Сборник 70 студ конференции БГТУ

431

ее громоздкости, можно считать на данный момент одним из наиболее тщательно проверенных и надежно установленных математических результатов.

Итак, способны ли сегодняшние системы доказательств конкурировать, скажем, с математиками, делающими это без применения компьютеров? При всей неоднозначности такой постановки вопроса считается, что машинные системы доказательств пока заметно отстают от профессиональных ученых. При этом программы неустанно совершенствуются. Вместе с тем имеются области, где пруверы вне конкуренции – например, в SoftwareEngineering для проверки корректности программ или непротиворечивости требований к ПО. Поэтому хотя невозможно предположить, превзойдут ли машинные системы доказательства человека, в настоящее время они уже нашли свои сферы применения, и в дальнейшем они будут все больше совершенствоваться.

Работа выполнена под руководством доц. каф. «Высшая математика»Белоусова А. Г.

П.А. Земляков ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В

РАЗЛИЧНЫХ СФЕРАХ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Дифференциальное уравнение (ДУ) - уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков этой функции.

Применение ДУ в экономике:

1.Предельный анализ - раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике. Предельный показатель функции - это ее производная или частные производные. В экономике часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. В подобных задачах требуется найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления.

2.Исследование функций. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, и т. д. Каждый показатель есть функция от одного или нескольких аргументов. Значит, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции, т.е. если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0.

3.Модели экономической динамики. ДУ широко используются в моделях экономической динамики, в которых исследуются не только зависимость переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Примерами являются модель Эванса - установления уравновешенной цены на рынке одного товара; а также динамическая модель экономического роста, известная под названием «базовая модель Солоу».Модель Эванса

432

рассматривает рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) – спрос, предложение и ценатовара соответственно на момент времени t. Допустим, что спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть d(p)=a-bp, a,b>0 – спрос с возрастанием цены падает, а s(p)=α+βp,α,β>0 – предложение с возрастанием цены возрастает. Природным является соотношение а>α, то есть при нулевой цене спрос превышает предложение.

Применение ДУ в биологии:

1.Модель Лотки-Вольтерры является первой содержательной математической моделью, описывающей популяцию, состоящую из двух взаимодействующих видов. Первый из них (хищники) при отсутствии второго вымирает по закону:xy' ax (а > 0), а второй (жертвы) при отсутствии хищников неограниченно размножается по закону Мальтуса. Система уравнений, описывающая такую популяцию хищник-

жертва,естьмодель Лотки — Вольтерры: xy' ax cxy, yy' by dxy.

2.Модель Холлинга-Тэннера. Главным недостатком модели ЛоткиВольтерры является отсутствие многих возмущающих факторов. Этого недостатка лишена модель Холлинга — Тэннера, учитывающая большее число реальных факторов. В этой модели скорость изменения популяции хищников задается выражением ax – bx2/y = x(a – bx/y). С уменьшением числа жертв скорость роста популяции хищников падает и при y<bx/a становится отрицательной. Скорость изменения популяции жертв состоит из трех компонентов. Первый член cy соответствует закону Мальтуса, второй – dy2 описывает внутривидовую конкуренцию. При отсутствии хищников жертвы подчиняются уравнению yy' y c dy .Третий компонент скорости

изменения популяции жертв описывает ее взаимодействие с хищниками и имеет вид –pxy/(q + y) (p, q> 0). В результате получается следующая система

Применение ДУ в медицине:

1.Модель Хилла. Одна из наиболее ранних феноменологических моделей мышечного сокращения принадлежит Хиллу. Он заметил, что скелетная мышца сокращается под постоянной нагрузкой, а связь между постоянной

модель мышечного волокна, состоящую из контрактильного элемента, соединенного с упругим элементом. Ученый сделал предположение, что упругий элемент линеен. Силуp = P(x) упругого элемента представляют в

виде P x x0 , где х0 – заданная длина покоя, x – длина упругого

434

бесконечно много событий из совокупности {Ak}. Событие Ur определено только в бесконечном пространстве элементарных событий, и его вероятность есть предел вероятности P{Un,r} того, что в результате nиспытаний среди событий {Ak} произошло более r событий. Наконец, P{U∞}=limP{Ur}; этот предел существует, так как P{Ur} убывает при возрастании r.

Лемма 1. Если ряд сходится, то с вероятностью единица произойдет только конечное число событий Аk. Точнее, утверждается, что P{Ur} <εдля достаточно большихr, или: для любого ε > 0 существуетцелое число r, такое, что вероятность осуществления при n испытаниях одного или более событий Ar+1, Ar+2,… меньше ε для всех n.

Удовлетворительное обращение этой леммы известно только в частном случае взаимно независимыхAk. Такое положение возникает, когда испытания разбиты на неперекрывающиеся группы и Ak зависит только от испытаний k-й группы (например, Ak может быть событием, состоящим в том, что в k-й тысяче испытаний произошло более 600 успехов).

Лемма 2.Если события Аkвзаимно независимы и ряд расходится, то с вероятностью единица осуществится бесконечно много событий Аk.

Иначе говоря, для любого r вероятность того, что в n испытаниях произойдет более чем r событий Аk, стремится к 1 при n→∞.

Примеры.а) Чему равна вероятность того, что в последовательности испытаний Бернулли комбинация УНУ появится бесконечное число раз? Пусть Аk — событие, состоящее в том, что в результате k-го, k+1-го и (k+2)-го испытаний получилась комбинация УНУ. События Аk не являются взаимно независимыми, но последовательность A1, A4, A7,A10,… содержит только взаимно независимые события (поскольку никакие два из них не зависят от исхода одного и того же испытания). Так как ak=p2qне зависит от k, ряд a1+a4+a7+… расходится, и поэтому с вероятностью единица комбинация УНУ осуществляется бесконечное число раз. Аналогичные рассуждения, очевидно, применимы для произвольной комбинации любой длины.

б) Книги, написанные путем бросания монеты. Рассмотрим,

например, фразу «вероятность – это забавная штука», записанную в азбуке Морзе в виде конечной последовательности точек и тире. Если мы вместо точки напишем Г и вместо тире — Р, то эта фраза примет вид конечной последовательности из гербов и решек. Из предыдущего примера следует, что при длительном бросании монеты рано или поздно наверняка получится заданная фраза и это повторится бесконечное число раз. Кстати, в записи результатов длительных бросаний монеты должна содержаться закодированная в азбуке Морзе любая мыслимая книга от «Гамлета» до восьмизначных логарифмических таблиц. Предлагалось научить большую группу обезьян наугад колотить по клавишам пишущих машинок, надеясь, в конце концов, получить великие литературные произведения. Используя для этой цели монету, можно не тратиться на обучение и корм и предоставить обезьянам заниматься своими обезьяньими делами.

435

Работа выполнена под руководством доц. каф «Высшая математика» Ольшевской Н.А.

В. В. Коваленко МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ СТАНКОВ

БРИГАДОЙ НАЛАДЧИКОВ

Объект исследования: станочный участок из n станков, обслуживаемый бригадой из r наладчиков.

Результаты, полученные лично автором: построена имитационная модель функционирования замкнутой системы массового обслуживания, проведена оценка двух вариантов организации работы бригады наладчиков.

Бригада из r наладчиков обслуживает n однотипных станков. Каждый из этих станков в случайные моменты времени может потребовать некоторого ремонта. Станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятность поломки станка за промежуток времени (t; t+τ) равна λτ+о(τ). Вероятность того, что за время (t; t+τ) будет устранена неисправность станка равна μτ+о(τ). Каждый наладчик одновременно может восстанавливать только один станок. Каждый станок восстанавливается только одним наладчиком. Требуется найти вероятность того, что в установившемся процессе обслуживания в данный момент будет простаивать заданное количество станков.

Для решения задачи была построена имитационная модель на языке GPSS. Программу работы системы массового обслуживания (СМО) можно представить в виде трех сегментов.

В первом сегменте указывается вместимость СМО – количество наладчиков. Это можно выполнить с помощью оператора STORAGE (накопитель). Здесь же описывается таблица распределения текущей длины очереди. Она предназначена для определения вероятности того, что в тот или иной момент простаивает заданное количество станков.

Во втором сегменте моделируется поток отказов станков и его обслуживание. Блок GENERATE используется для формирования числа обслуживаемых станков. Все его операнды остаются пустыми за исключением четвертого, который указывает число станков, обслуживающихся наладчиками. По условию задачи поток отказов простейший со средним интервалом 1/λ единиц времени. Это можно представить с помощью оператора ADVANCE, имеющего вид

<метка> ADVANCE (Exponential(1,0, 1/λ)).

Сбор статистической информации для многоканальной системы обслуживания (r наладчиков) можно обеспечить с помощью операторов ENTER и LEAVE. Поскольку СМО многоканальная, то необходимо использовать оператор TRANSFER для обеспечения возможности направления отказа к незанятому наладчику. После определения свободного наладчика отказавший станок направляется на обслуживание, которое снова моделируется с помощью оператора ADVANCE.

436

Станки после ремонта снова возвращаются в системе, для чего применяется оператор TRANSFER с безусловным переходом. Возвращение станков в систему продолжается до тех пор, пока время моделирования не превысит время моделирования системы. Определение времени моделирования системы выполняется в третьем сегменте модели, называемом сегментом таймера.

Проиллюстрируем работу модели на простом примере. Пусть обслуживание 8 станков поручено двум наладчикам. Как рациональнее организовать работу: поручить ли все станки бригаде из двух наладчиков или же каждому из наладчиков поручить по четыре определенных станка? Расчеты производились в предположении ρ=λ/μ=0,2. Были приняты обозначения: k – число неисправных станков, pk – вероятность того, что неисправны k станков.

Случай n=8, r=2.

Среднее число станков, простаивающих по той причине, что наладчики заняты ремонтом других станков, равно 0,38. Среднее время простоя станков из-за ремонта и ожидания начала обслуживания равно 1,32. Средняя длительность свободного времени наладчиков равна 0,73. Иными словами каждый наладчик свободен от работы в течение 0,365 доли рабочего дня.

Случай n=4, r=1.

Среднее время непроизводительных простоев станков (ожидание начала ремонта) равно 0,38. Вся группа из восьми станков потеряет при второй системе организации работы 0,76 рабочих дня, т.е. потери времени на ожидание ремонта возрастут в два раза (в первой системе она равна 0,38 рабочих дня). Общая потеря времени 4 станками на ожидание и ремонт составит 0,98. Все 8 станков теряют, таким образом, 1,96 рабочих дня против 1, 32 при первой системе организации работы. Несмотря на то, что станки простаивают при второй системе организации труда больше, наладчик в среднем свободен от работы больше, а именно 0,40 доли рабочего времени (было 0, 365 доли рабочего времени).

Пример показывает, что разработанная модель позволяет проводить полезные предварительные многовариантные расчеты и выбирать наиболее рациональные формы организации работы замкнутых систем массового обслуживания.

Работа выполнена под руководством доц. каф. «Высшая математика» А.П. Мысютина

437

Ю.Н. Корягина О НЕКОТРЫХМЕТОДАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНЫХ

СИСТЕМ

Объект исследования:социальные системы.

Моделирование социальных систем в современной науке активно использует так называемое общенаучное знание. Помимо математических методов, оно немыслимо без теории систем, кибернетики, синергетики.

Теория систем – область науки, рассматривающая поведение и взаимодействие различных систем в природе, обществе, человеческой деятельности, технике и т.д. Основной целью теории является обнаружение основных принципов функционирования систем, необходимых для описания любой группы взаимодействующих объектов, во всех областях исследований.

Кибернетика – наука об управлении и саморегуляции в сложных системах. Саморегуляция означает свойство системы сохранять внутреннюю стабильность благодаря скоординированным реакциям элементов системы, компенсирующим влияние изменяющихся условий окружающей среды, а также активность, направленную на достижение системой цели с корректировкой системой своих действий в ходе деятельности. Кроме того, важно, что кроме традиционной прямой связи «входы-выходы» в изучаемых кибернетикой системах предполагается наличие обратной связи, связи «выходы-входы», означающей, что результаты процесса влияют на его протекание, а результаты управляемого процесса – на управляющую систему.

Синергетика – наука о самоорганизации в сложных системах. По Г.Хакену, самоорганизация – «спонтанное образование высокоупорядоченных структур из зародышей или даже из хаоса, спонтанный переход от неупорядоченного состояния к упорядоченному за счет совместного, кооперативного (синхронного) действия многих подсистем».

При моделировании используется следующий математический аппарат. Дифференциальные уравнения. Модели динамики отдельных объектов часто основываются на дифференциальных уравнениях. Соответственно модель динамики системы из n объектов, каждый из которых описывается некоторым показателем, будет представлена системой n дифференциальных

уравнений.

Теория графов. Элементы системы могут быть представлены как вершины графа, а связи – как рёбра либо дуги. В простейшем случае рассматриваются неориентированные графы в случае симметричных связей и ориентированные при наличии несимметричных связей (например, отношение «коллеги» – симметричное, «начальник-подчинённый» – несимметричное). Если нас интересует не только факт наличия/отсутствия связей, но и некоторые их характеристики, выражаемые количественно, используются взвешенные графы. При этом иногда характеристики

438

естественным образом выражаются количественно (например, если объекты

– города, рёбра могут быть помечены расстояниями между соответствующими городами). В других случаях количественное выражение несколько «надуманное» и используется главным образом для программной обработки графов с помощью алгоритмов, ориентированных на взвешенные графы.

Теория принятия решений. В современной теории принятия решений существуют алгоритмы, позволяющие не только решать многокритериальные задачи, но и учитывать мнения нескольких субъектов. Таким образом, можно моделировать процесс коллегиального принятия решений.

Теория вероятностей. Используется, поскольку процессы в системах могут быть недетерминированными. Кроме того, методы теории вероятностей применяются там, где требуется учесть влияние внешней среды, для которой можно оценить вероятности её различных состояний.

Математическая статистика. Позволяет получать информацию об особенностях системы с недетерминированными процессами и прогнозировать её состояния на основе результатов экспериментов и иной информации о поведении системы и процессов в системе.

Также используются и другие разделы математики, например, теория множеств, комбинаторика.Кроме того, всё более важную роль играет имитационное моделирование. Существуют следующие подходы к имитационному моделированию.

Системная динамика – это подход к пониманию поведения сложных систем в течение времени. С математической точки зрения модель системной динамики обычно описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, то есть уравнений, связывающих параметры и их производные по времени. Системная динамика главным образом используется в долгосрочных, стратегических моделях и принимает высокий уровень абстракции. С помощью моделей системной динамики можно построить модели бизнес-процессов, развития городов, производства, динамики численности населения.

Дискретно-событийное моделирование – функционирование системы представляется как последовательность событий. Событие происходит в определенный момент времени и означает изменения состояния системы. Данный подход лучше всего подходит для ситуаций, где динамика система представляется как последовательность операций. Он предполагает более высокий уровень детализации, нежели системная динамика.

Агентное моделирование – достаточно новый подход к имитационному моделированию, которое используется для исследования децентрализованных систем, функционирование которых определяется не глобальными правилами и законами, а наоборот, когда эти правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы.Важное достоинство агентного моделирования – возможность разработки модели даже в отсутствии априорной информации о глобальных зависимостях. Зная

439

индивидуальную логику поведения участников процесса, можно построить агентную модель и спрогнозировать её поведение.

Работа выполнена под руководством доц. каф. «Высшая математика»Белоусова А. Г.

Н.О. Кузнецов ТЕОРЕМЫ ПАППА-ГЮЛЬДЕНА

Теоремы Паппа — Гюльдена дают возможность безвсякогоинтегрированиянаходить поверхность или объемтела вращения, если известно положение центра тяжестивращающейся фигуры. Если же, наоборот, заранее известенобъем или поверхность тела вращения, то с помощью теорем Паппа — Гюльдена можно найти положение центратяжести вращающейся фигуры.

Теорема.Объем тела, получившегося от вращенияплоской фигуры D вокруг оси, ее не пересекающей, но идущей в одной плоскости с D, равен произведению площади D на длину окружности, описанной при вращении центром тяжести фигуры D.

Обобщенная теорема Паппа — Гюльдена.Если тело R образовано движением плоской области S остающейся все время перпендикулярной к траектории r своего центра тяжестиC, то объем тела V равен произведению площади S двигающейся фигуры на длину L траектории центра тяжести:

.

Обобщенная теорема Паппа — Гюльдена может быть использована для нахождения объемов витых тел(пружин или винтов).

Например, найдем объем винта,размеры которого показаны на рисунке.Резьба делает науказанном участке винта полных n оборотов,сечение резьбы заштриховано.

Найдем, прежде всего, объем резьбы

.

Значениенаходим по правилам

нахождения центра тяжести

.

Теперь имеем объем резьбы:

.

К этому объему надо еще добавить объем цилиндра . Итого получим объем винта

.

440

Аналогично можно найти объем пружины, состоящей изnвитков шага b, имеющей нормальным сечением круг радиуса r. Радиуспружиныа.

Длина одного витка средней линии пружины равна, поэтому

Мы пришли к формуле: ,

носящей название формулы П.П. Кускова.

Работа выполнена под руководством доц. каф «Высшая математика» Г.Г. Цуленевой

В.О. Кузьменко

МЕТОД СЕТОК ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Объект исследования: метод сеток для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные лично автором: получены и сопоставлены результаты решения различных краевых задач аналитическим методом и методом сеток.

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В

производная от искомой функции, n - порядок уравнения. Общее решение