element_geometrija_stereometrija_tom_2

Видим, что род и множество неподвижных точек одинаковы лишь для переноса и винтового движения. Однако перенос в любой системе координат имеет формулы:

и поэтому сразу выделяется.

Для неподвижной точки x0 = x, y0 = y, z0 = z. Формулы (10.1) приводят к системе:

(a1 − 1)x + b1y + c1z = −x0,

a3x + b3y + (c3 − 1)z = −z0,

из которой и находится множество неподвижных точек движения в каждом конкретном случае.

7.5. Формулы частных видов движений при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат. Если удобно выбрать систему координат относительно объектов, характеризующих то или иное движение пространства, то формулы этого движения значительно упрощаются.

Независимо от выбора системы координат перенос имеет простые формулы (10.6).

Центральная симметрия относительно точки S(x0, y0, z0) имеет формулы:

Если плоскость Oxy системы координат совместить с плоскостью

зеркальной симметрии, то получаем формулы:

Формулы переносной симметрии с той же плоскостью Oxy и вектором r(a, b, 0) имеют вид:

Формулы поворота около оси Oz на угол f таковы:

201

Поворотная симметрия с осью Oz, плоскостью Oxy и углом f:

§8. Композиции движений пространства

8.1.Композиция поворота и переноса. Найдем композицию поворо-

та Rf и переноса Tr при r ,l. С этой целью представим оба эти движения

l

композициями осевых симметрий:

боре осей симметрии, можно совместить оси u и b (рис. 150). Тогда

поворота, то прямые a и v скрещиваются и угол между ними равен

uВ случае, когда r l, прямые a и v пересекают-

bся, тогда P Q = 0 и искомая композиция является

Tr ◦ Sl = Sm, r l, m k l.

8.2.Композиция зеркальной и осевой симметрий. Пусть даны Sa

иSl при l ,a. Представим Sl = Sg ◦ Sb, где g a, b g (рис. 151). Тогда

Sl ◦Sa = Sg ◦(Sb ◦Sa) = Sg ◦Rf , где u= a ∩b, u g, u l, f = 2(ad, b) = 2(ad, l).

u

202

общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

щиваются: если бы они принадлежали плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. На основании

b

b

теоремы п. 4.3 искомая композиция поворотов является винтовым движением, осью которого служит общий перпендикуляр l прямых u и v, угол w = 2(u,dv), а вектор r = 2P Q, где P = u ∩ l, Q = v ∩ l. Угол w может быть вычислен через углы a и b данных поворотов и угол g между осями a и b.

Если прямые a и b пересекаются, то прямые u и v будут пересекаться

ось l которого проходит через точку O = a ∩ b = u ∩ v перпендикулярно

параллельно прямым a и b.

Наконец, при a k b и a = b или a + b = 2p будет u k v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

8.4. Композиция трех зеркальных симметрий. Выделим сначала особый случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является

203

итогда f — перенос.

§9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба

9.1.Группа самосовмещений правильного тетраэдра. Напомним определения. Движение, отображающее некоторую фигуру на себя, если такое существует, называется самосовмещением этой фигуры. Множество преобразований, содержащее для каждого преобразования обратное ему и композицию любых двух преобразований из данного множества, называется группой преобразований. Во всякой группе преобразований содержится тождественное.

205

— зеркальной симметрии относительно плоскости, проходящей через ребро AB и середину ребра CD, соответствует подстановка

ABCD ABDC ,

— осевой симметрии относительно бимедианы, содержащей середины ребер AB и CD, отвечает подстановка

ABCD

BADC ,

— поворот на 120◦ около высоты, опущенной из вершины A, имеет подстановку

ABCD

ACDB ,

— поворотная симметрия с плоскостью a, осью l и углом 90◦ (рис. 155) представляется подстановкой

ABCD

BCDA .

Композиции самосовмещений правильного тетраэдра ставится в соответствие произведение соответствующих подстановок. Например,

т. е. композиция поворота на 120◦ около высоты, содержащей вершину A, и зеркальной симметрии относительно плоскости симметрии точек A и B есть поворотная симметрия с плоскостью a, ось l и углом 120◦ (рис. 155).

Говорят, что группа самосовмещений правильного тетраэдра изоморфна группе подстановок из четырех элементов. Каждой подстановке при канонической ее записи первой строки соответствует перестановка букв во второй строке. А число перестановок из четырех элементов как раз и равно 4! = 24.

9.2. Группа самосовмещений куба. Перечислим движения пространства, образующие группу самосовмещений куба:

1)центральная симметрия относительно точки O пересечения диагоналей куба;

2)девять зеркальных симметрий, плоскости шести из которых являются диагональными плоскостями куба, а три другие проходят через центр O куба параллельно его граням;

207

3)девять осевых симметрий, оси li трех из которых проходят через центр O параллельно ребрам куба, а каждая из шести других содержит середины двух противолежащих (симметричных относительно O) ребер куба;

4)шесть поворотов около трех прямых li на ±90◦;

5)восемь поворотов около четырех диагоналей куба на ±120◦; например, диагональ AC1 перпендикулярна плоскостям A1BD и B1CD1, пересекает их в центрах правильных треугольников A1BD и B1CD1 (рис. 156) (вид куба в направлении диагонали AC1 изображен на рис. 157);

6)шесть поворотных симметрий Rl±90◦ ◦ Sa: плоскость a проходит через центр O параллельно двум противоположным граням куба, а ось l a, O l;

7)восемь поворотных симметрий Rt±60◦ ◦ Sb: плоскость b проходит через центр O перпендикулярно диагонали t куба (сечением куба плоскостью b является правильный шестиугольник с вершинами в серединах шести ребер куба);

8)тождественное движение.

Итак, группа самосовмещений куба состоит из 48 перечисленных движений, что как раз вчетверо больше числа ребер куба.

§10. Решение задач с использованием движений пространства

Как и в планиметрии, метод геометрических преобразований оказывается весьма эффективным в стереометрических задачах. Рассмотрим для примера решения нескольких задач.

З а д а ч а 1. Через середину каждого ребра тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная противоположному ребру. Докажите, что

208

водной плоскости.

Ре ш е н и е. Пусть m и n — биссектрисы плоских углов aOb и bOc триэдра Oabc, p — биссектриса угла a1Oc (a1 — луч, дополнительный

210