element_geometrija_stereometrija_tom_2

До к а з а т е л ь с т в о 2. Для произвольной точки O векторы OM =

=12 (OA + OB) и ON = 12 (OC + OD). Поэтому 12 (OM + ON) = 14 (OA +

+ OB + OC + OD). Следовательно, вектор OG середины G отрезка MN имеет выражение

в которое векторы вершин тетраэдра входят равноправно (симметрично). Это значит, что векторы середин отрезков EF и P Q также равны OG, т. е. середины бимедиан MN, EF и P Q совпадают. Точка G пересечения бимедиан тетраэдра называется его центроидом. Для произвольной точки O вектор OG центроида тетраэдра имеет

выражение (6.1).

1.2. Медианы тетраэдра. Отрезки, каждый из которых соединяет вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называются

медианами тетраэдра.

Теорема 2. Медианы тетраэдра пересекаются в его центроиде и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин.

Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Пусть G1 и G2 — центроиды граней BCD

иACD тетраэдра ABCD (рис. 75). Они принадлежат медианам BN

иAN этих граней. По свойству цен-

Cоткуда −2 MK · 12 = −1 и MK : KN =KN

= 1, т. е. точка K является серединой

бимедианы MN и потому совпадает

с центроидом G тетраэдра. Итак, две медианы AG1 и BG2 пересекаются в центроиде G. Значит, все четыре медианы имеют общую точку G. По теореме Менелая для треугольника ABG1 и прямой MN

AM · BN · G1G = −1,

MB NG1 GA

92

Тогда OP = 14 (OA + OB + OC + OD) = OG и точка P совпадает с G. Следовательно, все четыре медианы тетраэдра содержат его центроид и делятся им в отношении 3 : 1, считая от вершин.

1.3. Свойства центроида тетраэдра. Для того чтобы точка G была центроидом тетраэдра ABCD, необходимо и достаточно, чтобы

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если G — центроид тетраэдра ABCD, то имеет место равенство (6.1) для произвольной точки O. Когда точка O совпадает с G, то OG = 0 и (6.1) принимает вид (6.2). Обратно,

пусть для некоторой точки G имеет место равенство (6.2), из которого GA + GB = −(GC + GD), или 12 (GA + GB) = −12 (GC + GD), или

GM = −GN, где M и N — середины ребер AB и CD. Следовательно, точка G является серединой бимедианы MN, т. е. центроидом тетраэдра. Другое свойство центроида тетраэдра связано с объемами: тетра-

эдры GBCD, GCDA, GDAB, GABC равновелики.

Действительно, отношение высот AH и GH1 тетраэдров ABCD и GBCD равно отношению AG1 : GG1 = 14 (рис. 75). Эти тетраэдры име-

ют общее основание BCD. Значит, VGBCD = 14 VABCD. Объем каждого из четырех указанных тетраэдров равен четверти объема данного тетраэдра.

В силу этого свойства центроид тетраэдра называют еще центром тяжести этого тетраэдра.

Теорема 3 (Лейбница). Сумма квадратов расстояний от произвольной точки P до вершин тетраэдра A1A2A3A4 равна сумме квадратов расстояний от его центроида G до вершин, сложенной с учетверенным квадратом расстояния от точки P до центроида G:

44

XX

93

Действительно, P Ai = GAi − GP , откуда

P Ai2 = GAi2 − 2GAi · GP + GP 2

и поэтому

4

P

Так как GAi = 0, то равенство (6.3) доказано.

i=1

Из теоремы Лейбница следует экстремальное свойство центроида тетраэдра: сумма квадратов расстояний от точки до вершин тетраэдра минимальна для его центроида. Оно является характеристическим

свойством центроида тетраэдра.

З а д а ч а. Выразите длину бимедианы тетраэдра через длины его ребер.

Р е ш е н и е. Обозначим DA = a, DB = b, DC = c. Тогда

NM = 12 (a + b − c), и NM2 = 14 (a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc).

Пусть |AB| = c1, |AC| = b1, |BC| = a1. Так как 2ab = a2 + b2 − c21, 2ac = = a2 + c2 − b21, 2bc = b2 + c2 − a21, то проведя подстановки, получим:

Аналогично

EF 2 = 14 (a2+ a21+ c2+ c21−b2−b21), P Q2 = 14 (b2+ b21+ c2+ c21−a2−a21).

§2. Площади граней тетраэдра

2.1.Теорема косинусов для тетраэдра. Квадрат площади любой грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех остальных его граней без удвоенных произведений площадей этих граней, взятых попарно, и косинусов двугранных углов между ними.

Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Воспользуемся формулой (3.3) ортогональной проекции трех граней на плоскость четвертой грани, применяя ее

94

для каждой грани тетраэдра ABCD:

S1 = S2 cos(CD) + S3 cos(BD) + S4 cos(BC),

S2 = S1 cos(CD) + S3 cos(AD) + S4 cos(AC),

(6.6)

S3 = S1 cos(BD) + S2 cos(AD) + S4 cos(AB), S4 = S1 cos(BC) + S2 cos(AC) + S3 cos(AB).

Умножим эти равенства соответственно на S1, S2, S3, S4 и затем найдем:

S42 − S12 − S22 − S32 = −2S1S2 cos(CD) − 2S2S3 cos(AD) − 2S1S3 cos(BD),

или

S42 = S12 + S22 + S32 − 2S1S2 cos(CD) − 2S2S3 cos(AD) − 2S1S3 cos(BD),

(6.7)

что и утверждает теорема косинусов.

В частности, если двугранные углы при ребрах AD, BD, CD прямые, то

Соотношение (6.8) представляет собой стереометрический аналог теоремы Пифагора. Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Привлечем векторы ni, рассмотренные при решении задачи § 2 гл. 5. Сумма их равна нуль-вектору. Равенство

−n4 = n1 + n2 + n3 возведем скалярно в квадрат:

n24 = n21 + n22 + n23 + 2n1 n2 + 2n2 n3 + 2n1 n3.

Косинус угла между гранями тетраэдра отличается лишь знаком от косинуса угла между перпендикулярными к ним векторами ni, а |ni| = Si. Тогда снова приходим к зависимости (6.7).

2.2. Сумма квадратов площадей граней тетраэдра равна сумме квадратов площадей трех непараллельных граней описанного около него параллелепипеда.

Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Определение описанного параллелепипеда дано в п. 3.2 гл. 1. Воспользуемся результатом задачи п. 1.4 гл. 3, согласно которому

2 2 − 1 · \ 2 2

S1 + S2 2S1S2cos(CD) = 4 AB CD sin(AB, CD) = F1 .

Правая часть этого равенства представляет собой квадрат площади F соответствующей грани описанного параллелепипеда. Аналогично

S12 + S32 − 2S1S3 cos(BD) = F22,

S12 + S42 − 2S1S4 cos (BC) = F32.

95

Складывая эти три равенства, получим:

F12 + F22 + F32 =

= S22 + S32 + S42 − 2S1(S2 cos(CD) + S3 cos(BD) + S4 cos(BC)) + 3S12 =

= S22 + S32 + S42 − 2S1S1 + 3S12 = S12 + S22 + S32 + S42.

Тогда доказываемое равенство принимает вид:

(a × b)2 + (b × c)2 + (c × a)2 + (a − b) × (a − c) 2 =

=a × (b − c) 2 + b × (a − c) 2 + c × (b − a) 2 .

Оно верно, так как обе части легко преобразуются к одному и тому же выражению

2 (a × b)2 + (b × c)2 + (c × a)2+

+ (a × b)(b × c) + (b × c)(c × a) + (c × a)(a × b) .

2.3. Зависимость между косинусами двугранных углов тетраэдра.

Запишем систему (6.6) так:

Она является линейной однородной системой относительно S1, S2, S3, S4. Так как она заведомо имеет ненулевое решение, то ее определитель

необходимо равен нулю:

96

§3. Объем тетраэдра и объем клина

3.1.Первая формула Штаудта. За исходные формулы объема тетраэдра возьмем две известные формулы:

где a, b, c — векторы трех ребер тетраэдра с общим началом в его вершине. Выведем другие формулы объема тетраэдра.

Пусть AH — высота тетраэдра ABCD, AP — высота его грани

метра Карла Штаудта (1798–1867), профессора

Рис. 76

Эрлангенского университета. Без использования обозначений ее можно высказать так: объем тетраэдра равен шестой части произведения длин трех ребер с общей вершиной и синуса Штаудта его триэдра с этой вершиной.

Формула V = 16 |abc| следует из геометрического смысла модуля смешанного произведения векторов (п. 1.3, гл. 5). Из нее сразу же получается формула (6.11), если принять во внимание выражение (5.19) синуса Штаудта через смешанное произведение единичных векторов ребер триэдра:

V = 16 |abc| = 16 abc|abcabc | = 16 abcΔ(D),

97

Аналогично

Следствие. Умножим почленно два из этих равенств:

3.3. Формула Сервуа. Используем параллелепипед, описанный около данного тетраэдра ABCD. Четыре тетраэдра, дополняющие данный тетраэдр до этого параллелепипеда, равновелики. Объем каждого из них равен 1/6 объема V параллелепипеда. Поэтому

Рис. 77

Приведем еще два доказательства формулы Сервуа (6.14). Дополним тетраэдр ABCD до треугольной призмы (рис. 77), объем

которой втрое больше объема данного тетраэдра и равен половине площади aa1 sin f боковой грани, умноженной на расстояние d от ребра DA до этой грани. В результате получается формула (6.14).

Векторное доказательство ее таково. Пусть P Q — общий перпендикуляр ребер BC и DA. Тогда DC = DQ+ QP + P C и поэтому получаем:

6V = DA DB DC = DA DC + CB DC = DA CB DC =

= DA CB(DQ + QP + P C) = DA CB QP = (DA × CB)QP .

98

Векторы DA × CB и QP коллинеарны, поэтому их скалярное произведение равно произведению их модулей. А поскольку |DA × CB| = aa1 ×

× sin f и |QP | = d, то 6V = aa1d sin f. Здесь учтено, что первоначальная тройка векторов правая.

Из формулы Сервуа следует теорема Штейнера: объем тетраэдра не изменяется, если его противоположные ребра перемещать без изменения длины по прямым, содержащим эти ребра.

3.4. Теоремы синусов для тетраэдра. Из приведенных формул объема тетраэдра в качестве следствий получаются соотношения, очень похожие на теоремы синусов для треугольника и триэдра.

По формуле Штаудта

6V = abcΔ(D) = a1b1cΔ(C) = a1bc1Δ(B) = ab1c1Δ(A).

Разделим эти равенства почленно на произведение abca1b1c1:

Синусы Штаудта трехгранных углов тетраэдра пропорциональны произведениям длин трех ребер граней, противолежащих этим углам

(первая теорема синусов).

Пользуясь формулой (6.13), аналогичным путем получаем:

Синусы второго рода трехгранных углов тетраэдра пропорциональны площадям противолежащих им граней (вторая теорема синусов).

Далее, перемножим два равенства из (6.12):

Из этого соотношения и двух ему аналогичных следует:

Произведения длин противоположных ребер тетраэдра пропорциональны произведениям синусов соответствующих двугранных углов

(третья теорема синусов).

3.5. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер (формула Юнгиуса). Применим формулу (5.15) квадрата смешанного произведения:

99

Умножим каждую строку этого определителя на 2 и все удвоенные скалярные произведения заменим по теореме косинусов для треугольника:

Представим полученный определитель в раскрытом виде. После надлежащих преобразований имеем окончательно:

144V 2 = a2a21(b2 + b21 + c2 + c21 − a2 − a21)+

+b2b21(c2 + c21 + a2 + a21 − b2 − b21) + c2c21(a2 + a21 + b2 + b21 − c2 − c21)−

−(bca1)2 − (cab1)2 − (abc1)2 − (a1b1c1)2. (6.18)

Эта формула впервые была найдена другим путем немецким ученым

И.Юнгиусом (1587–1657) и называется его именем.

3.6.Вторая формула Штаудта. Сообщим пока без доказательства еще одну формулу К. Штаудта:

где R — радиус описанной около тетраэдра сферы и

16Q2 = (aa1 + bb1 + cc1)(bb1 + cc1 − aa1)(cc1 + aa1 − bb1)(aa1 + bb1 − cc1).

Доказательство будет дано в § 4 гл. 8.

Важное значение соотношения (6.19) состоит еще и в том, что оно позволяет получить выражение диаметра описанной около тетраэдра сферы через длины его ребер, если привлечь формулу (6.18):

2 16Q2

(2R) = 144V 2 .

100