10.74. Переносная симметрия с плоскостью x + 2y + 3z − 7 = 0 и вектором r(6, 12, −10).
10.75. Поворотная симметрия с центром (9, −3, 3/2), углом 90◦ и осью, коллинеарной вектору (2, 2, 1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.76. Винтовое движение с осью |
x |
= |
|
|
|
y |
= |
|
|
|
z − 14 |
|
, углом 180◦ и век- |
|
|
|
|
|
|
|
тором (−1, −2, −3). |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.77. Симметрия относительно плоскости 5x + 2y + z + 30 = 0. |
|
10.78. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.79. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = − |
1 |
x + |
8 |
y + |
4 |
|
|
x0 = |
3 |
x + |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
z, |
|
z, |
4 |
4 |
8 |
|
9 |
9 |
9 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − r |
|
|
|
|
|
|
z, |
|
y0 = |
|
|
x − |
|
y + |
|
z, |
|
y0 = |
1 |
x + |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
9 |
9 |
9 |
|
4 |
4 |
8 |
|
z0 |
= |
4 |
|
|
x + |
4 |
|
y − |
7 |
|
z. |
|
z0 = −r |
|
|
|
x + r |
|
|
|
|
y + |
1 |
z. |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
9 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
2 |
|
10.80. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.81. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = |
1 |
x + |
8 |
y − |
4 |
z, |
|
x0 = |
11 |
x + |
2 |
|
y + |
10 |
z + 2, |
|
9 |
9 |
9 |
15 |
15 |
15 |
|
y0 |
= |
8 |
x + |
1 |
y + |
4 |
z, |
|
y0 = |
2 |
x + |
14 |
y − |
5 |
z + 4, |
|
9 |
9 |
9 |
15 |
15 |
15 |
|
z0 |
= − |
4 |
x + |
4 |
y + |
7 |
z. |
|
z0 = |
2 |
x − |
1 |
y − |
2 |
z + 6. |
|
9 |
9 |
9 |
3 |
3 |
3 |
|
10.82. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.84. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = |
4 |
x + |
1 |
y + |
8 |
z − 14, |
|
27 −25 |
10 −2 . |
|
9 |
9 |
9 |
|
|
y0 |
= 9 x + |
9 y − |
9 z − 2, |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
23 −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 25 |
|
x0 = − |
4 |
x + |
8 |
y + |
1 |
z + 5. |
|
|
|
|
9 |
9 |
9 |
|
|
Глава 11
11.3. 27. 11.4. 23 .
11.7.Задача сводится к предыдущей, так как искомая сфера касается плоскости, симметричной одной из данных плоскостей относительно плоскости симметрии данных точек.
11.8.Примените гомотетию с центром в точке касания данной и искомой сфер. Эту точку можно построить.
11.10.Из условия задачи следует, что данное преобразование сохраняет величину угла между прямыми, следовательно, является подобием.
11.11. Достаточно доказать, что данное преобразование отображает каждую сферу на сферу.
11.12. Прямая, соединяющая точку пересечения трех данных плоскостей с точкой пересечения плоскостей, каждая, из которых содержит одну из данных точек и параллельна одной из данных плоскостей. Указанные две точки этой прямой исключаются.
11.13. Если прямые m и l скрещиваются, то искомым множеством является параллельная им плоскость. Если эти прямые пересекаются, то искомым множеством будет содержащая их плоскость без этих прямых. При m k l задача теряет смысл.
11.14. Рассмотрите образ одной из данных плоскостей при гомотетии с центром в данной точке и коэффициентом −k1 .
11.17. Рассмотрите сферу, описанную около данного тетраэдра.
√
11.19. arccos( 3 2 − 1).
11.22. Внутренность многогранника, который получается отсечением от данного тетраэдра гомотетичных ему тетраэдров с центрами гомо-
тетий в его вершинах и коэффициентом 14 .
Глава 12
12.7.Примите во внимание, что в аффинной системе координат, заданной тройкой сопряженных полудиаметров эллипсоида, он имеет простейшее уравнение x2 + y2 + z2 = 1.
12.8.1 : 12.
12.9.Используйте аффинную эквивалентность сферы и эллипсоида.
12.11.2x + y − 1 = 0, r(1, −3, 1).
12.12.x0 = x + x0z, y0 = y + y0z, z0 = z + z0z.
12.13.x0 = ax, y0 = by, z0 = cz.
Задачи общего содержания
|
|
|
8. 30◦, 60◦, 120◦, 60◦. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
1 |
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
p). |
|
|
|
9. |
|
Q |
|
|
S sin 2f |
. |
|
p2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2a3 |
√ |
|
|
|
|
|
|
2p√ |
|
|
2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
4p2 |
|
|
a2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
11. |
|
|
|
|
− |
|
. 12. |
|
|
|
|
|
|
. 13. Sh < V < |
|
|
Sh. |
14. |
|
|
|
|
|
R |
(√2 + √3) |
; |
|
|
|
192p2 sin3 a |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
pR2(22 + 9√ |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rr |
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
. |
18. d2 = R2 − 2rr. 19. |
|
R. |
|
|
20. |
|
. |
|
6). |
pa3 |
3 |
|
|
|
2 |
18 |
3 |
|
|
R ± r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
4 |
− |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
R( |
2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
√ |
− . |
|
22. |
|
2l sin |
|
|
. |
|
23. |
a sin |
|
|
|
. |
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4c |
|
|
|
|
|
a b |
|
|
, |
|
|
|
|
2 + |
√ |
|
tg a |
|
1 + tg a |
|
|
|
|
|
|
2√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4c2 |
− |
a2 |
− |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
r√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
4c2 |
− a2 − b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x = 1 |
|
|
|
|
2 cos2 a tg2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a√4c2 |
− |
a2 |
+ b√4c2 |
− |
b2) . |
25. |
3 |
|
|
|
|
. |
26. |
|
√ |
|
− |
2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
a sin2 w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4R 14 |
|
|
|
3 |
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
28. 45, |
|
|
|
pb . |
29. |
|
|
|
|
. |
|
30. V = |
|
|
R , |
√ |
|
|
w |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
7 |
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
− cos |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos 2 |
|
− cos |
|
(1+ |
|
|
|
) |
|
4√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3p − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
3p + |
|
|
|
|
. 33. |
|
|
S = 3pR2(1 + p). |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
4269p |
. |
√ |
31. |
|
pR3 |
|
|
|
|
|
|
|
32. |
|
pR3 |
|
|
|
|
|
2 |
√3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
320 |
34. 2S. 35. arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 36. sin x = 2( 2 − 1). 38. Искомый угол равен углу |
между вектором, перпендикулярным оси поворота и его образом. На основании системы задачи № 37 вектор (a1 − 1, b1, c1) ортогонален оси, а его образом является вектор (1 − a1, −a2, −a3). 39. Образом вектора n является вектор −n. 40. Вектор (a1 + 1, b1, c1) ортогонален оси поворотной симметрии (№ 39). 41. Перенос. 46. Прямые a ∩ f−1(a) и a ∩ f(a), если f(a) ,a. 47. x0 = −x − y − z + 1, y0 = x, z0 = y. Неподвижен центроид тетраэдра ABCD. 48. Формулы обратного преобразования: x0 = y, y0 = z, z0 = −x−y −z + 1. Данная плоскость имеет уравнение x+ y + z = 0, ее образ x − 1 = 0, прообраз z − 1 = 0. 49. К цели приводит компози-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция центральных симметрии с центрами в заданных серединах сторон. |
|
50. |
3 |
6 l < 2. 51. 2 arccos(√ |
|
− 1). 52. Конус, образующие которого на- |
|
3 |
|
2 |
|
клонены к плоскости основания под углом arccos |
1 |
. 53. |
|
8 |
R2. 55. Этот |
|
3 |
3 |
|
угол равен 60◦. 57. 3r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Литература
[1] А д а м а р Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2. Стереометрия. — М.: Учпедгиз, 1958.
[2] А т а н а с я н Л. С. и д р. Геометрия 10–11. — М.: Просвещение, 1992.
[3]Б е в з Г. П. Геометрия тетраэдра. — Киев: Радянська школа. 1974.
[4]Го т м а н Э. Г., С к о п е ц З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом. — М.: Просвещение, 1979.
[5] К л о п с к и й В. М., С к о п е ц З. А., Я г о д о в с к и й М. И. Геометрия 9–10. — М.: Просвещение, 1977.
[6]Н а у м о в и ч Н. В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение. — М.: Учпедгиз, 1962.
[7] П е р е п ё л к и н Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч. 2. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1949.
[8]П о н а р и н Я. П. Элементарная геометрия. Т. 1. — М.: МЦНМО, 2004.
[9]П о н а р и н Я. П. Преобразования пространства. — Киров: Вятский госпедуниверситет, 2000.
[10] П р а с о л о в В. В., Ш а р ы г и н И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
[11] Р а б и н о в и ч В. Л. Вычисление объемов с помощью принципа Кавальери // «Квант». 1972. № 6. C. 9–12.
[12] Р о з е н ф е л ь д Б. А., С е р г е е в а |
Н. Д. Стереографическая |
проекция. — М.: Наука, 1973. |
|
[13] С и в а ш и н с к и й |
И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука, |
1967. |
|
|
[14] С к о п е ц З. А., |
П о н а р и н Я . И. |
Геометрия тетраэдра и его |
элементов. — Ярославль: Верхне-Волжское книжное изд-во. 1974.
[15] Ш е в е л ё в Л. Я. Объем тел вращения // «Квант». 1973. № 8.
C. 35–37.
[16]Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.: Наука, 1970.
