§ 2. Множества

Множество – фундаментальное понятие математики, используемое почти во всех ее разделах. Каждый, имеющий отношение к науке, будь то математик, инженер или философ, в своих исследованиях всегда приходит к обобщениям, т.е. рассматривает некоторую совокупность объектов как целое. Известное определение одного из основателей теории множеств Г. Кантора: «Под множеством понимается объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или мыслью», – первоначально не вызвало возражений. Со временем, когда идеи Кантора стали проникать в умы исследователей, появились противоречия (антиномии) и определение Кантора перешло в разряд поясняющих понятий. Иначе и быть не могло, поскольку множество есть понятие исходное, на котором конструируются остальные понятия современной математики и, следовательно, пока неопределяемое.

Будем придерживаться мнения, что множество – совокупность объектов, объединенных общим признаком, свойством. Объекты множества называются его элементами. Описание элементов есть описание множества и наоборот. Если число элементов множества ограничено, то оно называется конечным, иначе – бесконечным. Если число элементов множества мало, то его описание обычно трудностей не вызывает (достаточно перечислить его элементы). Если число элементов велико или бесконечно, то указывают характеристическое свойство, связывающее элементы множества, например, читается «любой элементx множества обладает свойством P». (Ранее, при обсуждении понятия универсальной алгебры, характеристическим свойством множеств объявлялась алгебраическая операция или система ее аксиом). Свойство P не должно быть противоречивым или слишком длинным (чтобы мысль не терялась). По этой причине считается неэтичным употреблять выражение «множество всех множеств», поскольку оно еще не построено, к тому же это дополнительный источник антиномий, которых в теории множеств накопилось немало 10. В связи со сказанным основания теории множеств будем излагать, используя аксиоматический подход. Конечно, аксиомы тоже основаны на интуитивном представлении о множествах, но благодаря такому подходу не будет возникать необходимости привлекать интуитивное представление при выявлении тех или иных свойств множеств, следующих из систем аксиом.

При изучении свойств множеств часто возникает необходимость группировать элементы множеств по признакам. Если все элементы множества распределены по группам и нет элемента, который мог бы находиться в двух группах, то множество разбито на непересекающиеся группы или классы.

Оказывается, что не всегда множество можно разбить на классы, хотя способов достаточно много. Пусть мы пожелали получить на некотором числовом множестве разбиение чисел по признаку: любые два числа a, b принадлежат одному классу, когда . Такого разбиения быть не может3, ведь по условию никакое число не может попасть в один класс с самим собой, поскольку получается, что должно быть , а это невозможно (сравни с). Поэтому для того, чтобы разбиение на классы было осуществимо, должны быть выработаны условия осуществимости. В алгебре этому посвящен раздел, изучающийотношения – одна из форм взаимосвязи объектов исследования. Под отношениями понимаются, например: «…больше чем…», «…следует…», отношение порядка, эквивалентности, функциональное отношение, однозначное и взаимнооднозначное соответствие и др.

Пусть задан признак: «элемент a связан с элементом b отношением эквивалентности», тогда будем говорить, что a эквивалентно b и писать: ab.

Определение. Отношением эквивалентности для элементов a, b, c, … множества, называется признак, удовлетворяющий условиям:

1) рефлексивности, т.е. a a;

2) симметричности, т.е. если ab, то ba;

3) транзитивности, т.е. если a b и bc, то ac.

Понятия, родственные эквивалентности, – равенство, тождество. Легко проверить выполнение этих условий для классов.