5.5 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Ограничимся рассмотрением целых положительных чисел и примем без доказательства следующие правила перевода целых чисел из одной системы счисления в другую.

Правило 1. Перевод числа Х из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении остатков от деления числа Х на основание Q, при этом процесс продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все вычисления выполняются в системы счисления с основанием P, т.е. основание Q должно также быть выражено в системе счисления с основанием P. Остатки от деления должны быть выражены цифрами системы счисления с основанием R. Представление искомого числа в системе счисления с основанием R получается выписыванием последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из десятичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную. Однако перевод в двоичную систему осуществляется, как правило, через промежуточную восьмеричную систему.

Пример 1. Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную.

574₁₀ ? ₈ 574₁₀ = 1076 ₈

574 |_8__

56 71 |_8_

14 64 8 |_8_

8 7 8 1

6 0

3 2 10

Обратный перевод: 1076 ₈ = 1*8³ + 0*8² + 7*8¹ +6*8⁰ = 512 + 0 + 56 + 6 = 574 ₁₀

Пример 2. Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную.

575₁₀ ? ₁₆ 575₁₀ = 23F₁₆

575|_16_

48. 35 |_16_

95 32 2

80 3

15

2 1 0

Обратный перевод: 23F ₁₆ = 2*16 ² + 3*16 ¹ +15*16 ⁰ = 512 + 48 + 15 = 575 ₁₀

Дробные числа переводятся следующим образом: целая часть числа с основанием q₁ делится на основание системы q₂ до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q₂ – 1. Число в основании q₂ записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Дробная часть числа в системе q₁ последовательно умножается на основание системы q₂, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в системе q₂ после запятой записывается как последовательность полученных целых частей произведений. Умножение производится пока дробная часть не станет равной нулю. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

Например,

0,625 ₁₀ ? ₂ 0,625 ₁₀ = 0,101 ₂

_х 0,625

2

1,250

_х 0,250

2

0,500

_х 0,500

2

1,000

0-1-2-3

Обратный перевод: 0,101 ₂ = 0* 2 ⁰ + 1*2 ^–1 +0*2 ^–2 +1*2 ^–3 = 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625 ₁₀

Правило 2. Перевод числа Х из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа их по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

Пример. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную

23E ₁₆ ?₁₀ 23E ₁₆ = 574₁₀

2*16² + 3*16¹ +14 *16⁰

23E ₁₆ = 574₁₀

Пример. Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

1076 ₈ ? ₁₀ 1076 ₈ = 574₁₀

1*8³ + 1*8² +6*8¹ + 7*8⁰

1076 ₈ = 574₁₀

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по триадам.

При переводе из восьмеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется триадой, согласно таблице 9.

При переводе из двоичной системы в восьмеричную число развивается на триады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую триаду заменяют восьмеричной цифрой согласно табл.2.

Пример. Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную.

1076 ₈ 001000111101₂

Пример. Перевод числа из двоичной системы счисления в восьмеричную.

1.000.111.101₂ 1076 ₈

Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по тетрадам.

При переводе из шестнадцатеричной системы в двоичную каждая цифра заменяется тетрадой, согласно табл.2

При переводе из двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивается на тетрады справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую тетраду заменяют шестнадцатеричной цифрой согласно табл. 2.

Пример. Перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную.

23E ₁₆ 001000111101₂

Пример. Перевод числа из двоичной системы счисления в Восьмеричную.

0010.0110.1101₂ 25E ₁₆