Множество комплексных чисел

В XVI в., в связи с изучением кубических уравнений при выводе формулы для нахождения их корней, появлялись корни арифметические из отрицательного числа, хотя конечный результат давал действительный корень уравнения.

Своим введением в математику комплексные числа обязаны желанием извлечения корней четной степени из любого действительного числа, и отрицательного в том числе.

Самого по себе желания, конечно, недостаточно, тем более, что в то время потребности практически всегда вполне удовлетворялись вещественными числами. Уже отмечалось, что если решать уравнения традиционными методами, то в процессе преобразования до результата встречался квадратный корень из отрицательного числа (например, в формуле Кардано), хотя конечный результат был числом действительным. Поэтому корни из отрицательных чисел использовались без объяснения причин, а получаемые промежуточные числа называли мнимыми.

В конце 18-го века Ф. Гаусс (1777-1855) ввел комплексные числа, дал им геометрическую интерпретацию и доказал (1799) в частном случае основную теорему алгебры, о том, что каждый многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

Будем считать, что известны множество вещественных чисел и правила действий над ними. Рассмотрим уравнение . Применяя к нему обычные правила нахождения корней, получим. Допуская, что решение этого уравнения существует и, мы приходим к тому, что. В области действительных чисел такого числа нет. Тогда, объявляяi новым числом, мы присоединяем его к множеству действительных чисел. Предполагая выполнение для этого числа операций сложения и умножения, мы будем иметь для любых числа,,, хотя– частный случайпри. Тем самым мы получили новые числа, где. Выражениеназываетсяалгебраической формой записи комплексного числа z. Отсюда следует, что множество действительных чисел есть подмножество нового числового множества – комплексных чисел. Таким образом, множество комплексных чисел

, .

Оправдалось предположение Дж. Кардано: с мнимыми числами можно действовать по правилам обычной алгебры, то есть писать, при ,. Пусть комплексное число, тогда, а, гдеRe сокращение от Real (действительный), а Im – от Imaginares (мнимый). Говорят, – действительная часть,– мнимая часть комплексного числаz. Эти обозначения введены для удобства работы с комплексными числами 3, 7.

Отталкиваясь от алгебраической формы записи комплексного числа, определим поле комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа ,,,, тогда

1)  ,;

2) ;

3)

;

4)

.

Число называется комплексно сопряженным числу, при этом.

Модулем комплексного числа называется действительное число.

, , имеет место:

1) ;

2) (неравенство треугольника);

3) (неравенство Коши-Буняковского).

Геометрически комплексное число z представимо точкой A на плоскости с заданной декартовой системой координат. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой, тогда для ставится в соответствие точкаили вектор,,(рис.I.1).

Из рис. I.1 следует, что , . Угол  называется аргументов комплексного числа . Значение аргумента, удовлетворяющего условию , называется главным значением аргумента комплексного числа z и обозначается , тогда , .

Рис. I.1

Выражение , где, называетсятригонометрической формой записи комплексного числа .

Учитывая формулу Эйлера 3, 5: , получаем, что–показательная форма записи комплексного числа; заметим, что и,.

Таким образом, комплексное число имеет три формы записи: алгебраическую, тригонометрическую и показательную.

Возведение комплексного числа в целую степень n легко осуществить по формуле Муавра 3, 5:

.

В частности, при имеем,,,, и т.д.

Эта же формула справедлива и для отрицательного показателя степени: учитывая, что , получим

.

Например,

.

Для извлечения корня из комплексного числа воспользуемся формулой:

,

, .

Пример I.4. Найти .

Решение. Модуль комплексного числа z равен ,

. Поскольку ,, тогда. Применим формулу

,

и получим

1) ,;

2) ,;

3) ,;

4) ,.

При других значениях k корни повторятся (см рис. I.1)

Дальнейшие обобщения числа ни к чему принципиально новому не привели. В конце 19-го века выяснилось, что для выхода за пределы множества комплексных чисел следует отказаться от каких-либо обычных свойств числа, конечно, если это будет возможным.

Девятнадцатый век и начало двадцатого оказались очень плодотворными для математики. Произошло ее аксиоматическое построение на теоретико-множественной основе. К тому времени появилось достаточно много математических теорий, и все они, как было замечено, изучали ту или иную алгебраическую систему как обобщение числовой, то есть некоторое множество элементов с операциями умножения и сложения не в смысле арифметических действий с конкретными элементами, а в смысле свойств (аксиом), которыми они определяются.