Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим в пространстве вектор (рис. IV.7). Пусть M – внутренняя точка направленного отрезка, тогда . Число  называется отношением, в котором точка M делит отрезок .

Вычислим координаты точки , которая делит отрезок в отношении , где , .

Учитывая формулы (IV.8 а) – (IV.8 в), получаем

.

Приравнивая последовательно дроби к числу , будем иметь

, , . (IV.10)

Формулы (IV.10) называются формулами деления отрезка в отношении .

Пример IV.1. Для деления отрезка пополам, полагая , получаем координаты точки .

Замечание. Для положительных значений  точка M лежит между точками M₁ и M₂, для отрицательных – вне отрезка . Для формула (IV.10) не имеет смысла.

Упражнение. Получить формулы (IV.5), используя преобразование подобия.

Пример IV.2. Начало вектора находится в точке , конец в точке . Найти координаты вектора , его длину и направление.

Решение. Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно от координат конца вычесть координаты начала вектора:

.

Найдем длину вектора: .

Теперь по формулам (IV.10) имеем: , , .

§ 4. Базис системы векторов

Определение. Система векторов , , называется линейно зависимой, если существуют такие константы ,,, не все равные нулю, что имеет место равенство

.

Если из этого равенства с необходимостью следует, что если , то система называется линейно независимой.

Определение. Базисом в 3-х мерном пространстве называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства (см стр. 77, § 2).

Теорема IV.1. Векторы , ,  L³ образуют базис тогда и только тогда, когда

0, где .

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы образуют базис, тогда по определению эти векторы линейно независимые, а следовательно, равенство

,

которое эквивалентно однородной системе

выполняется только в случае . Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное нулевое решение только в том случае, когда

.

По 1-му свойству определителей получаем

.

Необходимость доказана.

2) Достаточность. Пусть для векторов , , пространства L³ выполняется

.

Проверим линейную независимость векторов , составим равенство , рассмотрим однородную систему уравнений

так как определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, не равен нулю, т.е.

,

то эта система имеет единственное нулевое решение, по определению, векторы образуют систему линейно независимых векторов, а, следовательно, и базис в пространстве L³. Теорема доказана.

Если векторы , , образуют базис, а вектор представляется в виде , тогда числа , , называются координатами вектора в базисе , , , то есть .

Пример IV.3. Даны три векторы , , . Показать, что они образуют базис, и найти разложение вектора в этом базисе.

Решение. Покажем, что вектора , , образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:

.

Так как 0, то, по теореме IV.1, векторы , , образуют базис. Отсюда получаем разложение вектора по базисным векторам , , :

.

Чтобы найти координаты , , вектора в новом базисе, необходимо найти решение следующей системы уравнений:

Решим эту систему методом Крамера, имеем

, ,

, .

Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение: , , . То есть

.

Определение. Совокупность всех 3-х мерных векторов с действительными координатами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-х мерное векторное пространство.