element_geometrija_stereometrija_tom_2

Гл а в а 10

Движения пространства

§1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства

1.1.Определения движения и равных фигур. Движением пространства называется отображение пространства на себя, при котором сохраняются расстояния между точками: если A и B — любые две точки пространства, а A1 и B1 — их образы, то A1B1 = AB. Из этого условия следует, что образы двух различных точек различны, т. е. движение есть обратимое отображение пространства на себя и потому является

преобразованием пространства.

Фигура F1 называется равной (конгруэнтной) фигуре F , если существует движение f, отображающее F на F1: f(F ) = F1.

Ясно, что отношение равенства фигур рефлексивно, симметрично

итранзитивно, т. е. является отношением эквивалентности.

1.2.Перенос. Переносом Tr пространства на вектор r называется преобразование, при котором каждая точка M

образов M1 и N1, M1N1 = −MN.

1.4. Осевая симметрия. Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) Sl называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку M пространства отображает на такую точку M1, что прямая l

служит серединным перпендикуляром к отрезку MM1. Прямая l называется осью симметрии.

Докажем, что осевая симметрия пространства есть движение. Пусть Sl(A) = A1 и Sl(B) = B1 (рис. 135) точки A0, B0 — середины отрез-

ков AA1 и BB1. Тогда AB = AA0 + A0B0 + B0B, A1B1 = A1A0 + A0B0 +

+ B0B1 = −AA0 + A0B0 − B0B. Так как AA0 · A0B0 = 0 и B0B · A0B0 = = 0, то AB2 = AA02 + A0B02 + B0B2 + 2AA0 · B0B = A1B12, и значит,

A1B1 = AB.

1.5. Зеркальная симметрия. Симметрией пространства относительно данной плоскости a (зеркальной симметрией Sa) называется преобразование пространства, при котором каждая точка плоскости a отображается на себя, а всякая другая точка M переходит в такую точку M1, что плоскость a перпендикулярна к отрезку MM1 и делит его пополам. Плоскость a называется плоскостью симметрии.

Зеркальная симметрия Sa пространства есть движение. В самом деле, пусть Sa(A) = A1 и Sa(B) = B1 (рис. 136). Рассмотрим плоскость w,

содержащую прямые AA1 и BB1. Она перпендикулярна плоскости a симметрии и отображается этой симметрией на себя. На множестве точек плоскости w симметрия Sa представляет собой осевую симметрию этой плоскости w относительно прямой l = a ∩ w, а она, как известно, есть движение, и поэтому AB = A1B1.

Говорят, что зеркальная симметрия Sa индуцирует в неподвижной плоскости w (w a) осевую симметрию с осью l = a ∩ w. Аналогичная терминология будет использоваться и далее: если при движении f пространства некоторая плоскость отображается на себя, то движение f индуцирует некоторое движение этой плоскости.

1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий. Композиция зеркальных симметрий относительно двух параллельных плоскостей есть перенос пространства, вектор которого перпендикулярен этим плоскостям, направлен от плоскости первой

184

симметрии к плоскости второй симметрии и имеет модуль, равный удвоенному расстоянию между плоскостями. Обратно, всякий перенос пространства представим такой композицией, при этом одна из плоскостей симметрии может быть любой плоскостью, перпендикулярной вектору переноса.

Композиция осевых симметрий относительно двух параллельных прямых есть перенос пространства, вектор которого перпендикулярен этим прямым, направлен от оси первой симметрии к оси второй симметрии и имеет модуль, равный удвоенному расстоянию между осями. Обратно, всякий перенос пространства может быть представлен такой композицией, при этом одна из осей может быть любой прямой, перпендикулярной вектору переноса.

Доказательства этих утверждений полностью аналогичны планиметрическим ([8], c. 183–184).

§2. Общие свойства движений пространства

2.1.Два рода движений пространства. Пусть дан тетраэдр ABCD. Возможны два и только два случая: упорядоченная тройка (DA, DB, DC) векторов является положительно ориентированной (правой) или же она является отрицательно ориентированной (левой). Говорят, что

впервом случае тетраэдр ABCD ориентирован положительно, а во втором — он ориентирован отрицательно. Ориентация тетраэдра существенно зависит от порядка записи его вершин.

Можно доказать, что если при движении пространства некоторый тетраэдр и его образ имеют одинаковую ориентацию, то это свойство имеет место для любой пары соответственных при этом движении тетраэдров. В этом случае движение пространства называется движением первого рода. Если же движение отображает некоторый тетраэдр на тетраэдр противоположной ориентации, то этим свойством обладает любая пара соответственных при этом движения тетраэдров. Такое движение пространства называется движением второго рода.

Сравнением ориентации тетраэдра и его образа обнаруживаем, что перенос и осевая симметрия пространства являются движениями первого рода (хотя осевая симметрия плоскости — движение второго рода), а центральная и зеркальная симметрии пространства — движения второго рода (однако центральная симметрия плоскости — движение первого рода.

2.2.Множества неподвижных точек движений пространства. Из рассмотренных в § 1 движений перенос не имеет неподвижных точек, при

185

центральной симметрии неподвижна единственная точка — центр симметрии, при осевой симметрии неподвижна каждая точка оси симметрии, зеркальная симметрия отображает на себя каждую точку плоскости симметрии. Эти движения не имеют других неподвижных точек, кроме указанных. Есть еще один случай: множеством неподвижных точек тождественного движения является все пространство.

Итак, в рассмотренных примерах множествами неподвижных точек являются пустое множество, одна точка, прямая, плоскость и все пространство. Покажем, что других случаев быть не может.

Теорема 1. Если при движении неподвижны две точки A и B, то неподвижна каждая точка прямой AB.

Действительно, пусть X — любая точка прямой AB, отличная от точек A и B. Прямая AB отображается на себя. Если X → X1 и X1 6= X, то A — середина отрезка XX1, так как X1 (AB) и AX = AX1. Но тогда BX 6= BX1, что противоречит определению движения. Значит, точки X и X1 совпадают.

Теорема 2. Если при движении неподвижны три неколлинеарные точки A, B, C, то неподвижна каждая точка содержащей их плоскости.

В самом деле, по предыдущей теореме неподвижна каждая точка прямых AB, BC, CA. Если X — произвольная точка плоскости ABC, не принадлежащая этим прямым, и (AX) ∩ (BC) = K, то точка K неподвижна. По теореме 1 будет неподвижна каждая точка прямой AK, в том числе и точка X. При (AX) k (BC) рассмотрим прямые BX или CX.

Теорема 3. Если при движении неподвижны четыре некомпланарные точки, то неподвижна каждая точка пространства.

Доказательство аналогично предыдущему.

2.3. Инварианты движений пространства. Для движений пространства сохраняет силу теорема об образе прямой при движениях плоскости вместе с ее доказательством: движение отображает каждую прямую на прямую ([8], с. 155).

Теорема 1. Движение пространства отображает каждую плоскость на плоскость.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть плоскость a задана неколлинеарными точками A, B, C и при движении f A → A1, B → B1, C → C1. Точки A1, B1, C1 также неколлинеарны и определяют некоторую плоскость a1. Докажем, что f(a) = a1. Пусть X — произвольная точка плоскости a и f(X) = X1. Тогда X1 принадлежит a1. В самом деле, образами прямых AB, BC, CA являются соответственно прямые A1B1, B1C1, C1A1. Если (AX) ∩(BC) = K, то f(K) = K1 (B1C1) и прямая A1X1 принадлежит a1,

186

поскольку A1 a1 и K1 a1. Поэтому X1 a1. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости a1 принадлежит плоскости a (используется обратное движение f−1). Итак, f(a) = a1. При любом преобразовании образом пересечения множеств является пересечение их образов. В частности, при движении пространства прямая пересечения плоскостей отображается на прямую пересечения их образов. При переносе и центральной симметрии плоскость отображается либо на параллельную ей плоскость, либо на себя, при этом на себя отображается каждая плоскость, параллельная вектору переноса

и каждая плоскость, содержащая центр симметрии.

Осевая симметрия отображает на себя каждую плоскость, содержащую ее ось, и каждую плоскость, перпендикулярную оси. Зеркальная симметрия, кроме плоскости симметрии, отображает на себя каждую плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии.

Теорема 2. Движение пространства сохраняет параллельность прямых, параллельность плоскостей и параллельность прямой и плоскости.

Всамом деле, образы двух параллельных прямых лежат в одной плоскости и не могут пересекаться, так как иначе точка пересечения не имела бы своего прообраза. К этому же противоречию приходим при предположении пересечения образов двух параллельных плоскостей или образов параллельных прямой и плоскости.

Поскольку движение сохраняет отношение «лежать между» для трех точек прямой, т. е. сохраняет порядок точек на прямой, то имеет место теорема:

Теорема 3. Движение пространства отображает отрезок на отрезок, луч на луч, полуплоскость на полуплоскость, полупространство на полупространство.

Из определения движения и определения конгруэнтных фигур следует теорема:

Теорема 4. Движение пространства сохраняет величину угла между прямыми, величину угла между плоскостями и величину угла между прямой и плоскостью.

Всамом деле, угол между образами двух пересекающихся прямых равен углу между этими прямыми по определению равных (конгруэнтных) фигур. Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямыми и параллельность прямых,

апотому также инвариантен при движениях. В частности, сохраняется перпендикулярность прямых. Отсюда следует инвариантность угла между плоскостями и угла между прямой и плоскостью. В частности, сохраняется перпендикулярность двух плоскостей, прямой и плоскости.

187

2.4. Признак зеркальной симметрии. В качестве примера применения инвариантов движения докажем такую теорему.

Теорема. Если множеством неподвижных точек движения пространства является плоскость, то это движение является зеркальной симметрией относительно этой плоскости.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную точку X, не принадлежащую плоскости a неподвижных точек движения f, и проведем пер-

aотображается на себя. Поскольку все неподвижные точ-

§3. Поворот пространства около оси

3.1.Поворот как частный вид движения. Не существует поворота пространства около точки по той причине, что нет разумного способа устанавливать направление такого поворота. Однако можно естественным образом ввести понятие поворота около ориентированной прямой (оси).

Теорема. Поворот пространства около оси есть движение (первого рода).

Согласно определению поворота каждая плоскость, перпендикулярная оси поворота, отображается этим поворотом на себя. Рассмотрим плос-

188

кость a (перпендикулярную l), в которой лежат точки B и B1. Пусть C и C1 — ортогональные проекции на a точек A и A1. Если l ∩ a = O, то

Рис. 139

в плоскости a имеем поворот Rf этой плоскости, который отображает B

O

иC на B1 и C1 соответственно. Поскольку поворот плоскости есть движение, то BC = B1C1. Из равных прямоугольных треугольников ABC

иA1B1C1 следует AB = A1B1, что и нужно было доказать. Два соответственных тетраэдра, например ABCO и A1B1C1O, ориентированы

одинаково, т. е. поворот — движение первого рода.

3.2. Признак поворота. Если множеством неподвижных точек движения пространства является прямая, то оно является поворотом около этой прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при движении f пространства неподвижна каждая точка прямой l и нет других неподвижных точек. Через произвольную точку M / l проведем плоскость a перпендикулярно l (рис. 138). Если a ∩ l = O, то O — единственная неподвижная точка плоскости a. В силу инвариантности при движении перпендикулярности прямой и плоскости f(a) = a. Поэтому движение f индуцирует в плос-

кости a некоторый поворот Rf (признак поворота плоскости). Угол f

O

не может зависеть от выбора плоскости a, так как каждая плоскость, проходящая через прямую l отображаемся на плоскость, содержащую

прямую l. По определению f = Rf.

l

3.3. Представление поворота композициями симметрий. Рассмотрим композицию f = Sb ◦ Sa двух зеркальных симметрий относительно пересекающихся плоскостей a и b, a ∩ b = l. Все точки прямой l неподвижны при f и только они. По теореме п. 3.2 эта композиция есть

легко замечается, что угол f равен удвоенному ориентированному углу между плоскостями a и b.

189

Таким образом, композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот пространства около перпендикулярной им прямой проходящей через точку их пересечения, на удвоенный ориентированный угол между осями данных симметрий.

Обратно, всякий поворот пространства можно представить (различными способами) композицией двух осевых симметрий. Их оси перпендикулярны оси поворота, пересекается на ней и образуют между собой (ориентированный) угол, равный половине угла поворота.

§4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение

4.1.Переносная симметрия. Композиция зеркальной симметрии Sa

ипереноса Tr (r k a) параллельно плоскости a симметрии коммутатив-

на (рис. 141): Tr ◦ Sa = Sa ◦ Tr. Ее называют переносной (скользящей)

симметрией War пространства.

190