VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка

Понятия поверхности и линии (кривой) относятся к фундаментальным понятиям геометрии (топологии); используются практически во всех математических и естественных науках. Поэтому их общее определение довольно затруднительно. В геометрии, аналитической и алгебраической, поверхность и линия определяются как геометрическое место точек, координаты которых записаны в декартовых координатах и удовлетворят уравнению или, соответственно.

В n-мерных линейных пространствах плоскость размерности (n1) называется гиперплоскостью, а плоскость размерности 1 – прямой линией. Аналогичную терминологию будем применять и к поверхностям. Учитывая геометричность многих свойств поверхности и гиперповерхности, в дальнейшем будем называть векторы точками пространства действительных чисел . Это подтверждается и эквивалентностью понятийn-мерного векторного пространства и пространства 4.

Зададим в пространстве декартовую систему координат и превратим его в евклидово, то есть определим вскалярное произведение.

Определение. Гиперповерхностью f второго порядка в называется множество точек , координатыкоторых удовлетворяют уравнению

, (VIII.1)

, .

Формулу (VIII.1) можно упростить, если определить скалярное произведение в как сумму попарных произведений координат, тогда получим

. (VIII.2)

Учитывая симметричность матрицы A линейного оператора, имеем также для (VIII.1)

.

Для исследования гиперповерхности (VIII.1) удобно преобразовать ее к каноническому виду. Воспользуемся уравнением (VIII.2). Процесс приведения к каноническому виду происходит в полном соответствии с алгоритмом приведения к каноническому виду квадратичных форм 7, которые нами уже изучены.

Классификация линий второго порядка

I. Рассмотрим в гиперповерхность 2-го порядка, которая по определению имеет размерность, то есть является линией 2-го порядка.

Определение. Линией 2-го порядка в декартовой системе координат Oxy пространства называется множество точек, удовлетворяющих уравнению вида:

. (VIII.3)

Применяя линейный оператор (преобразование) к уравнению (VIII.3), приводим его к одному из трех линейно независимых уравнений канонического вида:

1) ,

2) , (VIII.4)

3) ,

где коэффициенты во всех уравнениях не равны нулю.

В зависимости от знака коэффициентов, выделим два класса линий 4

• нераспадающиеся линии:

эллипс;

гипербола;

парабола;

• распадающиеся линии:

пара мнимых пересекающихся прямых;

 пара действительных пересекающихся прямых;

пара действительных параллельных прямых;

пара мнимых параллельных прямых;

пара совпадающих действительных прямых.

Более подробно рассмотрим класс нераспадающихся линий.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки , называемой ее центром.

Пусть точка произвольна и лежит на данной окружности, тогда расстояниеСМ равно некоторому числу R, называемому радиусом этой окружности. В фиксированной системе координат уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусомR.

Пример VIII.1. Найти центр и радиус окружности .

Решение. Выделим полный квадрат по каждой переменной, тогда уравнение можно записать в виде:

, или . Значит, это окружность с центром в точкеи радиусом.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Выведем уравнение эллипса. Пусть и– фокусы (рис.VIII.1). Положим . Декартову систему координат зададим следующим образом: осьOx направим по прямой , а начало поместим в середину отрезка. Тогда,.

Пусть – произвольная точка эллипса. Тогда, где величинаa дана, причем . Имеем:

, .

И, следовательно, уравнение эллипса имеет вид:

.

Упростим последнее равенство: перенесем второе слагаемое последнего равенства в правую часть и возведем обе части в квадрат, получим , выполним преобразования и приведем подобные: .

Рис. VIII.1

Разделим полученное равенство на четыре и возведем обе части еще раз в квадрат: , преобразуем , окончательно получим: ,.

Так как , то обозначими разделим обе части последнего равенства на эту величину:–каноническое уравнение эллипса с полуосями ,и центром симметрии в точке. Числоa в уравнении эллипса называется большой, а b – малой полуосью эллипса. Прямую, на которой расположены фокусы эллипса, называют фокальной осью.

Величина называетсяэксцентриситетом эллипса, а прямые называютсядиректрисами эллипса.

Пример VIII.2. Доказать, что уравнение определяет эллипс.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты . Введем новые переменные,. Тогдаили. Последнее уравнение определяет эллипс с центром в точке, причем,.