- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Уравнение вида , где- искомая функция, называетсядифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называетсяинтегралом уравнения.
Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называютнормальной.
Условия ,,…,, где,,,…,- заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называетсязадачей Коши.
Общим решением ДУ -го порядка называется решение, зависящее отпроизвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.
Частным решением ДУ -го порядка называется решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом.
Если для искомого частного решения уравнениязаданы начальные условия,,…,и известно общее решениеуравнения, то значенияпроизвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений
.
Уравнение вида называетсяпростейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде
.
Уравнение вида ,, не содержащее явно искомой функции, с помощью подстановки, где- новая неизвестная функция, приводится к уравнениюпорядка.
Функции ,,…,называютсялинейно зависимыми на , если существуют постоянные,,…,, не все равные нулю, такие, чтодля всех. Если равенство выполняется для всехтолько при условии, то данные функции называютсялинейно независимыми на .
Определитель называетсяопределителем Вронского (вронскианом).
Если функции ,,…,линейно зависимы на, то определитель Вронскогодля всех(необходимое условие линейной зависимости).
Если хотя бы в одной точке, то функции,,…,линейно независимы на(достаточное условие линейной независимости).
Уравнение вида называетсялинейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) -го порядка , где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнение называетсяоднородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид.
Любая система из линейно независимых частных решений,,…,однородного линейного уравнения называетсяфундаментальной системой его решений.
Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные .
Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентамистроится на основе характера корнейхарактеристического уравнения .
А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениедифференциального уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,;4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности, то ей в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,,,,.
Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Частное решение уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если числоне является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частьюравно сумме частных решенийнеоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями(принцип наложения решений).
Частное решение уравнения с любой правой частьюможет быть найденометодом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде, где неизвестные функции,определяются из системы уравнений:
.