![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
Выражение
вида
,
где
-
последовательность функций, определённых
на одном и том же множестве
,
называетсяфункциональным
рядом,
определённым
на
и обозначается
.
Функция
называется
-ой
частичной суммой
функционального
ряда.
Точка
,
в которой сходится числовой ряд
,
называетсяточкой
сходимости
функционального ряда. Множество
,
состоящее из всех точек сходимости
функционального ряда, называется егообластью
сходимости.
Область
сходимости
функционального ряда обычно уже, чем
область его определения
.
Ряд
называетсяабсолютно
сходящимся
на множестве
,
если при всех
сходится ряд
.
Всякий ряд, абсолютно сходящийся на
множестве
,
сходится на этом множестве. Область
абсолютной сходимости ряда обычно уже
его области сходимости
.
Функцию
,
определённую в области сходимости
функционального ряда такую, что при
любом фиксированном
,
называютсуммой
ряда и
пишут
.
При
остаток ряда представляет собой также
функцию
,
где
при
и при любом
.
Для
нахождения области сходимости ряда
применяют известные признаки сходимости
числовых рядов, считая
фиксированным.
В
частности, на основании признаков
Даламбера и Коши (радикального) можно
утверждать, что ряд сходится (и притом
абсолютно), если
и
,
соответственно, и расходится, если
.
В точках
,
в которых
,
сходимость ряда исследуют с помощью
других признаков (например, признаков
сравнения, интегрального признака Коши,
признака Лейбница) .
Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Степенным
рядом
называется функциональный ряд вида
,
где
-
действительные числа. Числа
называютсякоэффициентами
ряда.
Всякий
степенной ряд сходится в точке
.
Радиусом
сходимости
степенного ряда
называется число
такое, что при
ряд сходится (и притом абсолютно), а при
расходится. Интервал
при этом называетсяинтервалом
сходимости
ряда. На концах интервала сходимости,
т.е. в точках
,
ряд может как сходится, так и расходится.
Областью
сходимости степенного ряда является
интервал сходимости
,
к которому присоединяются точки
,
если в них ряд сходится. В частности,
радиус сходимости
может быть равен
,
тогда область сходимости ряда состоит
из одной точки
,
и
,
тогда областью сходимости ряда является
вся числовая прямая) .
Интервал
сходимости
определяют
обычно с помощью признаков Даламбера
или Коши (радикального), вычисляя пределы
или
и решая неравенство
.
Внутри
общего интервала сходимости
степенные ряды можно почленно складывать
и вычитать, полученные при этом ряды
имеют тот же интервал сходимости:
.
Внутри
интервала сходимости
степенной ряд можно почленно
дифференцировать и интегрировать,
полученные при этом ряды имеют тот же
интервал сходимости:
1)
;
2)
.
Степенной
ряд
называетсярядом
Тейлора
функции
в точке
.
При
ряд Тейлора называетсярядом
Маклорена:
.
Представление
функции
в виде
,
называется разложением
в ряд Тейлора. Равенство имеет место
тогда и только тогда, когда остаток ряда
при
для всех
из некоторой окрестности точки
,
входящей в интервал сходимости ряда.
Для оценки остатка ряда Тейлора часто
пользуются формулой
,
где
.
При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.