математика

Базис ортогональный – базис, состоящий из попарно ортогональных (перпендикулярных) векторов.

Базис ортонормированный – базис, состоящий из попарно ортогональных (перпендикулярных) векторов, длина которых равна единице.

Вектор – направленный отрезок. Обозначение: AB, a .

Вектор единичный или орт – вектор, длина которого равна единице. Вектор направляющий (прямой) – вектор, проходящий параллельно данной прямой (на плоскости или в пространстве).

Вектор нормальный (прямой или плоскости) – вектор, расположенный перпендикулярно прямой или плоскости. Для прямой в пространстве понятие нормального вектора не применяется.

Векторное (линейное) пространство – множество векторов с действитель-

ными координатами, в котором определены линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число), имеющие стандартные свойства: перемес-

тительное, сочетательное и т.д. (см. 2.1. Основные действия над векторами).

Векторы коллинеарные – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы компланарные – три вектора, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Векторы линейно зависимые – векторы, линейная комбинация которых равна нулю при наличии хотя бы одного ненулевого коэффициента.

Векторы линейно независимые – векторы, линейная комбинация которых равна нулю только при условии равенства нулю всех коэффициентов. Векторы ортогональные – перпендикулярные векторы.

Гаусс, Иоганн Карл Фридрих (1777-1855) – знаменитый немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. В линейной алгебре с его именем связан один из методов решения систем линейных уравнений.

71

Гипербола – множество точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы.

Гипербола равнобочная (равносторонняя) – гипербола, оси которой равны.

Гипербола сопряжённая (обычной гиперболе) – гипербола, ветви которой пересекают ось Оy, фокусы гиперболы также находятся на этой оси.

Действительные (вещественные) числа – множество рациональных и ирра-

циональных чисел. Обозначение множества действительных чисел: . Декарт, Рене (1596-1650) – французский математик, механик, физик, философ и физиолог, создатель метода координат. Сыграл значительную роль в становлении алгебры и аналитической геометрии.

Директриса параболы – прямая, проходящая перпендикулярно оси параболы на расстоянии р/2 от вершины параболы с противоположной стороны от фокуса, где р – параметр параболы. Любая точка параболы находится на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы.

Директрисы гиперболы – две прямые, проходящие перпендикулярно действительной оси гиперболы, расположенные симметрично от центра на расстоянии а/ε от него, где ε – эксцентриситет гиперболы. Для любой точки гиперболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно числу ε (ε>1).

Директрисы эллипса – две прямые, проходящие перпендикулярно большой оси эллипса, расположенные симметрично от центра на расстоянии а/ε от него, где ε – эксцентриситет эллипса. Для любой точки эллипса отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно числу ε (ε<1).

Евклид (≈325 г. до н.э.- ≈265 г. до н.э.) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас трудов по математике – « Начала», который состоял из 13 книг и в течение более двух тысячелетий был основным учебником геометрии.

72

Комплексное число – выражение вида z = x + yi, где x, y R, i = −1 − мнимая единица. Число x называется действительной частью комплексного числа, y – мнимой частью.

Комплексные числа сопряжённые – два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части: z = x + yi и z = x − yi .

Координаты вектора – проекции вектора на координатные оси. Совпадают с координатами конечной точки вектора при условии, что начало вектора – в начале координат.

Крамер, Габриэль (1704-1752) – швейцарский математик, один из основоположников линейной алгебры. С его именем связан один из методов решения систем линейных уравнений.

Кремер, Наум Шевелевич – современный российский математик, профессор, заведующий кафедрой высшей математики Всероссийского заочного финан- сово-экономического института, член-корреспондент Академии Экономических наук. Автор учебников, учебных и методических пособий для студентов и абитуриентов экономических вузов по элементарной, высшей и прикладной математике.

Кривые 2-го порядка – линии, уравнения которых имеют 2-ю степень (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Критерий Сильвестра – условия для установления знакоопределённости квадратичной формы: положительно определённая все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны; отрицательно определённая главные миноры матрицы квадратичной формы меняют знак, начиная с «-».

Кронекер, Леопольд (1823-1891) – немецкий математик, иностранный членкорреспондент Петербургской Академии наук, Берлинской Академии наук. Основные труды по алгебре и теории чисел. Его знаменитое выражение: «Бог создал целые числа, всё остальное – дело рук человека».

74

Леонтьев, Василий (1905-1999) – американский экономист русского происхождения, создатель теории межотраслевого анализа, лауреат Нобелевской премии по экономике (1973).

Линейная комбинация векторов – сумма векторов, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами.

Линейный оператор (линейное преобразование, отображение) – правило, по которому каждому вектору x линейного пространства приводится в соответ-

ствие единственный вектор y этого пространства. Обозначение: y = Aɶ(x). При этом вектор x называется прообразом, а вектор y – образом вектора x . Условие линейности: Aɶ(x + y) = Aɶ(x) + Aɶ( y), Aɶ(λ x) = λ Aɶ(x). Матричная форма записи:

где А – матрица оператора.

Линия на плоскости – множество точек плоскости, обладающих некоторыми свойствами, присущими только им. Например, окружность – множество точек, равноудалённых от данной точки.

Матрица – прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. Размер матрицы обозначается так: m×n.

Матрица вырожденная – квадратная матрица, определитель которой равен нулю.

Матрица диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме стоящих на главной диагонали, равны нулю.

Матрица единичная – квадратная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, все остальные равны нулю. Обозначение: Е. Матрица квадратная – матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов (n×n). В этом случае говорят о порядке матрицы (1,2,3 и т.д.). Матрица обратная – матрица, при перемножении которой с данной матрицей А получается единичная матрица. Обозначение: А-1.

Матрица ступенчатая (треугольная в случае квадратной матрицы) – мат-

рица, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

75

Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца (m×1). Матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки (1×n).

Матрицы эквивалентные – матрицы, полученные друг из друга в результате конечного числа элементарных преобразований, например, при приведении матрицы к ступенчатому виду. Обозначение: A′ A. .

Матричный метод – способ решения систем линейных уравнений с помощью матрицы, обратной к матрице системы: X = A−1B. Метод подходит только для систем с равным числом уравнений и неизвестных и ненулевым опреде-

лителем (см. 1.2. Матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод) и методом Гаусса).

Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») – экономикоматематическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и её затратами во всех участвующих отраслях. МОБ представляет собой систему линейных уравнений, составляется в денежной и натуральной формах (см. 1.3. Модель Леонтьева многоот-

раслевой экономики).

Метод Гаусса – классический способ решения систем линейных уравнений, основанный на приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду (последовательное исключение переменных). Подходит для систем с любым числом уравнений и неизвестных, а также для систем с нулевым опре-

делителем (см. 1.2. Матрицы. Решение систем линейных уравнений с помо-

щью обратной матрицы (матричный метод) и методом Гаусса).

Метод Крамера – способ решения систем линейных уравнений с помощью определителей, составленных из коэффициентов системы: x = x , y = y , z = z .

Метод подходит только для систем с равным числом уравнений и неизвест-

ных и ненулевым определителем (см. 1.1. Определители. Решение систем ли-

нейных уравнений с помощью определителей (метод Крамера)).

76

Метрика – формула или правило для вычисления расстояния между любыми двумя элементами пространства.

Минор элемента определителя (или матрицы) aij – определитель, полученный из данного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Обозначение: Мij.

Мнимая единица – символ i = −1. Применяется для записи комплексных чисел.

Модуль вектора (норма) – длина вектора. Обозначение: AB , a .

Модуль комплексного числа – расстояние от точки, изображающей комплексное число на плоскости до начала координат. Обозначение: z , r.

Муавр, Абрахам де (1667-1754) – английский математик французского происхождения, член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук. Внёс большой вклад в теорию комплексных чисел (формула возведения комплексного числа в степень n), теорию вероятностей (формула Муавра-Лапласа).

Муавра формула – формула для возведения комплексного числа в степень:

zn = r n (cos nϕ + i sin nϕ ).

Направляющие косинусы вектора – косинусы углов, образованных вектором и координатными осями.

Натуральные числа – числа, возникающее в процессе счёта: целые положительные числа (1, 2, 3, …). Обозначение множества натуральных чисел: . Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Октанты – восемь частей, на которые координатные плоскости разбивают пространство.

Определитель (определитель матрицы) – число, обозначаемое символом ∆ (или |A|, или detA) и вычисляемое по правилу, соответствующему порядку оп-

ределителя (см. 1.1. Определители. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей (метод Крамера)).

77

Ордината – вторая координата точки на плоскости или в пространстве. Обозначение: y.

Отрезок – множество чисел, находящихся между некоторыми числами a и b, включая сами числа a и b. Обозначение: [a;b] .

Парабола – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Поверхности 2-го порядка – поверхности, уравнения которых имеют 2-ю степень (сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, параболоид эллиптический, параболоид гиперболический, конус эллиптический, конус круговой, цилиндр эллиптический, цилиндр гиперболический, цилиндр параболический).

Показательная форма (экспоненциальная) записи комплексного числа – запись комплексного числа в виде z = reϕi , где r – модуль числа, φ – его аргу-

мент.

Полуинтервал – множество чисел, находящихся между некоторыми числами a и b, включая одно из них. Обозначение: (a;b], [a;b).

Полярная система координат – совокупность некоторой точки (полюса) и луча, выходящего из неё (полярной оси). Положение точки на плоскости задаётся двумя координатами: расстоянием от точки до полюса и углом между вектором-радиусом точки и полярной осью. Первая координата называется полярным радиусом, вторая – полярным углом (см. 4.2. Полярные координаты).

Порядок линии – степень уравнения, которым задана линия. Промежуток – отрезок, интервал или полуинтервал.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность взаимно перпендикулярных осей на плоскости или в пространстве, пересекающихся в одной точке (начало координат), с одинаковой масштабной единицей. Наиболее простая и часто используемая система координат. Была введена Рене Декартом в XVII в.

78

Радиус-вектор точки – вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

Разложение вектора по базису – представление вектора в виде линейной

Размерность линейного пространства – максимальное число содержащихся в нём линейно независимых векторов. Обозначение: n или dim(R). Rn – n- мерное пространство.

Ранг матрицы – наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. На практике ранг матрицы находят приведением матрицы к ступенчатому виду и подсчётом ненулевых строк. Обозначение: r(A) или rA.

Рациональные числа – множество чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби p/q, где p и q – целые числа, q≠0. При переводе в десятичную дробь рациональное число выглядит как конечная или бесконечная периодическая дробь. Обозначение множества рациональных чисел: .

Решение системы линейных уравнений с n неизвестными – совокупность n

чисел, при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Сильвестр, Джеймс Джозеф (1814-1897) – английский математик. Его именем названа бронзовая медаль, вручаемая Королевским обществом за выдающиеся заслуги в математике.

Система уравнений совместная – система, имеющая хотя бы одно решение. Скаляр (скалярная величина) – величина, для задания которой достаточно числового значения (масса, рост, температура и т.д.) в отличие от векторной, для которой нужно указать ещё и направление.

Скалярное произведение двух векторов – число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если известны координаты

79

векторов, то их скалярное произведение находят как сумму произведений одноимённых координат.

След матрицы – сумма элементов, стоящих на главной диагонали. Обозначе-

ние: trA или spA.

Собственный вектор линейного оператора (или матрицы) – ненулевой век-

тор, который в результате воздействия на него оператора Aɶ переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. существует такое число λ, что:

Aɶ(x) = λ Aɶ(x) или AX = λ X . При этом число λ называется собственным значени-

ем оператора или матрицы. Находят собственные значения из уравнения:

A − λ E = 0.

Транспонирование матрицы (или определителя) – замена строк соответствующими столбцами (или симметричное отображение относительно главной диагонали). Обозначение: АТ.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа – запись комплексного числа в виде z = r (cosϕ + i sin ϕ ), где r – модуль числа, φ – его аргумент.

Угловой коэффициент прямой – тангенс угла наклона прямой.

k = tgϕ, k (−∞; +∞) .

Угол наклона прямой – угол между прямой и положительным направлением оси Ох, измеряемый против часовой стрелки. Обозначение: φ, ϕ [0;180 ) .

Уравнение линии на плоскости – уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. В частном случае уравнение может содержать только одну переменную (например, х=3 – уравнение вертикальной прямой). В общем случае уравнение имеет вид: F(x,y)=0 или y=f(x). Любую линию можно выразить соответствующим уравнением, но не всякое уравнение определяет некоторую линию.

Уравнение поверхности в пространстве – уравнение с тремя переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой по-

80