§ 1.5Степень подвижности пространственных и плоских механизмов

Кинематическая цепь и, следовательно, механизм, обладает определенным числом степеней свободы и степенью подвижности, зависящими от числа звеньев и кинематических пар.

Как указывалось в параграфе § 1.2, если на движение звена в пространстве не наложено никаких условий связи, то оно обладает шестью степенями свободы (подвижности). Если число звеньев кинематической цепи равно n, то общее число подвижностиW, которыми обладаютnзвеньев до их соединения в кинематические пары, равно6n.

W= 6n. (1.1)

Число пар I класса равно p₁, II класса равноp₂,IIIкласса - p₃, IV класса -p₄, V класса -p₅. После соединения кинематических пар в кинематические цепи исключается одна связь каждого класса. Поэтому число степеней подвижности пространственной кинематической цепи будет равна:

W=6n-(6-1)p₅-(6-2)p₄-(6-3)p₃-(6-4)p₂-(6-5)p₁.

После преобразования имеем:

W= 6n- 5p₅ - 4p₄ - 3p₃ - 2p₂ -p₁. (1.2)

Формула (1.2) - формула для определения степени подвижности пространственных механизмов. Была выведена русскими учеными: П.И. Сомовым в 1887 г., А.П. Малышевым в 1923 г.

Плоские кинематические цепи образованы кинематическими парами только V и IV классов. Поэтому формула (1.2) примет вид:

W= 6n- 5p₅ - 4p₄.

После преобразования имеем:

W= 3n- 2p₅ -p₄. (1.3)

Формула (1.3) - формула для определения степени подвижности плоских механизмов. Была выведена русским ученым П.Л. Чебышевым в 1870 г. Здесь:

• n- число подвижных звеньев;

• p₅- число низших кинематических пар;

• p₄- число высших кинематических пар.

Клиновые механизмы состоят из поступательных кинематических пар Vкласса. Степень подвижности таких механизмов рассчитывается по формуле В.В.Добровольского

W= 2n-p₅. (1.4)

В зависимости от числа W, стоящего в левой части уравнения, можно получать плоские механизмы, с одной, двумя, тремя и т. д. степенями свободы. Поэтому число степеней подвижности указывает на количество ведущих звеньев (кривошипов, двигателей).

При нулевой степени подвижности ни одно из звеньев кинематической цепи не может двигаться, и кинематическая цепь превращается в ферму. Для того, чтобы механизм двигался, нужно задаться движением хотя бы одного звена.

§ 1.6Принцип образования механизмов по л.В. Ассуру. Классификация структурных групп по л.В. Ассуру

Принцип образования механизмов впервые был сформулирован в 1914 г. русским ученым Л.В. Ассуром. Он заключается в присоединении к ведущему звену групп звеньев, обладающих нулевой степенью подвижности.

Рассмотрим на примере.

К ведущему звену (кривошипу 1) присоединим кинематическую цепь, состоящую из звеньев 2 и 3. Получим четырехзвенный механизм, обладающий одной степенью подвижности (рисунок 1.7). Далее к третьему звену присоединим звенья 4 и 5. Получим шестизвенный механизм, также обладающий одной степенью подвижности (рисунок 1.8). Известно, что степень подвижности Wуказывает на число ведущих звеньев (§ 1.5). Так как после присоединения групп звеньев числоWосталось неизменным, то кинематические цепи (2,3 и 4,5) обладают нулевой степенью подвижности по отношениям к звеньям 1 и 6.

А 2В А2В

1+ 3=1n₁3

О n₁ О С

С

44 4

Рисунок 1.7 - Образование четырехзвенного механизма

W= 3n- 2p₅ = 1(n= 3,p₅ = 4)

А2ВBAB

n₁14n₁

О+ + = D

СDOC

6 5

6 6 6

Рисунок 1.8 - Образование шестизвенного механизма

W= 3n- 2p₅ = 1 (n= 5,p₅ = 7)

Кинематическая цепь, обладающая нулевой степенью подвижности по отношению к присоединяемым звеньям и не распадающаяся на более простые кинематические цепи, называется структурной группой или группой Ассура.

Ведущее звено и стойка, образующие кинематическую пару Vкласса, называется условномеханизмом I класса. Степень подвижности механизма I класса равна 1 (рисунок 1.9).

1n₁

О

Рисунок 1.9 - W_Iкл = 3n- 2p₅ -p₄ = 1

(n=1,p₅=1,p₄=0)

Плоские кинематические цепи состоят из кинематических пар V класса. Поэтому степень подвижности структурных групп удовлетворяет условию:

W = 3n - 2p₅ = 0

или

p₅ = . (1.5)

Следовательно, число подвижных звеньев n, входящих в структурную группу, должно быть четным, а количество кинематических пар p₅ целым числом.

Согласно формуле (1.5) структурные группы классифицируют по классам, исходя из количества подвижных звеньев и кинематических пар (таблица 1.2).

Структурная группа, имеющая два подвижных звена и три низшие кинематические пары, называется структурной группой II класса.

Таблица 1.2 - Классы структурных групп

Параметр	II класс	III класс	IV класс	V класс	…
n	2	4	6	8	…
p5	3	6	9	12	…

Механизмы, в состав которых входят структурные группы не выше 2 класса, называются механизмами II класса.Следовательно:класс механизма определяется по наивысшему классу структурной группы.

На рассмотренном примере видно, что совокупность звеньев2-3-4-5хотя и обладает нулевой степенью подвижности, но не является группой Ассура, т.к. распадается на 2 кинематические цепи (звенья2-3и4-5), каждая из которых также обладает нулевой степенью подвижности. Следовательно, данный механизм образован присоединением к механизму I класса двух групп Ассура. Количество структурных групп не влияет на число степеней подвижности. Действительно:

W=W_1кл +W_гр1 +W_гр2 = 1 + 0 + 0 = 1

Механизмы могут быть образованы также и присоединением групп Ассура одновременно к нескольким механизмам 1 класса. В этих случаях степень подвижности получаемых механизмов будет равна числу механизмов I класса (см. § 1.5).

Структурные группы II класса делятся на 5 видов

1 вид (В-В-В) – структурная группа, имеющая два подвижных звена и три вращательные кинематические пары (рисунок 1.10, а).

Точка В – называется внутренним шарниром, т.к. в ней соединяются звенья, входящие в структурную группу.

Точки А и С – называются внешними шарнирами,т.к. в них происходит

В

23

А С

1 4

Рисунок 1.10, а

соединение звеньев либо с другой структурной группой, либо с опорой, либо с механизмом I класса.

Остальные виды получаются путем замены внешних или внутреннего шарниров, т.е. вращательных кинематических пар на поступательные.

2 вид - один внешний шарнир заменен поступательной кинематической парой (В-В-П или П-В-В).

3 вид - один внутренний шарнир заменен поступательной кинематической парой (В-П-В).

4 вид – два внешних шарнира заменены поступательными парами (П-В-П).

5 вид - один внешний и внутренний шарниры заменены поступательными парами (П-П-В или В-П-П).

А 2

1

В

3 4

Рисунок 1.10, б (В-В-П или П-В-В)

3

1 2

А

Рисунок 1.10, в (В-П-В)

4 1

3

4 A

2

Рисунок 1.10, г (П-В-П)

4

3

1 А

2

Рисунок 1.10, д (П-П-В или В-П-П)

Структурная формуластруктурной группызаписывается в квадратных скобках дробью. В числителе записываются номера звеньев, входящих в структурную группу. В знаменателе записываются наименование кинематических пар, начиная с внешнего шарнира. Перед скобками ставится класс группы Ассура, после скобок – вид структурной группы.

Пример выполнения структурной формулы

структурной группы II класса, 2 вида

(1.6)