Тема 24. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнение вида , где- искомая функция, называетсядифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называетсярешением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называетсяинтегралом уравнения.

Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называютнормальной.

Условия ,,…,, где,,,…,- заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называетсязадачей Коши.

Общим решением ДУ -го порядка называется решение, зависящее отпроизвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,. Общее решение, заданное в неявном виде, называетсяобщим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ -го порядка называется решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных. Частное решение, заданное в неявном виде, называетсячастным интегралом.

Если для искомого частного решения уравнениязаданы начальные условия,,…,и известно общее решениеуравнения, то значенияпроизвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений

.

Уравнение вида называетсяпростейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде

.

Уравнение вида ,, не содержащее явно искомой функции, с помощью подстановки, где- новая неизвестная функция, приводится к уравнениюпорядка.

Функции ,,…,называютсялинейно зависимыми на , если существуют постоянные,,…,, не все равные нулю, такие, чтодля всех. Если равенство выполняется для всехтолько при условии, то данные функции называютсялинейно независимыми на .

Определитель называетсяопределителем Вронского (вронскианом).

Если функции ,,…,линейно зависимы на, то определитель Вронскогодля всех(необходимое условие линейной зависимости).

Если хотя бы в одной точке, то функции,,…,линейно независимы на(достаточное условие линейной независимости).

Уравнение вида называетсялинейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) -го порядка , где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если, то уравнение называетсяоднородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид.

Любая система из линейно независимых частных решений,,…,однородного линейного уравнения называетсяфундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные .

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентамистроится на основе характера корнейхарактеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениедифференциального уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,;4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности, то ей в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,,,,.

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если числоне является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частьюравно сумме частных решенийнеоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями(принцип наложения решений).

Частное решение уравнения с любой правой частьюможет быть найденометодом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде, где неизвестные функции,определяются из системы уравнений:

.