Сборник 70 студ конференции БГТУ

421

Найдем t из соотношения Φ (t) = γ/2 = 0,95/2 = 0,475; οо таблице функции Лапласа находим t = 1,96.Подставив n = 80, w = 0,2, t = 1,96 в формулы, получим соответственно p1 = 0,128, p2 = 0,299.Итак, искомый доверительный интервал 0,128 < р < 0,299.

Работа выполнена под руководством доц. каф «Высшая математика» М.Г. Башмаковой

Горбачев Д.С., Д.Ю. Титов ЛИНЕЙНЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Объект исследования: линейные диофантовы уравнения.

Результаты, полученные лично авторами: рассмотрены методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными, получено решение уравнения 2x 7y 20.

Диофантово уравнение – это уравнение вида P x1, ,xm 0, где P −

целочисленная функция, а переменные xi принимают целые значения.

В общем случае диофантовы уравнения достаточно сложно решить, и для их решения существует множество методов. Классическим примером

диофантова уравнения служит уравнение вида xn yn zn. При n 2 решениями этого уравнения являются пифагоровы тройки. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение не имеет положительных целых решений при n 2.

Цель данной работы – рассмотреть методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

Общий вид линейного диофантова уравнения: a1x1 a2x2 ak xk d,

a1,a2, ,am,d − целые числа.

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид ax by c, a,b,c − целые числа. 1

Из рассмотрения исключим случай a b 0, когда уравнение 1 имеет

Случай 2. Пусть c 0. Справедлива следующая теорема.

423

Эту последовательность частичных произведений {Рn} мы всегда будем сопоставлять символу (2).

Конечный или бесконечный предел Р частичного произведения Рn при

lim Рn — Р,

называют значением произведения (2) и пишут:

Если бесконечное произведение имеет конечное значение Р и притом отличное от нуля, то само произведение называется сходящимся, в противном же случае —расходящимся. Достаточно одному из сомножителей быть равно нулю, чтобы и значение всего произведения также было равно

нулю.

Рассмотрение бесконечного произведения также есть лишь своеобразная форма изучения последовательности и ее предела.

Простейшие теоремы. Связь с рядами. Отбросив в бесконечном

произведении (2) первые m членов, получим остаточное произведение

которое вполне аналогично остатку бесконечного ряда.

1°. Если сходится произведение (2), то сходится, при любом m, и произведение (4); обратно, из сходимости произведения (4) вытекает сходимость исходного произведения (2)*).

Таким образом, и в случае бесконечного произведения отбрасывание конечного числа начальных множителей или присоединение вначале нескольких новых множителей (отличных от 0) на его поведении не отражается.

2°. Если бесконечное произведение (2) сходится, то

4°. Для того чтобы бесконечное произведение (2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

5°. Если, по крайней мере, для достаточно больших n будет an>0 (или аn<0),

то для сходимости произведения

424

необходима и достаточна сходимость ряда

6°. Для того чтобы бесконечное произведение (2) [или (2*)] имело нулевое значение, необходимо и достаточно, чтобы ряд (5) [или (б*)] имел суммой —

Вчастности, это будет так, если аn<^0 и ряд (6) расходится.

Взаключение используем связь между произведением (2) [или (2*)] и рядом (б) [или (б*)] для установления понятия абсолютной сходимости бесконечного произведения. Произведение называют абсолютно сходящимся именно в том случае, когда абсолютно сходится соответствующий ряд из логарифмов его множителей. Исследования позволили заключить, что абсолютно сходящиеся произведения обладают переместительным свойством, в то время как неабсолютно сходящиеся заведомо им не обладают.

7°. Для абсолютной сходимости произведения (2*) необходима и достаточна абсолютная же сходимость ряда (6).

ст. преп., Лозинская Н.В.

Е.А. Ермоленко МОДЕЛИРОВАНИЯ В БИЗНЕСЕ

Методы линейного программирования применяются при моделировании в бизнесе. В качестве примера рассматривается следующая задача, ниже приводится условие.

Условие задачи: Один из заводов легкой промышленности производит порошок для изготовления солодовых напитков трех видов. Один из них продается в качестве напитка здоровья, поскольку имеет низкое содержание сахара; другой напиток поставляется в медицинские учреждения в качестве продукции для больных, поскольку он содержит витаминные добавки; наконец, третий является стандартным товаром. В приведенной ниже таблице для каждого напитка указаны основные ингредиенты, их стоимость и размер недельного запаса, а также оценки максимального спроса на соответствующие товары за неделю.

425

Запас витаминных добавок неограничен. Издержки производства остальных переменных имеют следующие значения: 10 пенсов за 1 кг стандартного напитка, 9 пенсов за 1 кг напитка здоровья и 12 пенсов за 1 кг налитка для больных.

Определить:

1.оптимальный ассортиментный набор;

2.максимальное значение дохода за неделю Решение:

Модель линейного программирования:

хj= количество единиц продукции j-го вида, j=1,2,3. Математическая модель задачи на отыскание оптимального ассортиментного набора.

Z =(x1 - (0.06x1+0.18x1+0.175x1)) + (1.2x2-(0.06x1+0.18x1+0.175x1)) + (1.5x3- (0.06x1+0.18x1+0.175x1)) = -0,245x1 +1.12x2 +1.5x3 -> max

Система ограничений:

В результате решения данной задачи, с помощью симплекс-метода, получились следующие результаты:

1.Оптимальным ассортиментным набором является: А) Стандартный напиток (х1) - 1466,67 кг Б) "Здоровье"(х2) — 1800 кг => В) Диетический напиток (х3) - 1200 кг

2.Максимальное значение дохода за неделю = 3144,33ф.ст.

Работа выполнена под руководством доц. Л.А. Гусаковой

426

Н. С.Журавлева, В. Е.Косова РОЛЬ ЗАДАЧ ПРОФЕССИИОНАЛЬНО НАПРАВЛЕННОГО

ХАРАКТЕРА ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Объект исследования:процесс обучения математике студентов техническихспециальностей

Результаты, поученные лично автором: проведено тестирование студентов технических специальностей, в ходе которого выявлена тенденция к повышению мотивации изучения математики при систематическом и целенаправленном использовании профессионально-

подготовка по естественнонаучным дисциплинам, включающая в качестве непременногокомпонентаматематическуюподготовку.

профессиональной деятельности математику, высокие требования к знаниям, умениям и навыкам как математического, так и прикладного характера. Начиная с 60-хгодов, параллельно идее политехнизации обучения обозначился процесс, связанный с рождением так называемой «прикладной направленности» в преподавании математики.

Теоретическая математическая подготовка не означает, что знанияявляются активным запасом студентов. Следует добиваться того, чтобыстуденты были

усваивается математическая теория, развивается мыслительная деятельность, формируется личность обучаемого.

Однако до сих пор курс математики в большей своей части изолирован от техническихдисциплин. Эта изоляция настолько глубока, что студенты невидят в реальной ситуации известные им математические объекты,следовательно, не в состоянии пользоваться математическим аппаратом дляописания этой ситуации. На практических занятиях задачи прикладногохарактера решаются редко, в

427

связи, с чем навыки выпускников в решениитаких задач оказываются не

математической подготовки будущего инженера является отбор и изучение профессионально-ориентированных задач. Такое обучение может быть успешным при условиицелостного подхода в организации этого процесса. Необходимо на всех этапах учебного взаимодействия через профессиональноориентированныезадачи эффективно использовать изучаемый математический аппарат, показывать его применение при изучении общетехнических дисциплин вбудущейпрофессиональнойдеятельности инженера.

Пониманию будущими инженерами математики способствует решение задач методом математического моделирования. Между математикой и окружающей нас действительностью должно существовать какое-то связующее звено - специфический тип модели, с одной стороны, способной содержать информацию о том или ином предмете исследования, а с другой стороны, формулированной с помощью стандартных математических понятий и, стало быть, пригодной для применения мощного математического аппарата. Это и есть математическая модель исследуемого явления, служащая своего рода переводом закономерностей, выявленных конкретной наукой, на строгий математический язык. Построение математической модели исследуемого процесса включает в себя следующие этапы: 1) объект исследования; 2) функции состояния системы; 3) независимые переменные; 4) система координат; 5)причины эволюции системы; 6) причинно – следственная связь; 7) входные параметры системы; 8) условия применимости математической модели; 9) выходные параметры системы.

Таким образом,систематическое и целенаправленное использование профессионально-ориентированных задач в обучении математике на основе технологии наглядного моделирования технических процессов и реальных явлений в ходе ресурсного взаимодействия учебных дисциплин, ведет к повышению мотивации изучения математики на фоне активизации профессиональныхзнаний и качество предметных знаний, умений и навыков у студентовинженерных специальностей вузов.

Работа выполнена под руководством асс.каф «Высшая математика» К. А. Раковой

В.О.Журин

ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Объект исследования: линейные функционалы в линейных пространствах.

Результаты, полученные лично автором: общий вид линейных функционалов в некоторых основных функциональных пространствах.

429

Так как элементы образуют базис в , то любой элемент

Тогда числа однозначно определяются функционалом и мы получаем

5. Общий вид линейных функционалов Lp[0, 1].

Рассмотрим произвольный линейный функционал , заданный на

Положим

Пусть , где – абсолютно непрерывная функция,и является интегралом Лебега от своей производной. Положим Сделав необходимые преобразования и доказательства убедимся, что общий вид линейных функционалов, определенных на L[0, 1] дается формулой,где – почти всюду ограниченная функция:

6. Общий вид линейных функционалов в гильбертовом пространстве.

Всякий линейный функционал , определенный в гильбертовом пространстве, имеет вид

,

где элемент u однозначно определяется функционалом f, а норма функционала дается равенством .

В результате выполнения работы были рассмотрены основные общие виды линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах. Изучив подробнее доказательства и вывод формул общих видов, можно болееполно понять смысл линейных функционалов и принципы работы с ними.

Работа выполнена под руководством ст. преп. каф. «Высшая математика» В.М. Кобзева

К.Д. Зайцева КОМПЬЮТЕРНЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ

Объект исследования:компьютерные технологии для доказательства математических теорем.

ЭВМ в настоящее время достаточно часто используют для доказательства математических теорем.Приблизительно лет пятнадцатьдвадцать назад развитие компьютерных технологий достигло такого уровня, когда стало возможно всерьез надеяться на создание систем, которые

430

действительно могли бы помочь работе математика при построении и проверке математических доказательств, то есть фактически взять на себя часть его интеллектуальной работы. Для этих систем появилось специфическое название «прувер».

Существует два вида пруверов: автоматические и интерактивные. Первые ищут доказательства совершенно независимо от человека, вторые взаимодействуют с человеком, то есть он помогает компьютеру находить эти доказательства. Наиболее перспективными являются интерактивные. В настоящее время известно несколько таких систем: Coq, разрабатываемая во Франции, и конкурирующие с ней системы Hol, Nuprlи другие.

На основе этих систем были уже получены полностью формализованные доказательства целого ряда знаменитых математических результатов. Среди них, например, теорема Жордана о кривых, доказательство закона распределения простых чисел, теорема Гёделя о неполноте и самая знаменитая, пожалуй, – это формализация теоремы о четырех красках.

Теорема о четырех краскахдолгое время была недоказанной математической гипотезой и состояла в том, что каждую карту на плоскости можно раскрасить правильным образом в четыре цвета, то есть разные страны на этой карте, имеющие общий участок границы, должны быть покрашены в разные цвета.

Первое доказательство этой гипотезы было получено с помощью компьютеров уже в ХХ веке американскими учеными Аппелем и Хакеном. Они свели доказательство этого результата к перебору значительного числа случаев.Само сведение к тысяче случаев было далеко не тривиальным и занимало несколько сотен страниц, то есть это был очень сложный математический результат, сопровождаемый еще сложным перебором. При уровне развития компьютерной техники в те времена надеяться на то, что все в этом переборе правильно, было нельзя. Не все признавали эту теорему доказанной, и оставалось только верить компьютеру, что он не ошибся.

Исправленный вариант Аппель и Хакен опубликовали уже в 90-е годы. И по-прежнему, поскольку компьютер участвовал в этом процессе, у математиков не было доверия к полученному решению.

Эта работа заняла несколько лет, группа французских ученых под руководством Жоржа Гонтье завершила ее в 2004 году, и с помощью одной из таких систем интерактивного поиска вывода, системы Coq, они на этот раз формально доказали гипотезу о четырех красках. При этом им пришлось верифицировать как содержательную часть доказательства, сведение к перебору, так и формально доказать корректность алгоритма той программы, которая осуществляла перебор. В этом было принципиальное отличие их работы от предыдущих доказательств этой теоремы: компьютерное вычисление было снабжено компьютерным же доказательством его корректности. Конечно, это был успех, потому что формальные верифицированные математические доказательства имеют гораздо большую надежность, чем любое сколько-нибудь объемное доказательство, полученное человеком. Таким образом, теорему о четырех красках, при всей