Прямая как линия пересечения плоскостей

Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и, то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений

(V.5)

Справедливо и обратное утверждение: система двух независимых линейных уравнений вида (V.5) определяет прямую как линию пересечения плоскостей (если они не параллельны). Уравнения системы (V.5) называются общим уравнением прямой в пространстве .

Пример V.12. Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей

Решение. Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что тоже самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например Oyz и Oxz.

Точка пересечения прямой с плоскостью Oyz имеет абсциссу . Поэтому, полагая в данной системе уравнений, получим систему с двумя переменными:

Ее решение ,вместе сопределяет точкуискомой прямой. Полагая в данной системе уравнений, получим систему

решение которой ,вместе сопределяет точкупересечения прямой с плоскостьюOxz.

Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки и:или, гдебудет направляющим векто-ром этой прямой.

Пример V.13. Прямая задана каноническим уравнением . Составить общее уравнение этой прямой.

Решение. Каноническое уравнение прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:



Получили общее уравнение прямой, которая теперь задана пересечением двух плоскостей, одна из которых параллельна осиOz (), а другая– осиОу ().

Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:



Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).

Ненулевой вектор, параллельный прямой линии, будем называть ее направляющим вектором.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая l, проходящая через точку , и ее направляющий вектор.

Любой вектор , где, лежащий на прямой, коллинеарен с вектором, поэтому их координаты пропорциональны, то есть

. (V.6)

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. В частном случае, когда ﻉ есть плоскость, получаем уравнение прямой на плоскости

. (V.7)

Пример V.14. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки ,.

Будем считать вектор направляющим, тогда уравнение искомой прямой имеет вид

,

где ,,.

Удобно уравнение (V.6) записать в параметрической форме. Так как координаты направляющих векторов параллельных прямых пропорциональны, то, полагая

,

получим

где t – параметр, .

Расстояние от точки до прямой

Рассмотри двухмерное евклидовое пространство ﻉ с декартовой системой координат. Пусть точка ﻉ и lﻉ. Найдем расстояние от этой точки до прямой. Положим _, и прямая l задается уравнением (рис.V.8).

Расстояние , вектор , где – нормальный вектор прямой l, и – коллинеарны, поэтому их координаты пропорциональны, то есть , следовательно, , .

Рис. V.8

Отсюда или умножая эти уравнения наA и B соответственно и складывая их, находим , отсюда

или

.

Формула

(V.8)

определяет расстояние от точки до прямой.

Пример V.15. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямойl: и найти расстояние отдо прямойl.

Из рис. V.8 имеем , а нормальный вектор прямойl . Из условия перпендикулярности имеем

или

.

Так как , то

. (V.9)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку ,перпендикулярно прямой .

Пусть имеем уравнение прямой (V.9), проходящей через точку , перпендикулярна прямойl: . Найдем расстояние от точкидо прямойl, используя формулу (V.8).

Для нахождения искомого расстояния достаточно найти уравнение прямой, проходящей через две точки и точку, лежащую на прямой в основании перпендикуляра. Пусть , тогда

. (V.10)

Так как , а вектор, то

. (V.11)

Поскольку точка лежит на прямойl, то имеем еще одно равенство или

Приведем систему к виду, удобному для применения метода Крамера

Ее решение имеет вид

,

. (V.12)

Подставляя (V.12) в (V.10), получаем исходное расстояние.

Пример V.16. В двухмерном пространстве задана точка и прямая. Найти расстояние от точкидо прямой; записать уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно заданной прямой и найти расстояние от точкидо основания перпендикуляра к исходной прямой.

По формуле (V.8) имеем

.

Уравнение прямой, содержащей перпендикуляр, найдем как прямую, проходящую через две точки и, воспользовавшись формулой (V.11). Так как , то, с учетом того, что, а, имеем

.

Для нахождения координат имеем систему с учетом того, что точкалежит на исходной прямой

Следовательно, ,, отсюда.

Рассмотрим трехмерное евклидовое пространство ﻉ. Пусть точка ﻉ и плоскость ﻉ. Найдем расстояние от этой точки до плоскости, заданной уравнением (рис.V.9).

Рис. V.9

Аналогично двухмерному пространству имеем и вектор, а, отсюда

. (V.13)

Уравнение прямой, содержащей перпендикуляр к плоскости , запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки и, лежащую в плоскости:

. (V.14)

Для нахождения координат точки к двум любым равенствам формулы (V.14) добавим уравнение

. (V.15)

Решая систему трех уравнений (V.14), (V.15), найдем ,,– координаты точки. Тогда уравнение перпендикуляра запишется в виде

.

Для нахождения расстояния от точки до плоскости вместо формулой (V.13) воспользуемся

.