element_geometrija_stereometrija_tom_2

101

ребрами AB, MN и SS (нулевое ребро). Их перпендикулярные сечения (заштрихованы) имеют равные площади S . Пусть MN = 1, тогда AB = DC = 2. Согласно формуле (6.20) отношение объемов двух этих многогранников равно

1

3 S (2 + 2 + 1) = 5 .

1 3

3 S (2 + 1 + 0)

§4. Барицентрические координаты точки

4.1.Определение. Пусть для данного тетраэдра A1A2A3A4 и данной точки P вектор A4P = xA4A1 + yA4A2 + zA4A3. При произвольном выборе точки O пространства

A4P = OP − OA4 = x(OA1 − OA4) + y(OA2 − OA4) + z(OA3 − OA4),

откуда

OP = xOA1 + yOA2 + zOA3 + (1 − x − y − z)OA4.

Обозначим l1 = x, l2 = y, l3 = z, l4 = 1 − x − y − z. Тогда l1 + l2 + l3 + l4 = 1.

Таким образом, для заданного тетраэдра A1A2A3A4 и любых точек O и P имеют место равенства:

(

OP = l1 OA1 + l2 OA2 + l3 OA3 + l4 OA4,

(6.21)

l1 + l2 + l3 + l4 = 1.

Важно, что коэффициенты li не зависят от выбора точки O при заданной точке P . В самом деле, при этих же числах li, заменив точку O другой точкой O1, получаем:

О п р е д е л е н и е. Если имеют место равенства (6.21), то числа li

называются барицентрическими координатами точки P относительно тетраэдра A1A2A3A4.

102

4.2. Аффинный и метрический смысл барицентрических координат.

Так как равенства (6.21) не зависят от точки O, то в качестве такой точки можно взять точку A4:

A4P = l1 A4A1 + l2 A4A2 + l3 A4A3.

Умножим это равенство скалярно на вектор A4A2 × A4A3:

A4P A4A2 A4A3 = l1 A4A1 A4A2 A4A3,

откуда

l1 = VPA2A3A4 ,

A1A2A3A4

где тетраэдры A1A2A3A4 и P A2A3A4 считаются ориентированными соответственно указанным тройкам векторов (§ 1 гл. 5). Аналогично получаем:

Итак, барицентрические координаты li точки P равны отношениям объемов двух ориентированных тетраэдров: объема тетраэдра, полученного заменой соответствующей вершины базисного тетраэдра A1A2A3A4 точкой P , к объему тетраэдра A1A2A3A4.

Пусть xi — ориентированные расстояния точки P до плоскостей граней тетраэдра A1A2A3A4, причем за положительное направление принято направление соответствующей высоты hi этого тетраэдра от вершины к противоположной грани. Тогда отношения объемов указан-

ных тетраэдров равны xi (i = 1, 2, 3, 4). Следовательно, hi

Умножив последнее равенств на 3VA1A2A3A4 , будем иметь:

Числа xi называются нормальными координатами точки P относительно данного тетраэдра. При этом xi = lihi.

4.3. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра. Поставим задачу найти расстояние между точками P и M, если известны барицентрические координаты li точки P и расстояния ri от точки M до вершин Ai данного тетраэдра A1A2A3A4. Согласно равенствам (6.21)

MP = l1 r1 + l2 r2 + l3 r3 + l4 r4, где ri = MAi.

103

Вычислим скалярный квадрат вектора MP :

Так как 2ri rj = r2i + r2j − a2ij, где aij = AiAj, то

44

После несложных преобразований находим, что

и окончательно

44

Применим полученную формулу (6.24) для определения расстояний между некоторыми точками тетраэдра.

1. Пусть точка M совпадает с центром O описанной около тетраэдра сферы. Если R — радиус этой сферы, то все ri = R. Точку P поместим

в центроиде G тетраэдра. Для нее все li = 14 . Согласно (6.24) будем иметь:

X

i,j=1; i<j

Этот результат можно получить и непосредственно, используя выражение (6.1) для вектора центроида.

2. Если обе точки M и P совпадают с центроидом G тетраэдра, то MP = 0 и li = 14 , ri = GAi. На основании формулы (6.24) получаем:

44

Поскольку GAi = 34 GiAi, где Gi — центроид грани ai, то отсюда следует:

44

104

§5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра

5.1.Условия существования и число сфер, касающихся плоскостей граней тетраэдра. На плоскости всегда существуют четыре окружности, касающиеся прямых, содержащих стороны треугольника. В этом параграфе будет доказано, что количество сфер, касающихся четырех плоскостей граней тетраэдра, зависит от вида тетраэдра: их существует

не менее пяти, но не более восьми.

Пусть дан тетраэдр A1A2A3A4. Плоскости A2A3A4, A1A3A4, A1A2A4, A1A2A3 обозначим соответственно a1, a2, a3, a4. Пусть xi — нормальные координаты точки M пространства относительно данного тетраэдра (п. 4.2). Плоскости ai делят пространство на пятнадцать областей, каждая из которых может быть охарактеризована знаками нормальных координат своих точек, а именно:

1)одну область I, внутреннюю относительно тетраэдра, для точек которой все xi > 0;

2)четыре области II (рис. 80) четырех внутренних трехгранных углов тетраэдра без точек области I; для точек каждой из этих обла-

стей соответствующая нормальная координата xi о т р и ц а т е л ь н а, а остальные три п о л о ж и т е л ь н ы;

A1

A1 III

3)четыре области III четырех трехгранных углов, вертикальных внутренним трехгранным углам тетраэдра (рис. 81); точки этих областей имеют три отрицательных и одну положительную нормальную координату, а именно ту, которая соответствует вершине трехгранного угла;

4)шесть областей IV типа «крыш» (рис. 82), соответствующих ребрам AiAj тетраэдра; точки этих областей имеют две положительные (xi и xj) и две отрицательные нормальные координаты.

105

Будем пользоваться тождеством (6.23):

x1S1 + x2S2 + x3S3 + x4S4 = 3V.

Его можно проверить и непосредственно, выбрав поочередно точку M в областях каждого из четырех указанных типов и соединив ее с вершинами тетраэдра.

Можно составить всего 16 комбинаций знаков нормальных координат xi точек, но одна из них в действительности не существует: из этого тождества видно, что числа xi не могут быть одновременно все отрицательными. Остальные 15 комбинаций соответствуют указанным 15 областям пространства.

Если дан тетраэдр и числа xi, удовлетворяющие рассматриваемому тождеству, то существует одна и только одна точка, имеющая эти числа своими нормальными координатами относительно данного тетраэдра. Она является точкой пересечения трех плоскостей, соответственно параллельных, например трем плоскостям a1, a2, a3, удаленных от них соответственно на расстояния |x1|, |x2|, |x3| и расположенных в соответствующих знакам чисел x1, x2, x3 полупространствах относительно плоскостей a1, a2, a3. Так как числа xi связаны указанным тождеством, то аналогичная четвертая плоскость a4 проходит через ту же точку.

Для того чтобы некоторая точка была центром касательной к плоскостям граней тетраэдра сферы, необходимо и достаточно, чтобы она была равноудалена от этих плоскостей. В этом случае модули всех чисел xi равны и находятся из равенства (6.23), а по ним указанным способом строится искомый центр. Поэтому в силу этого равенства для существования касательной сферы необходимо и достаточно, чтобы

где ei = ±1 в зависимости от знаков нормальных координат точек указанных 15 областей. Отсюда можно сделать следующие выводы.

1.Во внутренней области тетраэдра (все ei = 1) всегда существует точка J, равноудаленная от граней, являющаяся центром вписанной сферы.

2.Так как площадь каждой грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных граней (п. 1.3, гл. 3), при одной отрицательной

итрех положительных единицах из ei неравенство (6.28) всегда выполняется. Это значит, что в каждой из областей типа II всегда существует точка Ji, равноудаленная от плоскостей aj. Точки Ji являются центрами четырех сфер, касающихся внешним образом соответствующей грани ai

ивнутренним образом трех остальных граней. Касание сферы с гранью

106

называется внутренним или внешним, если эта сфера и противоположная данной грани вершина тетраэдра лежат соответственно в одном или в разных полупространствах относительно плоскости этой грани. Указанные четыре сферы называются вневписанными сферами первого рода данного тетраэдра.

3. Для точек областей типа III три из ei отрицательны и одна положительна, поэтому неравенство (6.28) не выполняется. Следовательно, ни в одной из этих четырех областей не существует точки, равноудаленной от плоскостей ai, и значит, касательной к ним сферы.

4. Если Si + Sj > Sk + Su и ei = ej = 1, ek = eu = −1, то неравенство (6.28) удовлетворяется в области IV типа «крыши», относящейся

кребру AiAj, тетраэдра. В этой области существует точка Jij, равноудаленная от плоскостей a. Из того же неравенства видно, что в этом случае не может существовать такой точки в «крыше», относящейся

кпротивоположному ребру. Точки Jij суть центры сфер, называемых

вневписанными сферами второго рода данного тетраэдра.

Однако при условии Si + Sj = Sk + Su неравенство (6.28) для этих двух облаcтей последнего типа не удовлетворяется и точка Jij не существует. Таким образом, если сумма площадей двух граней равна сумме площадей двух других граней, то не существует одной вневписанной сферы второго рода. В случае равновеликости всех четырех граней не существует ни одной из вневписанных сфер второго рода.

Итак, существует самое большее восемь и самое меньшее пять сфер, касающихся плоскостей граней тетраэдра.

Центрами этих сфер являются точки пересечения биссекторных плоскостей внутренних и внешних двугранных углов тетраэдра, поскольку биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от его граней.

5.2.Зависимость между радиусами вписанной и вневписанных сфер и высотами тетраэдра. Радиусы сфер (J), (Ji), (Jij) будем обозначать соответственно r, ri, rij. При xi = r из тождества (6.23) получаем:

Для центра Ji вневписанной сферы первого рода xi = −ri, xj = xk = = xu = ri и поэтому

107

Для центра Jij вневписанной сферы второго рода xi = xj = rij, xk = xu = = −rij. Значит,

Из равенств (6.30), (6.32) и (6.34) вытекают еще такие соотношения:

которые нетрудно проверить.

§6. Ортоцентрический тетраэдр

6.1.Высоты тетраэдра. Определение и критерий ортоцентрического тетраэдра. В отличие от высот треугольника высоты тетраэдра общего

108

бесконечное множество. Четверка попарно скрещивающихся прямых, обладающая таким свойством, что каждая прямая, пересекающая три из них, пересекает и четвертую или ей параллельна, называется гиперболической четверкой прямых.

Существуют тетраэдры частного вида, в которых высоты пересекаются в одной точке. К ним относятся, например, правильная треугольная пирамида (равнобедренный тетраэдр), а также прямоугольный тетраэдр, в котором три ребра с общей вершиной попарно перпендикулярны.

О п р е д е л е н и е. Тетраэдр, в котором четыре высоты пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим тетраэдром, а точка H пересечения высот называется его ортоцентром.

Множество ортоцентрических тетраэдров не исчерпывается приведенными выше примерами.

Теорема. Для того чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо достаточно, чтобы перпендикуляры к граням этого тетраэдра в их центроидах пересекались в одной точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если G — центроид тетраэдра A1A2A3A4, Gi — центроиды его граней, то тетраэдр G1G2G3G4 гомотетичен дан-

ному тетраэдру с центром гомотетии G и коэффициентом k = −13 . При

этой гомотетии указанные перпендикуляры соответствуют высотам тетраэдра A1A2A3A4. Поэтому его высоты пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда эти перпендикуляры пересекаются в одной точке.

6.2.Вектор ортоцентра. Если H — ортоцентр тетраэдра ABCD

иO — центр его описанной сферы, то

Докажем сначала соотношение (6.38). Пусть 12 (HA + HB + HC +

+ HD) = HX. Тогда AX = HX − HA = 12 (HB + HC + HD − HA) и AX2 = 14 (HA2 + HB2 + HC2 + HD2 + 2HB(HC − HA) + 2HC(HD −

−HA) + 2HD(HB − HA)). Поскольку HB AC, HC AD и HD AB, то HB(HC − HA) = HB · AC = 0, HC(HD − HA) = 0, и HD(HB −

−HA) = 0. Следовательно,

AX2 = 14 (HA2 + HB2 + HC2 + HD2).

109

Это выражение симметрично относительно букв A, B, C, D. Поэтому AX2 = BX2 = CX2 = DX2. Значит, точка X совпадает с точкой O. Этим равенство (6.38) доказано. А из него следует равенство (6.37):

HO = 12 ((HO + OA) + (HO + OB) + (HO + OC) + (HO + OD)),

откуда OH = 12 (OA + OB + OC + OD).

Следствие 1. В ортоцентрическом тетраэдре точки O, G, H лежат на одной прямой (прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра)

и G — середина OH.

Действительно, из равенств (6.1) и (6.37) следует OG = 12 OH.

6.3. Характеристические свойства ортоцентрического тетраэдра.

В ортоцентрическом и только в ортоцентрическом тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны в каждой из трех пар.

Пусть высоты тетраэдра пересекаются в точке H. Рассмотрим две его высоты CC1 и DD1 (рис. 84). Грани ABC и ABD перпендикулярны плоскости CDH, поэтому их общее ребро

DAB перпендикулярно этой плоскости и, значит, AB CD. С равным правом BC AD

Bэдра, которые поэтому пересекаются. Если

BC AD и AC BD, то по аналогичной причине будут пересекаться любые две высоты данного тетраэдра. Так как они не лежат в одной плоскости, то

они необходимо пересекаются в одной точке (задача 1.6).

На основании доказанного свойства ортоцентрический тетраэдр называется также ортогональным тетраэдром.

Следствие 2. В ортоцентрическом тетраэдре и только в таком тетраэдре основания высот являются ортоцентрами его граней.

Характеристическое свойство ортогональности противоположных ребер ортоцентрического тетраэдра позволяет его построить следующим способом. Пусть даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые a и a1.

Построим произвольную пересекающую их прямую b, но не перпендикулярную им, затем некоторую плоскость g, перпендикулярную прямой b, но не содержащую точки B = b ∩ a1 и D = b ∩ a (рис. 85). Она

110