математика
.pdf134. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:
а) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами – 8; б) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/2.
135.Построить параболу: y2= –10 х.
136.Написать уравнение параболы, если она симметрична относительно оси Оy, её вершина находится в начале координат, и точка (2;–4) принадлежит параболе.
137.Определить тип кривой и построить её:
а) x2+y2+2x–3=0;
б) x2+2y2–4x+4y+2=0;
в) 9x2–16y 2+90x+32y–367=0;
г) x2 +6x+5=2y.
Задачи для самостоятельной работы
138.Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения прямой x+y+2=0 c окружностью x2+y2=4.
139.Построить эллипс: 3x2+16y2–192=0. Найти его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет.
140.Написать каноническое уравнение эллипса, если:
а) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/5; б) расстояние между фокусами равно 6, а сумма полуосей равна 9.
141.Построить гиперболу: 3x2–4y 2–12=0. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.
142.Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы
–в вершинах эллипса 9x2+25y2–225=0.
143.Построить параболу: x2= 12y.
144.Определить тип кривой и построить её:
а) x2+y2+10x–4y+13=0; б) x2+4x+2y+4=0; в) x2+4y2–6x+8y–3=0.
41
Вопросы для самоконтроля по главе 4 «Аналитическая геометрия на плоскости»
1.Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками.
2.Напишите формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении λ.
3.Как найти координаты середины отрезка?
4.Как вычислить площадь треугольника, если известны координаты его вершин?
5.Что называется линией на плоскости?
6.Что называется уравнением линии на плоскости?
7.Что такое порядок линии?
8.Что такое угол наклона прямой? Какие значения он принимает?
9.Что такое угловой коэффициент прямой? Какие значения он принимает?
10.Что можно сказать об угловом коэффициенте прямой, если её угол наклона острый, тупой, равен нулю, равен 90º?
11.Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом. Объясните значение параметров уравнения.
12.Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
13.Как составить уравнение прямой, если известны отрезки, которые она отсекает на координатных осях?
14.Как называется вектор, перпендикулярный прямой?
15.Как составить уравнение прямой, если известны её нормальный вектор и координаты некоторой точки на прямой?
16.Как называется вектор, параллельный прямой?
17.Как составить уравнение прямой, если известны её направляющий вектор и координаты некоторой точки на прямой?
18.Напишите параметрические уравнения прямой.
19.Напишите общее уравнение прямой.
42
20.Как, зная общее уравнение прямой, найти её угловой коэффициент?
21.Напишите уравнения прямых, параллельных координатным осям, уравнения координатных осей, уравнение прямой, проходящей через начало координат.
22.Как найти угол между двумя прямыми?
23.Какие линии называются линиями (кривыми) второго порядка?
24.Что такое окружность? Напишите уравнение окружности с центром в начале координат; с центром в заданной точке (x0;y0).
25.Каким свойством обладают точки эллипса?
26.Напишите каноническое уравнение эллипса и объясните значения параметров уравнения. Какова схема построения эллипса?
27.Что называется эксцентриситетом эллипса, какие значения он принимает? Что характеризует эксцентриситет эллипса?
28.Что такое директрисы эллипса?
29.Каким свойством обладают точки гиперболы?
30.Напишите каноническое уравнение гиперболы и объясните значения параметров уравнения. Какова схема построения гиперболы?
31.Что называется эксцентриситетом гиперболы, какие значения он принимает? Что характеризует эксцентриситет гиперболы?
32.Что такое директрисы гиперболы?
33. Как построить гиперболу, если её уравнение имеет вид: |
y2 |
− |
x2 |
= 1 ? |
|
b2 |
a2 |
||||
|
|
|
Как она называется?
34.Каким свойством обладают точки параболы?
35.Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат. Объясните значение параметра р. Какова схема построения параболы?
36.Что такое директриса параболы?
37.В чём состоит оптическое свойство параболы?
38.Напишите уравнения смещённых кривых второго порядка.
43
ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору:
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0.
( x0 ; y0 ; z0 ) – координаты заданной точки.
n = ( A; B;С) – нормальный (перпендикулярный) вектор.
Рисунок 20
Уравнение плоскости «в отрезках»:
x + y + z = 1 a b с
a , b, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (рисунок 21).
Рисунок 21
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1
z2 − z1 = 0 z3 − z1
( x1; y1; z1 ), ( x2 ; y2 ; z2 ), ( x3 ; y3 ; z3 ) – координаты заданных точек.
Общее уравнение плоскости:
Ax + By + Сz + D = 0.
А, В, С, D – некоторые числа, причём А2+В2+C2≠0, т.е. хотя бы одна из переменных x, y, z присутствует в уравнении.
n = ( A; B;С) – нормальный (перпендикулярный) вектор.
44
Частные случаи общего уравнения плоскости Ax + By + Сz + D = 0.
№ |
Уравнение |
Особенности расположения |
Чертёж |
|
плоскости |
||||
|
|
|
||
1 |
Ax + D = 0 х = а |
параллельно координатной |
|
|
плоскости YOZ |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Рисунок 22 |
|
2 |
х = 0 |
координатная плоскость YOZ |
|
|
|
|
|
Рисунок 23 |
|
3 |
By + D = 0 y = b |
параллельно координатной |
|
|
плоскости XOZ |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Рисунок 24 |
|
4 |
y = 0 |
координатная плоскость ХOZ |
|
|
|
|
|
Рисунок 25 |
|
5 |
Сz + D = 0 z = c |
параллельно координатной |
|
|
плоскости XOY |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Рисунок 26 |
|
6 |
z = 0 |
координатная плоскость ХOY |
|
|
|
|
|
Рисунок 27 |
|
|
|
45 |
|
7 |
Ax + By + D = 0 y = kx + b |
параллельно оси Oz |
|
|
|
|
Рисунок 28 |
8 |
Ax + By = 0 y = kx |
через ось Oz |
|
|
|
|
Рисунок 29 |
9 |
Ax + Сz + D = 0 z = kx + b |
параллельно оси Oy |
|
|
|
|
Рисунок 30 |
10 |
Ax + Сz = 0 z = kx |
через ось Oy |
|
|
|
|
Рисунок 31 |
11 |
By + Сz + D = 0 z = ky + b |
параллельно оси Oх |
|
|
|
|
Рисунок 32 |
12 |
By + Сz = 0 z = ky |
через ось Oх |
|
|
|
|
Рисунок 33 |
|
|
46 |
|
13 |
Ax + By + Сz = 0 |
через начало координат |
|
|
|
|
Рисунок 34 |
|
Ax + By + Сz + D = 0 |
не обладает никакими особен- |
|
14 |
ностями из перечисленных |
|
|
|
|
выше |
|
|
|
|
Рисунок 35 |
Расстояние от точки до плоскости
d = Ax0 + By0 + Сz0 + D
A2 + B2 + С2
Рисунок 36
Угол между плоскостями
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cosϕ = cos n1 |
, n2 |
|
= |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
= ( A ; B ;С ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
- нормальные векторы плоскостей. |
|||||||||||||||||||
|
|
= ( A ; B ;С ) |
|
|||||||||||||||||||||||
Рисунок 37 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Условие параллельности плоскостей: α1 α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А1 |
|
|
|
|
В1 |
|
С1 |
|
||||||
Û n1 n2 |
Û |
= |
= |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
А2 В2 С2
Условие перпендикулярности плоскостей:
α1 ^ α2 Û n1 ^ n2 Û n1 n2 = 0 Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
47
Прямая в пространстве
Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:
A1 x + B1 y + С1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + С2 z + D2 = 0.
Рисунок 38
Уравнения прямой, проходящей через две точки:
y − y1 = x − x1 = z − z1 y2 − y1 x2 − x1 z2 − z1
( x1; y1; z1 ) , ( x2 ; y2 ; z2 ) – координаты заданных точек.
Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно данному вектору (канонические уравнения):
x − x0 = y − y0 = z − z0
l |
m |
n |
( x0 ; y0 ; z0 ) – координаты заданной точки.
а = (l; m; n) – направляющий (параллельный) вектор.
Рисунок 39
Параметрические уравнения прямой:
|
x = x0 + l t, |
|
|
|
= y0 + m t, |
|
y |
|
|
|
= z0 + n t. |
|
z |
|
( x0 ; y0 ; z0 ) – |
координаты точки на прямой. |
|
а = (l; m; n) |
– направляющий (параллельный) вектор. |
|
t – параметр, t (– ∞;+∞). |
|
|
48
Угол между прямыми в пространстве
|
|
^ |
|
= |
cosϕ = cos a1 |
, a2 |
|
||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
= |
|
|
l l |
+ m m + n n |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
1 2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||||
a1 |
|
× |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
+ m2 |
+ n2 |
× l 2 |
+ m2 |
+ n2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
a |
= (l ; m ; n ) |
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
- направляющие векторы прямых. |
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
= (l ; m ; n ) |
|
|||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
Рисунок 40
Угол между прямой и плоскостью
π cos
2
|
|
^ |
|
|
n a |
|
|
|
|
Al + Bm + Cn |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
-ϕ |
= cos n , a |
= sin ϕ = |
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
A2 |
+ B2 + C2 × l2 + m2 + n2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + By + Cz +D = 0 n = ( A; B;C ) − нормальный вектор плоскости,
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
a = (l; m; n) − направляющий |
l |
m |
|
|||
|
|
n |
|||
вектор прямой.
Рисунок 41
Условие параллельности прямой и плоскости:
α l n a n a = 0 Al + Bm + Cn = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
α ^ l Û n a Û A = B = C . l m n
49
ЗАДАЧИ
Для аудиторной работы
145.Построить плоскость: 4x+6y+3z–12=0.
146.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(–4;8;3)
перпендикулярно вектору АВ , если А(7;0;2), В(6;4;–7).
147.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;–2;1) параллельно плоскости 5x–3y+2z–4=0.
148.Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;5;–3),
В(0;–1;1), С(4;1;6). |
|
|
|
|
149. |
Написать уравнение плоскости, |
проходящей через |
ось |
Ох и точку |
Р(4;–2;1). |
|
|
|
|
150. |
Найти угол между плоскостями: 2x–4y–3z+8=0 и 5x+2z–3=0. |
|
||
151. |
При каком значении числа |
λ плоскости |
перпендикулярны: |
|
4x–7y+ λz+1=0 и 2λх+2y–z+5=0? |
|
|
|
|
152. |
Найти расстояние между параллельными плоскостями: x+2y–2z+10=0 и |
|||
4x+8y–8z–3=0. |
|
|
|
|
153. |
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(6;–2;3) парал- |
|||
лельно вектору АВ , если В(0;–5;1). |
|
|
|
|
154. |
Написать уравнение прямой, проходящей через точки |
М(9;–1;3) и |
||
N(4;2;3). |
|
|
|
|
155.Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(7;5;1) перпендикулярно плоскости 4x–6y+2z–4=0.
156.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку В(3;4;–6) пер-
пендикулярно прямой x −1 = y + 2 = z − 7 .
4 0 3
157. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат парал-
лельно прямой |
x + 4 |
= |
y |
= |
z + 8 |
. |
−3 |
|
|
||||
|
5 |
2 |
|
|||
50