§ 3. Проекция вектора на ось

Прямая с заданной на ней точкой и единичным базисным вектором называетсяосью.

Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку А.

Пусть в пространстве задана направленная прямая l. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра, опущенного из точкиМ на ось. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М (рис. IV.4).

Рис. IV.4

Пусть – произвольный вектор.Проекцией вектора на осьl называется координата вектора относительно единичного вектораоси, гдеА₁ и В₁ – проекции точек A и B на ось l, то есть если , то число называется проекцией вектора на осьl, в направлении . Обозначение для проекции:.

Из правил сложения векторов и умножения вектора на число, заданных своими координатами, следует, что:

, где .

Легко показать, что , где – угол между векторами и, отсчитываемый по правилам тригонометрии: от векторапротив часовой стрелки до вектора.

Следует помнить: проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол прямой.

Действия над векторами, заданными проекциями, выполняются аналогично действиям над матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим 3-х мерное линейное пространство L и (рис.IV.5). Введем декартову систему координат Oxyz. Представим вектор в виде линейной комбинации базисных векторов,,:

. (IV.1)

Проекцией вектора на осьOx называется величина направленного отрезка и записывается.

Так как, по определению, , то если – угол между осью Ox и вектором , то

. (IV.2)

Аналогично определяются проекции вектора на другие оси.

Рис. IV.5.

Сопоставляя (IV.1) и (IV.2) и учитывая, что проекция есть направленный отрезок (если , то), то

, ,.

Заметим, что , получаем

, ,. (IV.3)

, , называются направляющими косинусами. Возводя в квадрат и складывая, получим

,

то есть сумма квадратов направляемых косинусов равна 1:

. (IV.4)

Пусть углы вектора с осями Ox, Оу, Оz соответственно равны , , . По свойству проекции вектора на ось имеем:

, , .

или, что то же самое:

, , . (IV.5)

Числа , , называются направляющими косинусами вектора ().

Линейные свойства проекции вектора на ось

Пусть дана ось Ox и векторы и :

, .

Тогда, как следует из свойств сложения векторов, имеем

1) ;

2) , .

Отсюда, как следует из (IV.2), получаем

a) ;

b) .

Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек и . Имеем:

.

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала.

Зададим в пространстве декартову систему координат Oxyz и вектор , где координаты точек , .

Проекция вектора на ось Ox (рис. IV.6) определяется

. (IV.6)

Рис. IV.6.

Тригонометрическая формула (IV.6) устанавливает связь между геометрическим образом отрезка и его проекцией на ось Ox, которая в алгебраической форме имеет вид

. (IV.7)

Знак правой части в (IV.7) определяется , для . Таким образом,

, (IV.8 а)

, (IV.8 б)

. (IV.8 в)

Для нахождения длины отрезка воспользуемся теоремой Пифагора, получим

. (IV.9)