![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Федеральное агентство по образованию
- •2. Содержание и структура дисциплины (часть 2).
- •2.1. Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел IV. Интегральные исчисления.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Тема 17. Несобственные интегралы.
- •Тема 18. Кратные интегралы.
- •Раздел V.Функциональные последовательности. Ряды.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •3. Рекомендуемая литература: Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •Раздел V. Функциональные последовательности и ряды.
- •Раздел VI. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта. Семестр 2.
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 15. Неопределённый интеграл.
- •1. . 2..
- •2) Метод подстановки.
- •Интегрирование основных классов элементарных функций.
- •1)Или ;
- •2) Или ;
- •3) Или
- •Тема 16. Определённый интеграл.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •Геометрические приложения определённого интеграла.
- •Приложения определенного интеграла к решению задач экономики.
- •Тема 19. Числовые ряды.
- •Тема 20. Функциональные последовательности и ряды.
- •Тема 21. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
- •Тема 23. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.
- •Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
- •Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
- •6.3 Основные математические формулы.
- •6.4 Образец оформления обложки с контрольной работой.
- •С о д е р ж а н и е
Тема 25. Системы дифференциальных уравнений.
Система
дифференциальных уравнений вида
,
где
-
искомые функции, называетсянормальной
системой
дифференциальных
уравнений.
Число
называется
порядком
системы.
Совокупность
функций
,
,…,
обращающих каждое уравнение системы в
тождество, называетсярешением
этой системы.
Условия
,
,…,
,
где
,
,
,…,
- заданные числа, называются
начальными
условиями.
Задача
нахождения решения нормальной системы
уравнений, удовлетворяющего заданным
начальным условиям, называется задачей
Коши.
Общим решением нормальной системы ДУ называется решение:
,
,…,
,
зависящее
от
произвольных постоянных
,
такое, из которого при надлежащем выборе
значений постоянных
можно получить решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям
,…,
.
Общее решение, заданное в неявном виде
,
называетсяобщим
интегралом
системы.
Частным
решением
системы
называется решение
,
,…,
,
получаемое из общего при конкретных
значениях постоянных
.
Если для искомого частного решения
системы заданы начальные условия
,…,
и известно общее решение
,,…,
системы,
то значения
произвольных постоянных определяются,
если это возможно, из системы уравнений
.
Нормальные
системы ДУ с небольшим числом уравнений
решают методом
исключения
неизвестных функций приводя их к одному
дифференциальному уравнению
-го
порядка или к нескольким уравнениям
порядка, меньшего чем
.
Для
нахождения решения, например, нормальной
системы двух уравнений
,
,
где
,
-
неизвестные функции независимой
переменной
поступают следующим образом. Сначала
дифференцируют по
первое из уравнений системы и получают
уравнение
.
Затем определяют
из первого уравнения системы и подставляют
найденное выражение
в уравнение
.
В результате получают ДУ второго порядка
относительно неизвестной функции
,
решая которое находят
,
где
и
-произвольные постоянные. Подставляя
в формулу
,
определяют функцию
.
Совокупность функций
,
даёт общее решение системы.
Тема 26. Обыкновенные разностные уравнения.
Если
неизвестная функция
и заданная функция
являются функциями одного целочисленного
аргумента
,
то уравнение вида
,
,
где
- постоянные коэффициенты, называетсялинейным
разностным уравнением
(ЛРУ)
го
порядка с постоянными коэффициентами.
Если
,
то уравнение называетсяоднородным.
Функция
,
,
обращающая разностное уравнение в
тождество, называется егорешением.
Условия
,
,…,
,
где
,
,…,
-
заданные числа, называются
начальными
условиями.
Общим
решением
РУ
-го
порядка называется решение
,
зависящее от
произвольных постоянных
,
такое, из которого при надлежащем выборе
значений постоянных
можно получить решение
,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям
,
,…,
.Частным
решением
называется
решение
,
получаемое из общего при конкретных
значениях постоянных
.
Общее
решение однородного ЛРУ
-го
порядка
ищется, аналогично общему решению
дифференциального уравнения
,
в виде
,
где
- фундаментальная система его решений;
- произвольные постоянные.
Фундаментальной
системой
решений
однородного
ЛРУ
-го
порядка
называется любая система из
линейно независимых частных решений
,
,…,
этого уравнения.
Фундаментальная
система решений
строится на основе характера корнейхарактеристического
уравнения
.
А именно:1)
если
- действительный простой корень
характеристического уравнения, то ему
в ФСР соответствует частное решение
разностного уравнения;2)
если
- действительный корень кратности
,
то ему в ФСР соответствует
линейно независимых частных решений:
,
,
,…,
;3)
если
- пара простых комплексно-сопряжённых
корней характеристического уравнения,
то ей в ФСР соответствует два линейно
независимых частных решения:
,
,
где
,
.
Общее
решение неоднородного линейного
разностного уравнения
имеет вид
,
где
- общее решение соответствующего
однородного разностного уравнения,
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного уравнения.
Как
и в случае дифференциальных уравнений,
частное решение
разностного уравнения с правой частью
специального вида
ищетсяметодом
неопределённых коэффициентов
в виде
,
где
,
если число
,
для которого
и
,
не является корнем характеристического
уравнения, и
равно кратности корня
в противном случае;
и
-
полные многочлены степени
с
неопределёнными коэффициентами.
Примерами полных многочленов с
неопределёнными коэффициентами степени
соответственно являются:
,
,
,
,….
Для нахождения коэффициентов многочленов
и
,
надо подставить решение
в неоднородное разностное уравнение и
приравнять коэффициенты при подобных
членах в левой и правой частях полученного
равенства. В результате получим систему
уравнений, решив которую, найдём значения
коэффициентов.
По
аналогии с нормальными системами
дифференциальных уравнений рассматриваются
также и нормальные системы разностных
уравнений вида
,
где
-
искомые функции,
- заданные функции целочисленного
аргумента
,
.
Число
называется
порядком
системы.
Совокупность
функций
,
,…,
обращающих каждое уравнение системы в
тождество, называетсярешением
этой системы.
Условия
,
,…,
,
где
,
,…,
- заданные числа, называются
начальными
условиями.
Общим
решением
системы РУ
-го
порядка называется решение:
,
,…,
,
зависящее
от
произвольных постоянных
,
такое, из которого при надлежащем выборе
значений постоянных
можно получить решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям
,
,…,
.
Частным
решением
системы
называется решение
,
,…,
,
получаемое из общего при конкретных
значениях постоянных
.