+514.12(076.5)

ББК 22.143+22.151.5я73 К 89

Учебное пособие составлено на основе Федеральных Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, ут-

верждённых 21.12.2009 г., 20.05.2010 г., 14.01.2011 г.

Рассмотрено и рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, протокол № ____ от _______2015 г.

Рецензенты:

Н.А. Алексеева – доктор экономических наук, профессор кафедры экономического анализа и статистики ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА.

Н.В. Хохряков – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА.

К 89 Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум для экономических направлений бакалавриата и специалитета : учеб. пособие / О.В. Кузнецова. – Ижевск: ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, 2015 г. – 89 с.

Учебное пособие содержит теоретический материал, набор задач, вопросы для самоконтроля, глоссарий по всем разделам дисциплины «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», а также итоговые тесты по дисциплине, в том числе тесты с компетентностноориентированными вопросами. Пособие дополняет лекционный материал, предназначено для аудиторной и самостоятельной работы студентов экономических направлений бакалавриата и специалитета.

УДК 512.64+514.12(076.5) ББК 22.143+22.151.5я73

©ФГБОУ ВО Ижевская ГСХА, 2015

©Кузнецова О.В., 2015

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с учебным планом студенты экономических направлений бакалавриата изучают следующие математические дисциплины: «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика».

Первой из дисциплин является «Линейная алгебра и аналитическая геометрия». Линейная алгебра – это часть математики, изучающая системы линейных уравнений, определители и матрицы, линейные (векторные) пространства. Аналитическая геометрия – изучает свойства геометрических фигур с помощью алгебры (прямоугольные координаты, полярные координаты, прямая на плоскости, кривые 2-го порядка, прямая и плоскость в пространстве). Эта дисциплина является подготовительной для изучения последующего крупного раздела математики – математического анализа.

Учебное пособие написано автором на основе опыта чтения лекций и проведения практических занятий по математике на экономическом факультете Ижевской государственной сельскохозяйственной академии. Преподавателям, работающим на других факультетах, пособие также может быть полезно при проведении практических занятий и организации самостоятельной работы студентов, поскольку различия в содержании математических дисциплин для других направлений, в том числе инженерных, не столь существенны.

При подборе части задач были использованы учебные пособия Н.Ш. Кремера «Высшая математика для экономистов» и «Практикум по высшей математике для экономистов», В.С. Шипачёва «Задачник по высшей математике». При составлении тестов автор ориентировался на уровень сложности заданий, приведённых на сайте Федерального интернет-экзамена в сфере профессионального образования (ФЭПО).

Пособие дополняет лекционный материал, но также может использоваться и самостоятельно, поскольку содержит необходимый для решения задач минимум справочного материала и основных понятий.

4

Aij = (−1)i+ j

M ij − минор элемента aij , равен определителю, который получается при вычеркивании в определителе i − й строки и j − го столбца.

4-го и более порядка: метод разложения по элементам строки (или столбца) или приведение определителя к треугольному или диагональному виду и применение свойства определителя: если определитель имеет треугольный или диагональный вид, то он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

(применим только для систем с равным числом уравнений и неизвестных)

a11 a12 a13

= a21 a22 a23 − определитель системы.

a31 a32 a33

Если ∆≠0, то система имеет единственное решение, которое находят по следующим формулам:

6

Если ∆=0, то возможны две ситуации:

1) ∆х=∆y=∆z=0 система имеет бесконечно много решений (для их нахождения применяется метод Гаусса);

2) хотя бы один из определителей x , y , z не равен нулю система реше-

ний не имеет.

ЗАДАЧИ Для аудиторной работы

1. Вычислить определители 2-го порядка:

2. Вычислить определители 3-го порядка (любым способом):

3.Вычислить определители 3-го порядка, пользуясь свойствами определителей:

7

1.2.Матрицы. Решение систем линейных уравнений

спомощью обратной матрицы (матричный метод) и методом Гаусса

Действия над матрицами

1) Сложение (вычитание):

2) Умножение матрицы на число:

3) Перемножение: каждый элемент i-й строки первой матрицы умножается на соответствующий элемент j-го столбца второй матрицы, результаты складываются. При этом перемножить можно только те матрицы, размеры которых

Aij = (−1)i + j M ij − алгебраическое дополнение элемента матрицы aij .

Mij − минор элемента матрицы aij , равен определителю, который получается при вычеркивании в определителе i − й строки и j − го столбца.

9

5)Нахождение следа квадратной матрицы: суммируют элементы, стоящие на главной диагонали. Обозначение: trA или spA.

6)Транспонирование матрицы: строки заменяют соответствующими столбцами или симметрично отображают элементы относительно главной диагонали (в случае квадратной матрицы).

7) Нахождение ранга матрицы:

а) приводят матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований (умножение строки на любое число (≠ 0), сложение строк, перемена строк местами);

б) считают число ненулевых строк (строка считается нулевой, если все её элементы равны 0).

Обозначение: rA или r(A).

Матричный метод решения систем линейных уравнений

(применим только для систем с равным числом уравнений и неизвестных)

AX = B − матричная форма записи системы,

b1

B= b2 − матрица свободных членов.b3

Тогда X = A−1B − решение системы.

10