Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезкеназывается функциональный ряд вида, где числаи, называемыекоэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:

, ,.

Функция называетсякусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точекна интервалытак, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Если функция на отрезкекусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке, в которойнепрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. В точках разрывафункциии точкахсумма ряда Фурье определяется формуламии.

В частности, если: 1) функция -чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение,где,;

2) функция -нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение, где,.

Если функция задана только в интервале, то её можно продолжить в интерваллибо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервалев неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.

Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида , где- искомая функция, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно обычно называетсяинтегралом уравнения. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнение вида , где- заданная функция переменныхи, называетсяДУ первого порядка, разрешённым относительно производной. Эту форму записи ДУ называют нормальной. Учитывая, что , ДУ первого порядка, разрешённое относительно производной, можно всегда записать вдифференциальной форме: , гдеи- заданные функции переменныхи.

Условие , где,-заданные числа, называется начальным условием. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданному начальному условию, называетсязадачей Коши.

Общим решением ДУ первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной, такое, из которого при надлежащем выборе значения постояннойможно получить решение, удовлетворяющее заданному начальному условию. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ первого порядка называется решение , получаемое из общего при конкретном значении постоянной(при этом не исключаются и значения). Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом уравнения.

Решение ДУ первого порядка, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. Особое решение не содержится в формуле общего решения ни при каком числовом значении произвольной постоянной, включая . Особое решение всегда можно обнаружить в процессе построения общего решения (общего интеграла) данного ДУ. Это те решения, которые могут быть утеряны при преобразованиях данного уравнения, переводящих это уравнение в его общее решение (общий интеграл).

ДУ вида называется уравнениемс разделёнными переменными. Его общий интеграл имеет вид .

ДУ вида илиназывается уравнениемс разделяющимися переменными. Его интегрирование, путём деления обеих частей уравнения на или, сводится (с учётом) к интегрированию уравнения с разделёнными переменными.

При выполнении деления возможна потеря решений, для которых или. Потерянные решения или содержатся в формуле общего решения при каком-то конкретном значении произвольной постоянной (при этом не исключаются и значения) или являются особыми решениями.

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка – значит: 1) найти его общее решение или общий интеграл;2) найти то частное решение (частный интеграл) которое удовлетворяет заданному начальному условию.

Дифференциальное уравнение вида или, гдеи- однородные функции одинаковой степени, называетсяоднородным.

Функция , обладающая свойствомпри всех, называетсяоднородной функцией степени .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой ,или, где- новая неизвестная функция. Интегрируя ДУ с разделяющимися переменными относительно функциии возвращаясь к искомой функции, находим общее решение исходного уравнения. Иногда целесообразно вместо подстановки, использовать подстановку, где- новая неизвестная функция.

Уравнение вида называетсялинейным. Уравнение , в котором правая часть тождественно равна нулю, называетсяоднородным линейным уравнением.

Общее решение неоднородного линейного уравнения находится подстановкой ,, гдеи- неизвестные функции от. Уравнение тогда примет вид. Приравняв нулю выражение в скобках, получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдёмв виде его частного решения, где- какая-нибудь первообразная для. Подставив затем найденное выражениев уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдёмв виде его общего решения. В результате найдём и общее решение исходного уравнения в виде.

Уравнение вида , гдеи, называетсяуравнением Бернулли. Решение уравнения Бернулли, также как и линейного, находится подстановкой .