![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
1-10. Найти неопределенные интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Нахождение
неопределённого интеграла
состоит в таком преобразовании
подынтегрального выражения
,
чтобы получить интегралы (возможно по
новой переменной интегрирования) из
таблицы основных интегралов (приложение
6.3).
Решение.
а)
Интеграл вычислим непосредственным
интегрированием. Получим:
.
Ответ:
.
б)
Интеграл вычислим методом замены
переменной интегрирования. Замену
переменной интегрирования
выполним методом подведения функции
под знак дифференциала,
используя
для этого таблицу дифференциалов
основных элементарных функций (Приложение
6.3). Получим:
.
Замечание.
Замену
переменной интегрирования в данном
интеграле можно выполнить и следующим
образом. Положим
.
Тогда
,
откуда
.
Подставив все это в интеграл, получим:
Ответ:
.
в)
Интеграл вычислим методом интегрирования
по частям, используя формулу
.
Положим:
,
.
Найдём
,
.
Интеграл
в формуле интегрирования по частям
вычисляется с точностью до постоянной,
т.е. в качестве функции
выбирается одна из первообразных для
функции
.
Для
вычисления интеграла
можно использовать и следующее свойство
неопределённого интеграла: если
,
то
,
где
- табличный интеграл. В данном случае,
так как
,
то
.
Тогда, получим:
Ответ:
.
г)
Интеграл относится к интегралам вида
.
Для его вычисления сначала выделим
полный квадрат в знаменателе подынтегральной
функции, затем сделаем замену переменной
интегрирования. Получим:
=[представляем
интеграл в виде суммы интегралов].
Вычислим
каждый из интегралов в отдельности: 1)
.
Одним
из часто выполняемых преобразований
является преобразование:
,
где
-
некоторые числа.
2)
Тогда:
.
Ответ:
.
Конечное
выражение для неопределённого интеграла
записывают, указывая одну из первообразных
и добавляя к ней произвольную постоянную
.
д) Интеграл относится к интегралам от рациональных дробей. В данном случае подынтегральная функция является правильной рациональной дробью.
Для
вычисления интеграла, сначала разложим
дробь на простые дроби:
,
где неизвестные постоянные
найдем методом неопределенных
коэффициентов. Для этого выражение в
правой части разложения приведем к
общему знаменателю:
и приравняем числители правой и левой дробей. Получим:
Два
многочлена одинакового порядка равны,
тогда и только тогда, когда равны их
коэффициенты при одинаковых степенях
.
Приравняв
соответствующие коэффициенты этих
многочленов, получим систему линейных
уравнений относительно
:
.
Решив
систему (например, методоми Гаусса или
Крамера), найдем
,
,
.
Тогда
.
Затем подставим это разложение в исходный интеграл и используем свойство линейности интегралов.
,
где
-некоторые числа.
Получим:
.
Вычислим теперь каждый из интегралов в отдельности:
1)
.
2)
.
3)
.
Тогда
получим:
.
Ответ:
.
е)
Интеграл относится к интегралам вида
.
Вычисление интеграла сводим методом
замены переменной интегрирования к
вычислению табличных интегралов от
новой переменной, с последующей обратной
заменой переменной.
Так
как для подынтегральной функции
выполняется условие
,
то сделаем подстановку
.
Получим:
.
Ответ:
.
11-20. Вычислить определённые интегралы:
а)
б)
Определённый
интеграл для функции
,
непрерывной на отрезке
,
вычисляют по формуле Ньютона-Лейбница:
,
где
-одна
из её первообразных, используя для
нахождения
все приёмы и методы вычисления
неопределённых интегралов.
Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются:
1)
формула интегрирования по частям
,
где функции
и
непрерывно дифференцируемы на
;
2) формула замены переменной интегрирования
,
где функция
-
непрерывно дифференцируема на отрезке
.
Часто замена переменной в определённом
интеграле выполняется с помощью
подстановки
по формуле:
,
где функция
-
непрерывно дифференцируема на отрезке
.
Решение.
а)
Первообразная для подынтегральной
функции
принадлежит к классу первообразных
вида
.
С помощью подстановки
(в нашем случае
)
и формулы замены переменной в определенном
интеграле получим:
.
Для
вычисления последнего интеграла
используем формулу понижения степени:
.
Тогда
.
б)
Первообразная для подынтегральной
функции
относится
к первообразным вида
,
где
-
целые числа. С помощью подстановки
,
где
- наименьший общий знаменатель дробей
(в нашем случае – подстановки
),
данный интеграл сводим к интегралу от
рациональной функции новой переменной
:
.
Последний
интеграл является интегралом от
неправильной рациональной дроби. Для
его вычисления, разделим «уголком»
числитель на знаменатель и представим
подынтегральную функцию
в виде:
.
Тогда
.
Для
нахождения первообразной вида
,
где
- многочлен порядка
,
можно использовать также подстановку
.
Ответ:
а);б)
.
21-30.
Вычислить
несобственный
интеграл I-ого
рода
или установить
его расходимость.
Решение.
По
определению несобственного интеграла
имеем
.
Определенный интеграл, стоящий под
знаком предела, вычислим методом замены
переменной:
Тогда
.
Ответ:
Несобственный интеграл сходится и равен
.
31-40.
Вычислить
площадь
фигуры
,
ограниченной линиями:
,
,
,
.
Площадь
фигуры
,
где
-непрерывные
на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, вычисляется по формуле:
.
Площадь
фигуры
где
-непрерывные
на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, вычисляется по формуле:
.
Решение.
1)
Изобразим фигуру
:
2)
Представим
в виде
.
Если
или
,
то фигуру
прямыми, параллельными осям координат,
разбивают на части, такие, чтобы они
имели вид
или
.
При этом площадь фигуры
находят как сумму площадей её частей.
3) Вычислим площадь:
.
Ответ:
.
41-50.
Вычислить
длину дуги кривой, заданной уравнением:
,
.
Длина
дуги кривой, заданной уравнением
,
вычисляется по формуле
.
Решение.
1)
Сначала найдём:
.
Тогда
.
2)
Вычислим длину:
.
Последний интеграл является интегралом
от неправильной рациональной дроби.
Для его вычисления, разделим «уголком»
числитель на знаменатель и представим
подынтегральную функцию
в виде:
.
Тогда:
.
Ответ:
.
51-60.
Вычислить
объём тела, образованного вращением
вокруг оси
фигуры
,
ограниченной линиями:
,
,
,
.
Объем
тела, образованного вращением вокруг
оси
фигуры
,
где
-
непрерывные на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, вычисляется по формуле:
.
Решение.
1)
Изобразим фигуру
:
2)
Представим
в виде
.
Если
,
то фигуру
прямыми, параллельными оси
,
разбиваем на части, такие, чтобы они
имели вид
.
При этом объём тела, образованного
вращением фигуры
находим как сумму объёмов тел, образованных
вращением её частей.
Так
как это сделать невозможно, то фигуру
разобьём прямыми
,
на три части
,
,
,
такие что
и представим их в виде
:
,
,
.
При этом
.
3)
Вычислим объём тела вращения:
.
Так как
,
,
то:
.
Ответ:
.
61-70. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах (изобразить область интегрирования):
.
Повторным
интегралом называют: 1)
интеграл вида
по области
,
называемой элементарной в направлении
оси
,
где
-непрерывные
на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением;2)
интеграл вида
по области
,
называемой элементарной в направлении
оси
,
где
-непрерывные
на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением.
При изменении порядка интегрирования в повторных интегралах:
1)
Если
и
,
то область
прямыми, параллельными оси
,
разбивают на части
,
такие, чтобы
.
При этом повторный интеграл по области
представляют в виде суммы повторных
интегралов по областям
.
2)
Если
и
,
то область
прямыми, параллельными оси
,
разбивают на части
,
такие, чтобы
.
При этом повторный интеграл по области
представляют в виде суммы повторных
интегралов по областям
.
Решение.
1)
Представим области интегрирования
и
,
являющиеся элементарными в направлении
оси
для каждого из данных повторных
интегралов, в виде
и
:
,
.
2)
Изобразим на одном рисунке области
интегрирования
и
.
Очевидно,
что
.
3)
Представим
в виде
- элементарной области в направлении
оси
:
.
4)
Запишем
повторный интеграл для функциипо области
:
.
Таким образом, изменив порядок интегрирования, получим:
.
Ответ:
.
Неявное
уравнение окружности
с
центром в точке
и радиусом
представляют явными уравнениями:
71-80.
Вычислить
двойной интеграл
по области
,
ограниченной линиями:
Если
,
где
- непрерывные на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, то двойной интеграл
вычисляется по формуле
.
Если
где
-непрерывные
на отрезке
функции, задаваемые одним аналитическим
выражением, то двойной интеграл
вычисляется по формуле
.
Решение.
1)
Изобразим
область интегрирования
:
2)
Представим
в виде
:
.
Если
или
,
то область
прямыми, параллельными осям координат,
разбивают на части, такие, чтобы они
имели вид
или
.
При этом двойной интеграл по области
находят как сумму двойных интегралов
по её элементарным частям.
3) Вычислим двойной интеграл:
В
повторном интеграле сначала вычислим
внутренний интеграл по переменной
,
считая переменную
постоянной величиной:
.
Теперь
вычислим внешний интеграл по переменной
:
Ответ:
11.
81-90.
Найти
среднее
значение непрерывной функции
в области
,
ограниченной линиями:
.
Среднее
значение
функции
непрерывной в области
находится по формуле:
,
где
- площадь области
.
Решение.
1)
Изобразим
область
:
2)
Представим
в виде
:
.
Если
и
,
то при выборе формулы для вычисления
двойного интеграла через повторный
интеграл, следует учитывать вид
подынтегральной функции
и выбирать такую формулу, для которой
вычисления будут наиболее простыми. В
данном случае следует выбрать формулу,
в которой повторный интеграл записывается
для области
.
3)
Вычислим
двойной интеграл
:
.
В
повторном интеграле сначала вычислим
внутренний интеграл по переменной
,
считая переменную
постоянной величиной:
.
Затем
вычислим внешний интеграл по переменной
:
.
4)
Вычислим
площадь области
:
.
В повторном интеграле сначала вычислим
внутренний интеграл по переменной
,
считая переменную
постоянной величиной:
.
Затем вычислим внешний интеграл по
переменной
:
Таким образом
.
Если
область
представляет собой классическую фигуру
(прямоугольник, треугольник, круг,…),
то её площадь можно найти по известным
для таких фигур формулам. В данном
примере
- прямоугольник, площадь которого
.
5) Найдём среднее значение функции:
Ответ:
.
91-100.
Найти площадь
(с помощью двойного интеграла) фигуры
,
ограниченной линиями:
.
Решение.
1)
Изобразим
фигуру
:
2)
Представим
в виде
.
В
направлении оси
область
элементарной не является, т.е.
.
Если
и
,
то фигуру
прямыми, параллельными осям координат,
разбивают на части, такие, чтобы они
имели вид
или
.
При этом площадь фигуры
находят как сумму площадей её частей.
С
этой целью составим систему уравнений:
и найдем ординаты точек пересечения
окружности с параболой. Для этого,
исключив переменную
,
получим уравнение относительно переменной
:
.
Решив данное уравнение, найдём
.
Таким образом:
,
- ординаты точек пересечения окружности
с параболой. Тогда
.
3)
Вычислим
площадь фигуры
:
.
В
повторном интеграле сначала вычислим
внутренний интеграл по переменной
,
считая переменную
постоянной величиной:
.
Затем
вычислим внешний интеграл по переменной
:
.
Так
как
;
,
то
.
Тогда
.
Ответ:
.
101-110. Исследовать на сходимость ряды и указать применяемые признаки:
а)
;
б)
;
в)
.
Если
общий член
числового ряда
представляет собой отношение многочленов
или алгебраических функций относительно
аргумента
,
то исследование его на сходимость
следует начинать с проверки необходимого
признака сходимости. Если он не
выполняется, то ряд расходится, в
противном случае проводят дополнительное
исследование на сходимость, используя
предельный признак сравнения, где в
качестве ряда сравнения выбирают
обобщённый гармонический ряд.
Если
в выражение общего члена
числового ряда входят:
,
,
то для исследования его на сходимость
следует применить признак Даламбера.
Если выражение для
можно представить в виде
,
то для исследования ряда на сходимость
следует применить радикальный признак
Коши.
Решение.
а)
Для данного ряда проверим сначала
выполнение необходимого признака
сходимости:
(если он не выполняется, то ряд расходится).
Получим
.
Так как необходимый признак сходимости
выполняется, то требуется дополнительное
исследование ряда на сходимость.
Используем
для исследования на сходимость предельный
признак сравнения. В качестве ряда
сравнения выберем ряд
,
который сходится, как обобщённый
гармонический ряд
с показателем степени
.
При
выборе в качестве ряда сравнения
обобщённого гармонического ряда
руководствуются следующим, если
,
где
- некоторое число, то ряд сравнения имеет
вид
.
Тогда,
по предельному признаку сравнения, так
как
,
то ряды
и
или одновременно сходятся, или одновременно
расходятся. Поскольку ряд
сходится, то ряд
также
сходится.
Ответ:
Ряд
сходится
по предельному
признаку сравнения.
При
исследовании рядов на сходимость следует
иметь в виду следующие предельные
значения функций:
,
,
,
,
,
,
а также известные пределы:
(
),
,
,
,
.
б)
Данный ряд исследуем на сходимость по
признаку Даламбера. Для этого вычислим
предел
,
где
В полученном для
выражении выполним преобразование с
факториалом
и сократим числитель и знаменатель на
общие множители. Получим
.
Так
как
,
то по признаку Даламбера ряд сходится.
Ответ:
Ряд
сходится
по признаку Даламбера..
в)
Данный ряд исследуем на сходимость по
радикальному признаку Коши. Для этого
вычислим предел
,
где
.
С учётом известного предела
,
получим
.
Так как
,
то по радикальному признаку Коши ряд
сходится.
Ответ:
Ряд
сходится
по радикальному признаку Коши.
111-120.
Найти
интервал, радиус и область сходимости
степенного ряда
.
Интервал
сходимости
степенного ряда
обычно находят решая неравенство
,
где
,
,
- радиус сходимости.
Областью
сходимости степенного ряда является
интервал сходимости
,
к которому присоединяются точки
,
если в них ряд сходится. Для исследования
сходимости ряда на концах интервала
сходимости обычно применяют признаки
сравнения (для рядов с положительными
членами) и признак Лейбница (для
знакочередующихся рядов).
Решение.
1)
Найдём
интервал
сходимости степенного ряда. Для
этого
сначала вычислим предел
.
Затем решим неравенство
.
Полученное неравенство равносильно
системе неравенств
,
откуда:
.
Таким образом, интервалом сходимости
данного ряда является интервал
.
2)
Радиус
сходимости степенного ряда найдём,
учитывая, что интервалом его сходимости
,
где
,
является интервал
,
т.е. из условия
или
.
Откуда
.
3)
Для нахождения
области сходимости степенного ряда
исследуем его сходимость на концах
интервала сходимости
,
т.е. в точках
и
.
При
получим знакочередующийся числовой
ряд
.
Исследуем его на сходимость по признаку
Лейбница.
Признак
Лейбница. Знакочередующийся ряд
,
где
,
сходится, если: 1)
;
2)
(может
выполняться начиная с номера
).
Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница:
1)
;
2)
.
Оба условия выполняются и, следовательно,
знакочередующийся ряд
сходится по признаку Лейбница.
При
получим числовой ряд
,
являющийся обобщенным гармоническим
рядом с показателем степени
.
Так как
,
то этот ряд сходится.
Таким
образом, в точках
и
степенной ряд
сходится и тогда областью его сходимости
является промежуток
.
Ответ:
Для степенного ряда:
-
интервал сходимости;
- радиус сходимости;
- область сходимости.
121-130.
Найти первые
три отличные от нуля члена разложения
функции
в ряд Тейлора в окрестности точки
.
Рядом
Тейлора функции
в точке
называется степенной ряд
.
Решение.
Найдём
сначала первые три отличные от нуля
производные функции
в точке
:
,
,
,
.
Получим:
;
;
.
Теперь
подставим найденные ненулевые значения
производных в ряд Тейлора функции
в окрестности точки
и получим:
.
Ответ:
.
131-140.
Разложить
в ряд Фурье
-периодическую
функцию
определённую следующим образом:
(в ответе указать первые пять отличные
от нуля члена ряда). Построить график
функции
.
Разложение
в ряд Фурье
-периодической
функции
- кусочно-монотонной и непрерывной на
промежутке
,
за исключением конечного числа точек
разрыва первого рода, во всякой точке
её непрерывности имеет вид:
,
где
коэффициенты
и
определяются формулами:
,
;
,
.
Решение:
1)
Найдём коэффициенты ряда Фурье:
и
:
[для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям]
;
[для вычисления интегралов применим метод интегрирования по частям]
.
Таким образом, получили, что:
,
,
.
2)
Запишем разложение
-периодической
функции
в ряд Фурье:
.
Полученное равенство имеет смысл во всех точках.
Если
-периодическая
функция имеет точки разрыва 1-го рода,
то:
полученное равенство имеет смысл во всех точках, кроме точек её разрыва.
3)
Запишем
разложение, указав в нём первые пять
ненулевых членов ряда Фурье. Для этого
вычислим первые пять ненулевых
коэффициента ряда Фурье:
:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом, первыми пятью ненулевыми
коэффициентами ряда Фурье являются
коэффициенты
,
,
,
,
и разложение
-периодической
функции
в ряд Фурье имеет вид:
.
4)
Построим график
-периодической
функции
:
Ответ:
141-150. Установить тип ДУ первого порядка и найти его общее решение.
а)
б)
Решение.
Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.
а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде
.
Действительно,
осуществив в исходном уравнении замену
и умножив его затем на
,
получим:
,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными.
Нахождение
общего решения уравнения,
путём деления обеих его частей на
,
сводится к интегрированию уравнения с
разделёнными переменными
,
где
,
,
общее решение которого записывается в
виде
.
Разделим
обе части уравнения
на множитель
,
получим ДУ с разделёнными переменными:
.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
,
где
-
произвольная постоянная.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
,
Тогда
общее решение дифференциального
уравнения запишется в виде:
.
Ответ:
,
где
- произвольная постоянная.
б)
Данное уравнение является однородным
дифференциальным уравнением первого
порядка, так как его можно записать в
виде
.
Действительно, выполнив преобразования:
,
получим
.
При
выполнении преобразований однородного
ДУ первого порядка к виду
следует учесть, что
.
Нахождение
общего решения однородного ДУ первого
порядка с помощью подстановки
,
или
,
где
-
новая неизвестная функция, сводится к
нахождению общего решения ДУ с
разделяющимися переменными относительно
функции
с последующей заменой
.
С
помощью подстановки
,
уравнение
или
приведём к ДУ с разделяющимися переменными
вида
относительно новой неизвестной функции
.
Получим:
.
Последнее
уравнение есть уравнение с разделяющимися
переменными. Сведём его, разделив обе
части уравнения на множитель
к
уравнению с разделёнными переменными.
Получим:
.
Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:
,
где
-
произвольная постоянная.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):
;
.
Тогда
общее решение последнего дифференциального
уравнения запишется в виде:
или
в
виде:
,
где
-
новая произвольная постоянная.
Теперь
в найденном решении вернёмся к старой
неизвестной функции
,
выполнив обратную замену
.
В итоге получим:
или
.
Ответ:
,
где
- произвольная постоянная.
Установить тип ДУ, найти его общее и частное решения, если:
,
.
Решение.
Данное
уравнение является линейным дифференциальным
уравнением (ЛДУ) первого порядка, так
как его можно записать в виде
,
где
,
.
Общее
решение ЛДУ первого порядка находится
с помощью подстановки
,
где
,
-
новые неизвестные функции. Одну из них,
например
,
находят в виде
,
где
- какая-нибудь первообразная для функции
,
тогда другую неизвестную функцию
находят в виде общего решения ДУ:
.
В итоге будет найдено и общее решение
исходного уравнения в виде
Частное
решение ДУ, удовлетворяющее начальному
условию
получают из общего решения данного
уравнения при конкретном значении
произвольной постоянной
.
Находят
как решение уравнения, получаемого
подстановкой в общее решение начального
условия.
Сначала
найдем общее решение линейного ДУ
первого порядка. Его ищем в виде
,
где
и
-
новые неизвестные функции.
Функцию
найдём в виде
,
где
- какая-нибудь первообразная для функции
.
Вычислив интеграл, получим
.
Тогда
.
Простейшим
ДУ первого порядка называется уравнение
вида
.
Общее решение такого уравнения находится
интегрированием и записывается в виде
.
Функцию
найдём как общее решение ДУ:
,
где
,
.
Данное уравнение
является простейшим ДУ первого порядка.
Его общее решение найдём интегрированием
и запишем в виде
.
Вычислив интеграл (с точностью до
постоянной), получим:
.
Таким
образом
.
Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:
.
Теперь
найдём частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.Его получим
из общего решения
при конкретном значении произвольной
постоянной
,
которое найдём из уравнения, полученного
подстановкой начального условия
в общее
решение. В результате получим:
.
Тогда частное решение исходного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
,
запишется в виде:
.
Ответ:
- общее решение;
частное решение.
161-170. Требуется найти:
а)
общее решение
простейшего ДУ порядка
:
;
б) общее и частное решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:
,
,
.
Решение.
Общее
решение простейшего ДУ
-го
порядка
находят, выполняя последовательно
интегрирований, и записывают в виде:
.
Общее
решение дифференциального уравнения
порядка
должно обязательно содержать
разных произвольных постоянных.
а) Данное уравнение дважды проинтегрируем.
После
первого интегрирования получим:
.
Интеграл вычислим (с точностью до
постоянного слагаемого) методом
интегрирования по частям. Получим:
.
Тогда
.
После
второго интегрирования получим:
.
Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:
;
;
.
Тогда
.
Ответ:
.
Общее
решение однородного линейного ДУ второго
порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
,
где
- фундаментальная система его частных
решений;
-произвольные постоянные.
Фундаментальная
система решений
строится на основе характера корней
характеристического уравнения
.
А именно:1)
если
- пара различных действительных корней
характеристического уравнения, то ФСР
имеет вид
;2) если
- пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
;3)
если
- пара комплексно-сопряжённых корней,
то ФСР имеет вид
.
Корни
характеристического уравнения
,
являющегося квадратным, находят на
множестве комплексных чисел по формулам:
1)
если
дискриминант уравнения
,
то
;
2)
если
дискриминант уравнения
,
то
.
б)
Сначала
найдём общее решение ДУ в виде:
,
где
- фундаментальная система его частных
решений.
Для
нахождения ФСР, составим характеристическое
уравнение
для данного дифференциального уравнения
и найдём его корни на множестве комплексных
чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два различных действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Тогда
общее решение данного ДУ запишется в
виде:.
Теперь
найдём частное решение данного ДУ,
удовлетворяющее начальным условиям:
,
.
Для этого сначала найдём производную
общего решения:
.
Затем подставим начальные данные в
выражения для общего решения и его
производной, получим систему линейных
алгебраических уравнений для определения
значений произвольных постоянных
и
:
.
Решив
систему, найдём:
,
.
Тогда частное решение данного ДУ
запишется в виде:
.
Ответ:
Общее
решение:
;
частное решение:
.
171-180. Требуется найти:
а)
общее решение
линейного ДУ 2-го порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью
специального вида:
;
б)
общее решение
ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами
и правой частью специального вида (с
точностью до неизвестных постоянных в
частном решении):
.
Общее
решение неоднородного ЛДУ 2-го порядка
имеет вид
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения,
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного уравнения.
Частное
решение
уравнения с правой частью специального
вида
ищетсяметодом
неопределённых коэффициентов
в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами.
Примерами полных многочленов с
неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
,
,….
Для нахождения коэффициентов многочленов
и
,
надо подставить решение
в неоднородное дифференциальное
уравнение и приравнять коэффициенты
при подобных членах в левой и правой
частях полученного равенства. В результате
получим систему уравнений, решив которую,
найдём значения коэффициентов.
Частное
решение
неоднородного ЛДУ с правой частью
равно сумме частных решений
неоднородных уравнений с той же левой
частью и правыми частями
(принцип
наложения решений).
Решение.
а)
Общее решение данного ДУ найдём в виде:
,
где
- фундаментальная система частных
решений соответствующего ему однородного
ДУ:
;
- какое-нибудь
частное решение данного неоднородного
дифференциального уравнения.
Сначала
найдём ФСР
соответствующего однородного ДУ
.
Для этого составим характеристическое
уравнение
для
данного однородного дифференциального
уравнения и найдём его корни на множестве
комплексных чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два одинаковых действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем
найдём частное решение
неоднородного уравнения
,имеющего
правую часть
специального вида
,
где
,
,
,
.
Частное решение найдём в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: 1) число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
;
2)
,
поэтому
,
,
где
- неизвестные постоянные, подлежащие
определению. Таким образом, частное
решение с неизвестными постоянными
запишется в виде:
.
Для
определения значений постоянных
и
,
найдём производные
и подставим выражения для
вместо
в неоднородное уравнение
.Учитывая,
что:
,
,
получим:
.
Приравняв,
в правой и левой части полученного
равенства, постоянные коэффициенты,
стоящие при одинаковых функциях, получим
систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных
и
:
.
Решив систему, найдём:
,
.
Частное решение
запишется тогда в виде:
.
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ:
.
б)
Общее решение данного ДУ найдём в виде:
,
где
- фундаментальная система частных
решений соответствующего ему однородного
ДУ:
;
-какое-нибудь
частное решение данного неоднородного
дифференциального уравнения.
Сначала
найдём ФСР
соответствующего однородного ДУ
.
Для этого составим характеристическое
уравнение
для данного однородного дифференциального
уравнения и найдём его корни на множестве
комплексных чисел. Так как дискриминант
,
то
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два комплексно-сопряжённых корня
,
где
,
.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем
найдём частное решение
неоднородного уравнения
с правой
частью
.В данном
случае функция
не является функцией специального вида
,
но представляет
собой сумму функций
и
,
каждая из которых уже имеет специальный
вид. Поэтому, используя принцип наложения
решений, частное решение
неоднородного ДУ с правой частью
найдём в виде суммы частных решений
неоднородных уравнений с той же левой
частью и правыми частями
.
Сначала
найдём частное решение
неоднородного уравнения
,имеющего
правую часть
специального вида
,
где
,
,
,
.
Частное решение
найдём тогда в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: 1) число
является корнем характеристического
уравнения кратности 1, поэтому
;
2)
,
поэтому
,
,
где
- некоторые постоянные. Таким образом,
частное решение
с неизвестными постоянными запишется
в виде:
.
.
Теперь
найдём частное решение
неоднородного уравнения
,имеющего
правую часть
специального вида
,
где
,
,
,
.
Частное решение
найдём тогда в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: 1) число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
;
2)
,
поэтому
,
,
где
- некоторые постоянные. Таким образом,
частное решение
с неизвестными постоянными запишется
в виде:
.
Общее
решение исходного уравнения запишется
тогда (с точностью до неизвестных
постоянных
в частном решении) в виде:
.
Ответ:
.
181-190. Найти общее решение разностного уравнения:
Общее
решение неоднородного разностного
уравнения 2-го порядка
имеет вид
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения
;
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного уравнения;
- фундаментальная система частных
решений (ФСР) однородного уравнения;
- произвольные постоянные.
Фундаментальная
система решений
строится на основе характера корней
характеристического уравнения
.
А именно:1)
если
- пара различных действительных корней
характеристического уравнения, то ФСР
имеет вид
;2) если
- пара одинаковых
действительных корней, то ФСР имеет вид
;3)
если
-пара
комплексно-сопряжённых корней, то ФСР
имеет вид
,
где
;
.
Частное
решение
разностного уравнения с правой частью
специального вида
ищется в виде
,
где
,
если число
,
для которого
и
,
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами.
Примерами полных многочленов с
неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
…..
Для нахождения коэффициентов многочленов
и
,
надо подставить решение
в неоднородное разностное уравнение и
приравнять коэффициенты при подобных
членах в левой и правой частях полученного
равенства. В результате получим систему
уравнений, решив которую, найдём значения
коэффициентов.
Решение.
а)
Общее решение данного разностного
уравнения найдём в виде:
,
где
- фундаментальная система частных
решений соответствующего ему однородного
разностного уравнения
;
- какое-нибудь
частное решение данного неоднородного
разностного уравнения.
Сначала
найдём ФСР
соответствующего однородного РУ
.
Для этого составим характеристическое
уравнение
для
данного однородного разностного
уравнения и найдём его корни на множестве
комплексных чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два различных действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Затем
найдём частное решение
неоднородного уравнения
,имеющего
правую часть
специального вида
,
где
,
,
,
.
Частное решение найдём в виде
,
где
,
если число
,
для которого
и
,
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: 1) число
,
для которого
и
,
является корнем характеристического
уравнения кратности 1 (это число совпадает
с корнем характеристического уравнения
кратности 1:
,
для которого
,
),
поэтому
;
2)
,
поэтому
,
,
где
- неизвестные постоянные, подлежащие
определению. Таким образом, частное
решение с неизвестными постоянными
запишется в виде:
.
Для
определения значения постоянной
,
найдём
и подставим выражения для
вместо
в неоднородное разностное уравнение
.Учитывая,
что:
,
,
получим:.
Приравняв,
в правой и левой части полученного
равенства, постоянные коэффициенты,
стоящие при одинаковых функциях, получим
уравнение относительно неизвестной
:
.
Решив уравнение, найдём:
.
Частное решение
запишется тогда в виде:
.
Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:
.
Ответ:.
111-115.
Для заданных функций спроса
и предложения
на некоторый товар, найти зависимость
равновесной цены
от времени
,
если в начальный момент времени
цена
.
Является ли равновесная цена устойчивой?
Равновесной
ценой на некоторый товар называют цену
для которой спрос и предложение на
данный товар равны, т.е.
.
Равновесная цена является устойчивой,
если существует
.
Решение.
1)
Найдём
зависимость
,
такую что
.
Для этого приравняем
и
.
Получим:
.
Таким
образом, равновесная цена
,
такая что
,
является частным решением дифференциального
уравнения
при начальном
условии
.
Полученное
дифференциальное уравнение является
ДУ первого порядка с разделяющимися
переменными, так как его можно записать,
с учётом того, что
,
в виде
.
Сначала найдём общее решение данного ДУ, как уравнения с разделяющимися переменными. Получим:
,
где
-произвольные
постоянные.
Теперь
найдём для данного ДУ частное решение,
удовлетворяющее начальному условию:
.
Для этого подставим начальные данные
в общее решение и получим уравнение для
определения
:
Решив
последнее уравнение, найдём:.
Тогда частное решение ДУ, удовлетворяющее
начальному условию:
,
запишется в виде:
.
Полученное решение и является равновесной
ценой, такой, что
.
2)
Выясним,
является ли равновесная цена устойчивой?
Для этого вычислим предел
.
Получим:
.
Так как выполняется условие
,
то равновесная цена является устойчивой.
Ответ:-устойчивая
равновесная цена, такая, что
.
116-120.
Для заданных функций спроса
и предложения
на некоторый товар, найти зависимость
равновесной цены
от времени
,
если в начальный момент времени
:
,
.
Является ли равновесная цена
устойчивой?
Решение.
1)
Найдём
зависимость
,
такую что
,
.
Для этого приравняем
и
.
Получим:
.
Таким
образом, равновесная цена
,
такая что
,
,
является частным решением дифференциального
уравнения
при начальных
условиях
,
.
Полученное дифференциальное уравнение является неоднородным линейным ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Сначала
найдём общее решение данного ДУ в виде:
,
где
- фундаментальная система частных
решений соответствующего ему однородного
ДУ:
;
-какое-нибудь
частное решение данного неоднородного
уравнения.
Для
нахождения ФСР
,
составим характеристическое уравнение
для данного однородного дифференциального
уравнения и найдём его корни на множестве
комплексных чисел. Так как дискриминант
,
то
,
,
т.е. характеристическое уравнение имеет
два различных действительных корня.
Следовательно, ФСР имеет вид
.
Частное
решение
неоднородного уравнения
,имеющего
правую часть
специального вида
(здесь
,
,
,
),
найдём в виде
,
где
,
если число
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами. В
данном случае: 1) число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
;
2)
,
поэтому
,
,
где
- неизвестные постоянные, подлежащие
определению. Таким образом, частное
решение с неизвестными постоянными
запишется в виде:
.
Для
определения значения постоянной
,
найдём производные
и подставим выражения для
вместо
в неоднородное уравнение
.Учитывая,
что:
,
,
получим:
.
Откуда
.
Частное
решение
запишется тогда в виде:
,
а общее решение исходного дифференциального
уравнения в виде:
.
Теперь
найдём частное решение данного ДУ,
удовлетворяющее начальным условиям:
,
.
Для этого сначала найдём производную
общего решения:
.
Затем подставим начальные данные в
выражения для общего решения и его
производной, получим систему линейных
алгебраических уравнений для определения
значений произвольных постоянных
и
:
.
Решив
систему, найдём:
,
.
Тогда частное решение данного ДУ,
удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
запишется в виде:
.
Полученное решение и является равновесной
ценой, такой, что
,
.
2)
Выясним,
является ли равновесная цена устойчивой?
Для этого вычислим предел
.
Получим:
.
Так как
,
то равновесная цена является устойчивой.
Ответ:
-
устойчивая равновесная цена, такая, что
,
.