![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
Интегрирование основных классов элементарных функций.
Вычисление
интегралов вида
и
,
выделяя в квадратном трёхчлене
полный квадрат
и делая замену переменной интегрирования
,
сводят к вычислению табличных интегралов
(см.приложение
6.3) и интегралов
вида
и
,
которые сводят к табличным заменой
переменной
.
Вычисление
интегралов вида
,
делая замену переменной интегрирования
,
сводят к вычислению интегралов,
рассмотренных выше.
Рациональной
дробью
называется рациональная функция
вида
.
Если
,
то дробьнеправильная,
в противном случае – правильная.
Всякую неправильную дробь всегда можно
представить в виде
,
где
,
-многочлены от
,
причём
.
Выделение целой части (многочлена
)
в неправильной дроби производят делением
числителя на знаменатель, выполняемое
«уголком». Таким образом, интегрирование
неправильной рациональной дроби сводится
к интегрированию многочлена и правильной
рациональной дроби.
Интегрирование
правильной рациональной дроби основано
на её представлении в виде конечной
суммы простейших дробей вида
,
,
,
,
причём трёхчлен
не имеет действительных корней. Вид
этого разложения определяется разложением
знаменателя
дроби на линейные и квадратичные
множители (не имеющие действительных
корней).
Каждому
линейному множителю вида
,
где
,
в разложении соответствует сумма из
простейших дробей вида
.
Каждому квадратичному множителю вида
,
где
,
в разложении соответствует сумма из
простейших дробей вида
.
Неизвестные
постоянные
,
,
в разложении правильной рациональной
дроби
в
сумму простейших дробей определяютметодом
неопределённых коэффициентов.
Для этого правую часть искомого разложения
приводят к общему знаменателю (им будет
многочлен
),
после чего у получившегося в числителе
многочлена с неизвестными постоянными
и у многочлена
приравнивают коэффициенты при одинаковых
степенях
.
В результате получают систему линейных
уравнений, решая которую находят
неизвестные постоянные. Можно также
определять
,
,
,
подставляя в равенство, полученное
приравниванием числителя
к числителю дроби с неизвестными
постоянными, полученной после приведения
простейших дробей к общему знаменателю
,
вместо
некоторые специально подобранные числа
(обычно действительные корни знаменателя
)
(метод
частных значений).
Часто, при нахождении неизвестных
постоянных, комбинируют оба способа.
Интегралы
вида
,
где
-рациональная
функция относительно аргументов
и
,
приводятся к интегралам вида
,
где
-рациональная
функция относительно аргумента
,
с помощьюуниверсальной
тригонометрической подстановки
.
При этом используются формулы
,
,
.
Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:
1)
,
если
,
при этом:
,
;
2)
,
если
,
при этом:
,
;
3)
,
если
или
,при этом:
,
,
;
4)
,
если
,при этом
.
Здесь
-
рациональная функция относительно
аргументов
,
.
Интегралы
вида
,
где
,
- целые неотрицательные числа, вычисляют,
преобразуя подынтегральную функцию с
помощью формул:
,
.
Интегралы
вида
,
,
вычисляют, преобразуя подынтегральную
функцию по формулам:
;
;
.
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:
;
;
;
.
Интегралы
вида
,
где
-рациональная функция своих аргументов,
-целые числа, вычисляются с помощью
подстановки
,
где
- наименьший общий знаменатель дробей
.
Вычисление
интегралов вида
,
где
-рациональная функция своих аргументов,
выделением полного квадрата в квадратном
трёхчлене
и заменой
,
сводится к вычислению интегралов вида:
1)
;
2)
;
3)
,где
-
рациональная функция своих аргументов.
Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок: