4.2.8.3 Кинематика планетарных редукторов

Передаточное отношение любого зубчатого механизма рассчитывается по формуле (4.15):

U₁₂ =ω₁/ω₂ =r₂/r₁ =z₂/z₁.

Определим передаточное отношение планетарного редуктора (рисунок 4.40, а). Скорость точки О₂одинакова для колеса и водила:

V_H =V_O2 =ω₂r₂ = -ω_H (r₃-r₂).

Рисунок 4.40. - К определению передаточного отношения

планетарного редуктора

Так как 3-е колесо неподвижно (опорное), то передаточное отношение от 1-го колеса к водилу будет вычисляться по формуле:

U_1Н =ω₁/ω_Н = (r₁-r₃)/r₁ = 1-r₃/r₁ = 1-U₁₃.

Или U³_1Н = 1 -U^Н₁₃. (4.49)

Переставив слагаемые, получим:

U³_1Н + U^Н₁₃ = 1.(4.50)

Формула (4.50) гласит: сумма передаточных отношений в планетарном механизме при любых останавливаемых звеньях всегда равна 1.

В формуле (4.50) верхний индекс указывает индекс неподвижного звена. ТогдаU³_1Н - передаточное отношение 1-го колеса к водилу Н при неподвижном колесе 3;U^Н₁₃ - передаточное отношение 1-го колеса к 3-му при неподвижном водиле Н.

Определим передаточное отношение через числа зубьев. Для планетарного редуктора (рисунок 4.39, а) по формуле (4.50) имеем

(4.51)

Для дифференциального редуктора (рис. 4.39, б)

(4.52)

Определим передаточное отношение дифференциального редуктора через угловые скорости (рисунок 4.39, б).

Пусть звенья, входящие в кинематические пары со стойкой, движутся с угловыми скоростями ω₁, ω₃и ω_Н. Сообщим всем звеньям механизма дополнительное вращение вокруг оси О_Нс угловой скоростью «-ω_Н», равной по величине и противоположной по направлению. Тогда звенья механизма будут иметь скорости:

ω₁^Н = ω₁ - ω_Н

ω₃^Н = ω₃ - ω_Н(4.53)

ω_Н^Н = ω_Н - ω_Н = 0.

Передаточное отношение от 1-го звена ко 2-му рассчитывается по формуле:

U^Н₁₃= ω₁^Н/ ω₃^Н. (4.54)

Подставляя выражения (4.53) в формулу (4.54), имеем:

U^Н₁₃ =

Эту формулу можно обобщить для дифференциального механизма с любым числом колес до n:

U^Н_1n=(4.55)

Выражение (4.55) носит название формулы Виллисадля определения передаточного отношения дифференциального редуктора. Угловая скорость ω₂не входит в эту формулу, т.к. колесо 2 является паразитным.

Механизмы дифференциалов широко применяются в автомобилях, счетных машинах, сельскохозяйственных машинах и т.д. Широкое распространение получили конические планетарные механизмы.

а- схема конического автомобильного дифференциала;

б- положение колес автомобиля при повороте.

Рисунок 4.41

На рисунке 4.41, апоказан конический дифференциал, применяемый в автомобилях. При повороте ведущих колес автомобиля (рисунок 4.41,б) колесо1, катящееся во внешней кривой α-α, должно пройти больший путь, чем колесо2, катящееся по внутренней кривой β-β. Следовательно, скорость колеса1оказывается больше, чем колеса2. Чтобы воспроизвести это движение колес с различными угловыми скоростями, и применяется дифференциал.

Коническое зубчатое колесо 1(рисунок 4.41) получает вращение от двигателя. Это зубчатое колесо входит в зацепление с коническим зубчатым колесом2, вращающимся свободно на полуосиА. С колесом2 скреплена коробкаН, служащая водилом. В коробкеНсвободно на своих осях вращаются два одинаковых сателлита3. Сателлиты3находятся в зацеплении с двумя одинаковыми зубчатыми колесами4и5, скрепленными с полуосямиАиВ. Если колеса автомобиля двигаются по прямым, то можно считать, что моменты сил сопротивления на осяхАиВравны и, следовательно, сателлиты3находятся относительно их собственных осей вращения в равновесии, и они не поворачиваются вокруг своих осей. Тогда коробкаНвместе с сателлитами3и полуосиАиВвращаются как одно целое в одну и ту же сторону с одинаковой угловой скоростью. Как только колеса автомобиля начнут двигаться по кривым различных радиусовR₁иR₂(рисунок 4.41,б) сателлиты3начнут поворачиваться вкруг своих осей, и весь механизм будет работать как дифференциальный механизм.

Рассмотрим кинематику дифференциала. Передаточное отношение согласно формуле (4.55) будет иметь вид:

U^Н₄₅=, (4.56)

где n₄иn₅– числа оборотов в минуту коле 4 и 5;n_H– число оборотов коробки Н (водила). Колесо 4 входит в зацепление с паразитными колесами 3 (сателлитами), которые в свою очередь сцепляются с колесом 5, одинаковым с колесом 4.

U^Н₄₅=. (4.57)

Знак минус поставлен потому, что колеса 4 и 5 вращаются в разные стороны. Тогда окончательно имеем

U^Н₄₅=. (4.58)

Разновидностей планетарных редукторов очень много. В нашу задачу не входит рассмотрение их структуры. Мы же должны сделать упор на синтезе (проектировании) зубчатых механизмов с подвижными осями.