element_geometrija_stereometrija_tom_2

Проведем через прямую AB произвольную плоскость a и найдем сначала множество точек плоскости a, принадлежащих искомому ГМТпространства. На прямой AB существуют две точки P и Q, для которых P A : P B = QA : QB = m : n. Для их построения проведем через точки A и B две параллельные прямые произвольного направления и отложим на них данные отрезки m и n как показано на рис. 60. Дальнейшее ясно из этого рисунка. Говорят, что точка P делит отрезок AB в данном отношении внутренним образом, а точка Q делит его внешним образом.

nC

Пусть точка M a принадлежит искомому ГМТ, т. е. MA : MB = = m : n. Тогда MA : MB = P A : P B = QA : QB. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника и биссектрисы его внешнего угла луч MP есть биссектриса угла AMB, а луч MQ — биссектриса его внешнего угла, смежного с углом AMB, и поэтому MP MQ. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром P Q (рис. 61).

Обратно, пусть N — произвольная точка этой окружности. Докажем, что NA : NB = m : n. Проведем CD k AN, B (CD). Из подобия треугольников ANP и CBP и из подобия треугольников ANQ и BDQ

получаем: AN : BC = AP : P B = m : n и AN : BD = AQ : QB = m : n, откуда BC = BD. В прямоугольном треугольнике CND медиана NB равна половине гипотенузы CD, т.е. NB = BC. Но AN : BC = m : n и поэтому

AN : NB = m : n.

Таким образом, ГМТ плоскости a, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B равно заданному отношению, есть окружность с диаметром P Q. Она называется окружностью Аполлония для данного отрезка AB и данного отношения m : n.

Теперь будем поворачивать плоскость a около прямой AB. В каждом ее положении получим свою окружность Аполлония с одним и тем же

71

диаметром P Q. Поэтому их объединением является сфера, называемая сферой Аполлония для данного отрезка и заданного отношения.

Итак, ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до данных точек A и B постоянно, есть сфера Аполлония, концы диаметра которой делят отрезок AB в заданном отношении (внутренним и внешним образом).

3.2. ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка, найдем сначала для произвольной плоскости a, проходящей через прямую AB. Пусть точка M этой плоскости удовлетворяет заданному условию AM2 − BM2 = a2 (a — данный отрезок). Проведем MCAB (рис. 62). Тогда AM2 = AC2 + MC2 и BM2 = BC2 + MC2, откуда AM2 − BM2 = AC2 − BC2 = a2. Следовательно, любая точка перпендикуляра MC удовлетворяет заданному условию.

В каждой из плоскостей, содержащих прямую AB, имеется проходящий через точку C перпендикуляр к AB, каждая точка которого принадлежит искомому ГМТ пространства. Объединением всех этих перпендикуляров является плоскость, перпендикулярная к пря-

Построение точки C (AB) можно выполнить так. Построим отрезок BD AB, BD = a. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку AD пересечет AB в искомой точке C (рис. 63). В самом деле, AC = CD,

AC2 = CD2 = CB2 + a2 и AC2 − CB2 = a2. При a < AB точка C лежит внутри отрезка AB, при a = AB совпадает с B, а при a > AB — вне отрезка AB.

Итак, ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, есть плоскость, перпендикулярная прямой AB в точке C, определяемой условием AC2 − BC2 = a2.

72

3.3. ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, найдем аналогично решению двух предыдущих задач. Сначала рассмотрим произвольную плоскость a, содержащую прямую AB, и в ней найдем точки искомого ГМТ.

Пусть M — какая-нибудь точка этой плоскости, удовлетворяющая условию AM2 + BM2 = a2. Построим параллелограмм AMBN с диагональю AB (рис. 64). Тогда AB2 + MN2 = 2(AM2 +

M+ BM2) = 2a2, откуда MN2 = 2a2 − AB2. Так как отрезки a и AB даны, то точка M принадлежит окружности с центром в середине O отрезка AB радиу-

рых равны катетам m и n треугольника P QK. Тогда вершина C и середина O отрезка AB определяют радиус r = OC указанной сферы. Действительно, квадрат медианы OC треугольника ABC равен

OC2 = 2m2 + 2n2 − AB2 = 2a2 − AB2 = r2.

73

§4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем. Данная задача на построение сводится к построению некоторой точки, которая в дальнейшем давала бы возможность построить всю искомую фигуру. В процессе анализа выясняется, что эта «ключевая» точка обладает несколькими (чаще двумя) свойствами по отношению к заданным элементам искомой фигуры. Одно из этих свойств временно оставляется в стороне и находится ГМТ, удовлетворяющих остальным свойствам. Затем привлекается отброшенное свойство и устраняется другое свойство из тех, которым должна обладать искомая «ключевая» точка. Находится ГМТ, удовлетворяющих новой совокупности свойств. Искомая точка должна принадлежать пересечению двух полученных ГМТ. Если эти два ГМТ исчерпывают всю совокупность свойств, то искомая точка (одна или несколько) найдена, а если нет, то процесс продолжается дальше до тех пор, пока все требуемые свойства не будут использованы.

Для иллюстрации сказанного решим две задачи.

З а д а ч а 1. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b, c, не параллельные одной плоскости, и точка D, не принадлежащая этим прямым. Постройте плоскость, которая бы пересекала эти прямые в точках, являющихся вершинами параллелограмма, одна из вершин которого есть точка D.

Р е ш е н и е. «Ключевой» точкой может служить центр O параллелограмма, так как она позволяет построить неизвестные его вершины A, B, C (рис. 66). Точка O обладает двумя свойствами: 1) она является серединой отрезка DB, B b, 2) она является серединой отрезка AC

C

c

l

D

O

B

b

A

a

Рис. 66

74

с концами на прямых a и c. Множество точек, удовлетворяющих только первому из этих свойств, есть прямая l k b. Прямая l строится как образ прямой b при гомотетии с центром D и коэффициентом 1/2. Множество точек, обладающих только вторым свойством, есть серединная плоскость g скрещивающихся прямых a и c (п. 2.1). Прямая l не параллельна плоскости g, так как иначе прямые a, b, c были бы параллельны g, что исключено условием задачи. Итак, центр O искомого параллелограмма — это точка пересечения прямой l и плоскости g, которые строятся известными способами.

В условии задачи не оговорено требование, чтобы непременно B b. Возможно также B a или B c. Следовательно, существуют три плоскости (три параллелограмма), удовлетворяющих условиям задачи.

З а д а ч а 2. Постройте сферу, делящую пополам данную сферу (O, r) и содержащую три данные неколлинеарные точки A, B, C.

Р е ш е н и е. Задача сводится к построению центра S искомой сферы, которая пересекает данную сферу (O, r) по большой окружности (радиуса r). Если M — произвольная точка этой окружности, то SM2 − SO2 = r2 и SM = SA = SB = SC, т. е. SA2 − SO2 = r2. Это значит, что искомый центр S принадлежит двум ГМТ: 1) ГМТ, разность квадратов расстояний каждой их которых до известных точек A и O равна квадрату данного отрезка r (п. 3.2) — плоскости, перпендикулярной прямой OA и 2) оси окружности ABC (ГМТ IX). Этим положение точки S определено. Определен и радиус R искомой сферы:

R = SA = SB = SC.

В этом построении центра S вместо точки A может быть использована точка B или точка C. Поэтому три ГМТ первого вида имеют общую точку S.

Задачи к главе 4

4.1.Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M относительно всех плоскостей, проходящих а) через данную прямую l; б) через данную точку A.

4.2.Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M относительно всех прямых, проходящих через данную точку O.

4.3.Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M относительно всех точек данной плоскости, не проходящей через точку M.

4.4.Найдите геометрическое место середин хорд данной сферы, имеющих заданную длину.

75

4.5.Найдите геометрическое место середин хорд данной сферы, содержащих данную точку P этой сферы.

4.6.Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса r, проходящих через две данные точки A и B.

4.7.Найдите геометрическое место центров сфер, проходящих через три данные точки A, B и C.

4.8.Найдите ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от трех прямых, содержащих стороны данного треугольника.

4.9.Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса R, пересекающих данную плоскость a по окружностям радиуса r.

4.10.Найдите ГМТ пространства, делящих отрезки, соединяющие данную точку A с точками данной плоскости, в отношении m : n, где m

иn — данные отрезки.

4.11.Найдите ГМТ поверхности данного куба, каждая из которых равноудалена от концов его заданной диагонали.

4.12.Найдите ГМТ пространства, из которых данный отрезок виден под углом заданной величины f.

4.13.Найдите геометрическое место середин отрезков, параллельных данной плоскости, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся прямых.

4.14.Найдите геометрическое место середин отрезков данной длины d, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпендикулярных прямых.

4.15.Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных параллельных прямых.

4.16.Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных параллельных прямых равно m : n, где m

иn — данные отрезки.

4.17.Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых разность расстояний до двух данных непараллельных плоскостей a и b равна длине данного отрезка.

4.18.Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных непараллельных плоскостей равна длине данного отрезка.

4.19.Даны две скрещивающиеся прямые и на одной из них точка A. Через них проведены две перпендикулярные плоскости, которые являются переменными. Найдите геометрическое место ортогональных проекций точки A на прямые пересечения каждой пары этих плоскостей.

4.20.Даны прямая a и точка A. Через точку A проводится произвольная прямая l, скрещивающаяся с прямой a. Пусть P Q — общий

76

перпендикуляр прямых a и l, Q l. Найдите геометрическое место точек Q.

4.21.Точки A и B лежат в одном полупространстве от плоскости a. Прямая AB не параллельна плоскости a. Найдите геометрическое место центров сфер, содержащих точки A и B и касающихся этой плоскости.

4.22.Дан тетраэдр ABCD. Постройте плоскости, каждая из которых равноудалена от его вершин.

4.23.Постройте сферу, содержащую данную точку A и касающуюся данной сферы в ее данной точке T .

4.24.Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте пря-

мую, пересекающую их соответственно в точках A, B, C так, что

AB = BC.

4.25.Даны две окружности, не лежащие в одной плоскости и имеющие две общие точки. Докажите, что существует единственная сфера, которой принадлежат эти окружности.

4.26.Постройте сферу, касающуюся данной сферы (O, R) и данной плоскости a в ее данной точке A.

4.27.Постройте сферу, содержащую три данные точки, если известно, что ее центр находится на расстоянии d от данной точки M.

4.28.Постройте сферу, если дана принадлежащая ей окружность

икасательная плоскость в одной из точек этой окружности.

4.29.Дан тетраэдр ABCD. Постройте точки, каждая из которых равноудалена от плоскостей ABC и ABD, и разность квадратов расстояний от точек C и D равна m2, где m — данный отрезок.

4.30.Постройте сферу, содержащую три данные точки A, B, C и делящуюся пополам данной сферой(O, R).

4.31.Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте тетраэдр ABCD, имеющий прямые плоские углы при вершине D.

77

стрелке. Ориентация тройки векторов существенно зависит от порядка их записи.

Важны два свойства ориентации тройки векторов:

1.Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов не изменится, если векторы переставлять в круговом порядке (a, b, c) →

→(b, c, a) → (c, a, b).

2.Ориентация тройки векторов меняется на противоположную, если в ней поменять местами два вектора: тройки (a, b, c) и (a, c, b) различной ориентации, тройки (a, b, c) и (c, b, a) противоположно ориентированы, тройки (a, b, c) и (b, a, c) также ориентированы различно.

1.2.Определение векторного произведения, его следствия. Вектор-

ния равен площади параллелограмма OACB, построенного на векторах OA и OB как на сторонах.

Этими тремя условиями вектор p = a × b однозначно определен: он перпендикулярен плоскости параллелограмма, имеет указанную длину и направлен в то полупространство от этой плоскости, чтобы при наблюдении от его конца в сторону плоскости поворот от a к b на наименьший угол совершался против часовой стрелки.

Согласно определению a k b a × b = 0. Если a × b = p, то b × a = −p,

так как упорядоченные тройки (a, b, p) и (b, a, p) ориентированы про-

Говорят, что векторное произведение антикоммутативно: при изменении порядка сомножителей оно меняет знак на противоположный.

Поскольку |a × b| = |a||b| sin(a,db) и ab = |a||b| cos(a,db), то

79

Следовательно, площадь S параллелограмма OACB может быть вычислена по формуле:

q

S = a2 b2 − (ab)2. (5.3)

1.3. Смешанное произведение трех векторов, геометрический смысл его знака и модуля. Смешанным (тройным) произведением abc векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению (a × b)c векторного произведения a × b на третий вектор c:

Из этого определения можно сделать следующие выводы.

1. Если векторы некомпланарны и тройка (a, b, c) векторов правая, то смешанное произведение abc положительно, и abc < 0, если эта тройка левая, и обратно. В самом деле, пусть a × b = p и тройка

(a, b, c) правая (рис. 69). Так как обе тройки (a, b, c) и (a, b, p) правые, то при одном начале O всех векторов концы векторов c и p будут в од-

3. Модуль смешанного произведения abc некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 72). В самом деле, по формуле ортогональной (скаляр-

80