Гипербола

Гиперболой называется геометрическое множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Выведем уравнение гиперболы. Положим . Систему координат (рис.VIII.2) выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда , а. Если– произвольная точка гиперболы, то,a – постоянная, . Это уравнение соответствует определению гиперболы. Преобразуя его, как и в случае эллипса, и положив, получимканоническое уравнение гиперболы:

.

Гипербола – кривая, симметричная относительно осей и начала координат. Прямые являются асимптотами гиперболы, величина называется эксцентриситетом гиперболы, , а прямые – ее директрисами.

Рис. VIII.2

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F и данной прямой (рис. VIII.3). Точка F называется фокусом параболы, а данная прямая – директрисой параболы. Для получения уравнения параболы выберем систему координат следующим образом: ось Ox проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат поместим в точку, равноудаленную от фокуса и директрисы. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p. Величина p называется параметром параболы. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет видили, по определению

Рис. VIII.3

Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точкуМ с точкой F. Проведем отрезок MM' перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . По формуле расстояния между двумя точками находим:, а. Следовательно,. После элементарных преобразований получимканоническое уравнение параболы:

.

Пример VIII.3. Классифицировать линию 2-го порядка .

Решение. Воспользуемся формулой . Выделим полный квадрат по каждой переменной, для этого сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие переменнуюx и y: . Коэффициенты при переменных в старшей степени вынесем общими множителями. Полученные выражения вскобках дополним до полного квадрата, в первом случае прибавим и отнимем 25, во втором – 4: . После раскрытия скобок постоянные перенесем в правую часть равенства.Приведем подобные . Запишем уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Разделим последнее равенство на 36, чтобы получить единицу в правой части

или .

Данная линия (рис. VIII.4) является гиперболой с центром в точке и полуосями,.

Рис. VIII.4

Классификация поверхностей второго порядка

II. Рассмотрим в поверхность 2-го порядка, которая имеет размерность9, 10.

Определение. Поверхностью 2-го порядка в декартовой системе координат пространстваназывается множество точек, удовлетворяющих уравнению вида

. (VIII.5)

Линейным преобразованием (матрицей линейного оператора) уравнение (VIII.5) приводится к одному из пяти линейно независимых уравнения канонического вида

1) ,

2) ,

3) , (VIII.6)

4) ,

5) ,

где коэффициенты во всех уравнениях не равны 0.

Как и ранее, выделим классы поверхностей:

• невырожденные и нераспадающиеся поверхности:

эллипсоид (рис. VIII.5);

Рис. VIII.5

Если , то эллипсоид становится сферой (рис.VIII.6);

Рис. VIII.6

мнимый эллипсоид;

 однополостной гиперболоид (рис. VIII.7);

Рис. VIII.7

 двуполостной гиперболоид (рис. VIII.8);

Рис. VIII.8

,  эллиптический параболоид (рис. VIII.9);

Рис. VIII.9

,  гиперболический параболоид (рис. VIII.10);

Рис. VIII.10

• вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:

мнимый эллиптический цилиндр;

эллиптический цилиндр (рис. VIII.11);

Рис. VIII.11

гиперболический цилиндр (рис. VIII.12);

Рис. VIII.12

параболический цилиндр (рис. VIII.13);

Рис. VIII.13

коническая поверхность (рис. VIII.14);

Рис. VIII.14

мнимая коническая поверхность;

• вырождающиеся распадающиеся поверхности:

пара мнимых пересекающихся плоскостей;

пара пересекающихся прямых;

пара мнимых параллельных плоскостей;

пара параллельных плоскостей;

пара совпадающих плоскостей.

Пример VIII.4. Преобразовать к каноническому виду поверхность 2-го порядка

.

Решение. Прежде чем переходить к повороту осей координат , осуществим линейный перенос так, чтобы можно было применить методику квадратичных форм. Положим

, ,,

тогда поверхность запишется в виде

.

Рассмотрим квадратичную форму

.

Составим матрицу квадратичной формы

.

Найдем собственные числа и собственные векторы. Имеем характеристический многочлен:

,

корни которого ,,.

Запишем канонический вид поверхности с точностью до коэффициентов (сначала запишем их положительные значения):

.

По классификации это однополостной гиперболоид. Явный вид линейного преобразования находим аналогично примерам предыдущего раздела:

,

где первое слагаемое определяет параллельный сдвиг, а второе поворот вокруг оси симметрии. Окончательно