element_geometrija_stereometrija_tom_2

Гл а в а 2

Трехгранный угол

§1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры

1.1.Трехгранный угол и его элементы. Пересечение трех полупространств, граничные плоскости которых имеют единственную общую точку, называется трехгранным углом, или триэд-

1.2. Полярные триэдры. Построим три луча a0, b0, c0 с началом во внутренней точке O0 данного триэдра Oabc, перпендикулярные соответственным граням Obc, Oca, Oab этого триэдра. Триэдр O0a0b0c0 называется полярным данному триэдру Oabc. Вершина O триэдра Oabc лежит внутри триэдра O0a0b0c0, а ребра a, b, c перпендикулярны соответственно граням O0b0c0, O0c0a0, O0a0b0. Следовательно, триэдр Oabc также полярен триэдру O0a0b0c0. Эти триэдры взаимно полярны.

Выбор точки O0 несуществен, поскольку два триэдра, полярных данному, совмещаются друг с другом параллельным переносом.

Плоские и двугранные углы двух взаимно полярных триэдров находятся в определенной зависимости. Именно, сумма радианных мер плоского угла триэдра и соответствующего

Oему двугранного угла полярного триэдра рав-

на p (принцип полярности).

Действительно, пусть a ∩ (O0b0c0) = A, b0 ∩ (Oca) = B0, c0 ∩ (Oab) = C0 (рис. 23). То-

Aгда в четырехугольнике O0B0AC0 углы AB0O0

§2. Неравенства для углов триэдра

2.1.Сумма плоских углов триэдра. Эта сумма, очевидно, непостоянна. Однако она меньше 2p:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим на ребрах триэдра Oabc от его вершины O равные отрезки OA, OB, OC и опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость ABC. Тогда HA = HB = HC как проекции равных наклонных, причем HA < OA. Повернем треугольники OAB, OBC, OCA соответственно около прямых AB, BC, CA так, чтобы их образы — треугольники O3AB, O1BC, O2CA лежали в плоскости ABC по разные стороны с треугольниками HAB, HBC, HCA от их общих сторон (рис. 24) Так как O3A = O3B и HA = HB, то прямая O3H явля-

32

2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра. Рассмотрим единичные векторы e1, e2, e3, сонаправленные соответственно ребрам триэдра.

Так как они некомпланарны, то e1 + e2 + e3 6= 0 и поэтому (e1 + e2 +

+ e3)2 > 0, что равносильно e21 + e22 + e23 + 2(e1 e2 + e1 e3 + e2 e3) > 0, т. е.

3 + 2(cos a + cos b + cos g) > 0, откуда

§3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра

3.1.Две теоремы косинусов. Имеют место следующие тождества:

эдра.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства соотношения (2.5) отложим на ребрах триэдра отрезки OA, OB, OC длины 1 и рассмотрим векторы OA, OB, OC. Проведем перпендикуляры BM и CN к пря-

b

Для доказательства соотношения (2.6) применим доказанное равенство (2.5) к триэдру O0(A0B0C0), полярному данному:

cos a0 = cos b0 cos g0 + sin b0 sin g0 cos Ab0.

34

Выполнив подстановки a0 = p − Ab, b0 = p − Bb, g0 = p − Cb, Ab0 = p − a, получаем:

− cos Ab= cos Bb cos Cb − sin Bb sin Cb cos a,

что эквивалентно (2.6).

Рассмотрим частные случаи. Если Ab= p2 , то соотношение (2.5) принимает вид

а при a = p2 из (2.6) имеем:

Зависимости (2.7) и (2.8) представляют собой аналоги теоремы Пифагора для триэдров соответственно с прямым двугранным углом и прямым плоским углом.

3.2. Теорема синусов для триэдра. Синусы двугранных углов триэдра пропорциональны синусам его противолежащих плоских углов:

Тогда

1 − cos2 Ab= sin2 b sin2 g − (cos a − cos b cos g)2 . sin2 b sin2 g

Разделив это равенство на sin2 a, после очевидных преобразований получим:

Величины a, b, g входят в правую часть этого равенства равноправно (симметрично). Поэтому оно останется истинным при круговой замене букв a → b → g → a и соответственно A → B → C → A. Следовательно,

что равносильно (2.9), поскольку каждый из углов принадлежит промежутку (0, p).

35

3.3. Следствия из теоремы синусов. Умножим равенства (2.9) на sin a sin b sin g:

Таким образом, произведение синуса двугранного угла и синусов заключающих его плоских углов постоянно для данного триэдра.

Это произведение называется синусом первого рода триэдра, или синусом Штаудта триэдра. Будем обозначать его Δ(O).

Далее разделим равенства (2.9) на sin Absin Bb sin Cb. Тогда получим:

к нему двугранных углов постоянно для данного триэдра. Это произведение будем называть синусом второго рода триэдра и обозначать

0(O).

ратно.

bи c1 (рис. 26). По теореме синусов для триэдра

откуда sin g1 = sin Absin b. Аналогично sin a1 =

= sin Bb sin g и sin b1 = sin Cb sin a, где a1 и b1 —

углы наклона лучей a и b к плоскостям противоположных граней триэдра. Тогда равенства (2.11) принимают вид:

Таким образом, произведение синуса угла между двумя ребрами триэдра и синуса угла наклона третьего ребра к плоскости первых двух постоянно для данного триэдра и равно его синусу Штаудта.

3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра.

Для того чтобы существовал триэдр с заданными плоскими углами величин a, b, g, принадлежащих промежутку (0, p), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

36

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь этих неравенств доказана ранее (§ 2). Докажем их д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть даны неравенства (2.14). Рассмотрим два случая: а) b + g 6 p, б) b + g > p.

а) В промежутке (0, p) косинус монотонно убывает, а синус принимает положительные значения, поэтому cos(b + g) < cos a < cos |b − g| = = cos(b − g), что равносильно cos b cos g − sin b sin g < cos a < cos b cos g + + sin b sin g, откуда

−1 < cos a − cos b cos g < 1. sin b sin g

Это неравенство говорит о том, что существует двугранный угол величины Ab (0, p) такой, что

Построим триэдр по двугранному углу Ab и заключающим его плоским углам b и g. Согласно первой теореме косинусов его третий плоский угол a1 удовлетворяет условию

эдр имеет заданные плоские углы a, b, g.

б) b + g > p. Из первого неравенства (2.14) |b − g| < a, а из второго a < 2p − (b + g), тогда |b − g| < a < 2p − (b + g) < p и поэтому cos(b − g) > > cos a > cos(2p − (b + g)) = cos(b + g). Далее завершение доказательства аналогично случаю а). Приведем еще другое доказательство достаточности неравенств

(2.14), основанное на свойстве непрерывности движения.

Пусть плоские углы искомого триэдра имеют заданные величины a, b, g, удовлетворяющие неравенствам (2.14). Пусть данные углы, имеющие величины b и g, лежат в одной полуплоскости от их общей стороны a и имеют общую вершину O. Тогда угол между остальными их сторонами будет равен |b −g|. Фиксируем сторону b угла g, а угол aOc величины b будем вращать около луча a пока он не повернется на 180◦. Тогда угол между другой стороной b угла g и новым положением стороны c угла будет равен b + g. По условию величина a принадлежит промежутку (|b − g|, b + g). Так как угол поворота в силу непрерывности

37

вращения принимает все значения из этого промежутка, то существует момент, при котором угол поворота будет равен заданному значению a. В этот момент вращающийся луч c займет положение третьего ребра искомого триэдра Oabc.

3.5. Применение теорем косинусов в решении задач. Рассмотрим решения трех задач. При необходимости рисунки предлагаем сделать читателю самостоятельно.

З а д а ч а 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD плоский угол при вершине имеет величину a. Найдите величины двугранных углов при боковом ребре и при основании.

Р е ш е н и е. Рассмотрим триэдр A(BSD). Его плоские углы равны p2 , p2 − a2 и p2 − a2 . Тогда по первой теореме косинусов для этого триэдра

откуда

cos(AS) = − tg2 a2 .

По той же теореме

П р о в е р к а. По второй теореме косинусов для этого же триэдра cos(AS) = − cos2(AB) + sin2(AB) cos p2 ,

т. е. cos(AS) = − cos2(AB). Полученные ответы удовлетворяют этому условию.

З а д а ч а 2. Плоские углы триэдра Oabc равны a, b, g. Найдите угол между ребром a и биссектрисой l угла a.

Р е ш е н и е. Двугранные углы триэдров Oabl и Oacl при их общем ребре l являются смежными, поэтому их сумма равна p. Из триэдра Oabl cos g = cos x cos a2 + sin x sin a2 cos w, а из триэдра Oacl cos b = cos x cos a2 +

+ sin x sin a2 cos(p − w). Следовательно, cos b + cos g = 2 cos x cos a2 , откуда

З а д а ч а 3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями ABD1 и ADC1.

38

Р е ш е н и е. Указанные плоскости пересекаются по прямой AC1. Рассмотрим триэдр A(BC1D) (можно использовать рис. 12). Угол BAD

между плоскостями по определению нетупой. Значит, он равен 60◦. Иное решение получается сразу, без вычислений, если заметить, что

угол между указанными плоскостями равен углу между соответственно перпендикулярными к ним прямыми CB1 и CD1, а он равен 60◦, поскольку треугольник CB1D1 правильный.

§4. Замечательные прямые и плоскости триэдра

4.1.Медианные плоскости триэдра. Плоскость, содержащая ребро триэдра и биссектрису противоположного плоского угла, называется

медианной плоскостью этого триэдра.

4.2.Ось вписанного кругового конуса. Пусть дан двугранный угол

сребром a. Построим один из его линейных углов и проведем его биссектрису l (рис. 28). Полуплоскость с границей a, содержащая луч l, делит данный двугранный угол на два равных двугранных угла. Она называется биссекторной полуплоскостью этого угла. Плоскость, содержащая эту полуплоскость, имеет такое же название — биссекторная плоскость двугранного угла.

Точна M принадлежит биссекторной плоскости двугранного угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от плоскостей граней этого угла. Иначе говоря, биссекторная плоскость двугранного угла есть

39

40