![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
Объём
продукции
,
произведённой за отрезок времени
при производительности
,
равен
.
Издержки
производства
при известной функции издержек
и заданном изменении объёма
производства
равны
.
Тема 17. Несобственные интегралы.
17.1 Интегралы с бесконечными пределами.
Если
функция
интегрируема на отрезке
,
тонесобственным
интегралом первого рода
от функции
на промежутке
называется
и обозначается
,
т.е.
.
Аналогично:
.
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Несобственный
интегралопределяется
равенством:
,
где
-
произвольное число, причём интеграл в
левой части равенства сходится, если
сходятся оба интеграла в правой части.
17.2 Интегралы от неограниченных функций.
Если
функция
интегрируема при
и
,
тонесобственным
интегралом второго рода
от функции
на отрезке
называется
и обозначается
,
т.е.
.
Аналогично, в случае
и
:
.
Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Тема 18. Кратные интегралы.
Замкнутую
область
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
будем называтьэлементарной
в направлении оси
и обозначать
(рис.8).
Замкнутую
область
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
будем называтьэлементарной
в направлении оси
и обозначать
(рис.9).
Рис.8 Рис.9
Область, элементарная в направлении одной из осей, не обязана быть элементарной в направлении другой.
Выражение
называетсяповторным
интегралом
от
функции
по области
,
а выражение
называетсяповторным
интегралом
от функции
по области
.
В повторных интегралах сначала вычисляются внутренние интегралы, причём интегрирование производится по внутренней переменной, а внешняя переменная считается постоянной. В результате получится подынтегральная функция для внешнего интеграла, интегрируя которую получим число.
Имеет
место равенство
=
,
если
.
Если
не является множеством такого вида, то
при изменении порядка интегрирования,
её представляют в виде конечного
объединения непересекающихся (без общих
внутренних точек) областей
,
каждая из которых является элементарной
в направлении той или другой координатной
оси. Тогда в силу аддитивности повторный
интеграл по области
будет равен сумме повторных интегралов
по областям
.
Представление
области
в виде
,
часто существенно упрощается при
изображении области
на чертеже.
Двойным
интегралом
от непрерывной функции
по ограниченной замкнутой области
называется число
,
где
,
и суммирование ведётся по тем значениям
и
,
для которых
.
Двойной
интеграл по области
вычисляется по формуле
.
Двойной
интеграл по области
вычисляется по формуле
.
Если
не является множеством такого вида, то
её представляют в виде объединения
непересекающихся (без общих внутренних
точек) областей
,
каждая из которых является элементарной
в направлении той или другой оси.
Разбиение зависит от желаемого порядка
расстановки пределов интегрирования.
Тогда в силу аддитивности двойного
интеграла
.
При
переходе в двойном интеграле от
прямоугольных координат
к
полярным координатам
,
связанным с
прямоугольными координатами соотношениями
,
,имеет место
формула
,где
- область интегрирования в плоскости
переменных
и
.
Если
область
имеет вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
то двойной интеграл
,где
,вычисляется
по формуле
.
Если область интегрирования
не принадлежит к рассмотренному виду,
то её разбивают на части, каждая из
которых является областью данного вида.
Площадь
области
вычисляется по формуле
.
При переходе в двойном интеграле от
прямоугольных координат
к полярным координатам
,
имеет место формула
,где
- область интегрирования в плоскости
переменных
и
.
Среднее
значение непрерывной функции
в
области
вычисляется по формуле
.
Объём
υ
цилиндроида,
ограниченного сверху непрерывной
поверхностью
,
снизу плоскостью
и с боков прямой цилиндрической
поверхностью, вырезающей на плоскости
область
,
вычисляется по формулеυ
.
При переходе в двойном интеграле от
прямоугольных координат
к полярным координатам
,
имеет место формулаυ
,где
- область интегрирования в плоскости
переменных
и
.