element_geometrija_stereometrija_tom_2

= h — высота параллелепипеда, а |p| = S — площадь соответствующей грани. Поэтому |abc| = Sh = V — объем этого параллелепипеда.

§2. Алгебраические свойства смешанного

ивекторного произведений

2.1.Алгебраические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение компланарных векторов не изменяется при любой перестановке его сомножителей, поскольку оно равно нулю.

Пусть векторы a, b, c некомпланарны. Параллелепипед, построенный на них как на ребрах, при изменении порядка векторов остается без изменения. Следовательно, модуль смешанного произведения векторов не изменяется при любой их перестановке. Знак же смешанного произведения заменяется на противоположный, если меняется ориентация тройки векторов. Поэтому

abc = bca = cab, abc = −acb = −cba = −bac,

откуда

acb = cba = bac.

Таким образом, смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке сомножителей и изменяет знак на противоположный при перестановке двух сомножителей, сохраняя при этом свой модуль.

Так как abc = bca = cab, то согласно определению смешанного произведения (a × b)c = (b × c)a = (c × a)b. В силу коммутативности скалярного произведения

abc = (a × b)c = a(b × c) = (c × a)b.

Следовательно, знак × векторного умножения внутри смешанного произведения может быть поставлен между любыми двумя его сомножителями.

Пусть c = c1 + c2. В силу дистрибутивности скалярного умножения имеем: abc = (a × b)(c1 + c2) = (a × b)c1 + (a × b)c2 = abc1 + abc2, т.е. смешанное произведение дистрибутивно относительно сомножителя c. Используя предыдущее свойство, аналогично убеждаемся, что смешанное произведение дистрибутивно относительно любого его сомножителя.

81

Аналогично доказывается ассоциативное свойство:

(la)bc = a(lb)c = ab(lc) = l(abc),

где l — любое действительное число.

2.2. Алгебраические свойства векторного произведения.

Лемма. Если ar = br для данных векторов a и b и любого (переменного) вектора r, то a = b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство ar = br эквивалентно (a − b)r = 0. Постоянный вектор a − b ортогонален переменному вектору r тогда и только тогда, когда вектор a − b нулевой, т. е. при a = b.

Докажем ассоциативное свойство векторного произведения:

(la) × b = l(a × b).

Для этого воспользуемся ассоциативностью смешанного произведения:

(la)br = l(abr),

где a и b — заданные векторы, r — произвольный (переменный) вектор. На основании ассоциативного свойства скалярного умножения векторов

(la × b)r = l((a × b)r) = (l(a × b))r.

Тогда по предыдущей лемме имеем: la × b = l(a × b). Для доказательства дистрибутивного свойства

воспользуемся дистрибутивным свойством смешанного произведения

(a + b)cr = acr + bcr,

где a, b, c — данные векторы, r — переменный вектор. Отсюда на основании дистрибутивного свойства скалярного умножения имеем:

((a + b) × c)r = (a × c)r + (b × c)r = ((a × c) + (b × c))r.

Так как равенство этих скалярных произведений выполняется для любого вектора r, то на основании леммы получаем равенство (5.5).

В качестве полезного примера докажем следующий факт.

З а д а ч а. Сумма векторов n1, n2, n3, n4, перпендикулярных соответственно граням BCD, CDA, DAB, ABC тетраэдра ABCD, направленных в его внешнюю область и имеющих модули, численно равные площадям соответственных граней, равна нуль-вектору.

82

Ре ш е н и е. Рассмотрим векторы DA = a, DB = b, DC = c, AB =

=b − a, AC = c − a. Пусть (a, b, c) — правая тройка. Тогда 2n1 = c × b,

2n2 = a× c, 2n3 = b× a, 2n4 = (b− a) ×(c− a) = (b× c) −(b× a) −(a× c) + + (a × a) = −c × b − b × a − a × c. Теперь уже ясно, что 2(n1 + n2 + n3 + + n4) = 0.

§3. Векторное и смешанное произведения

впрямоугольных декартовых координатах

3.1. Координатная формула векторного произведения. Пусть i, j, k — базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат: |i| = |j| = |k| = 1 и ij = j k = ik = 0. Если тройка (i, j, k) — правая, то по определению векторного произведения

Пусть даны векторы a = a1 i + a2 j + a3 k и b = b1 i + b2 j + b3 k. Пользуясь дистрибутивным и ассоциативным свойствами векторного умножения и формулами (5.6) и (5.7), получаем:

a × b = (a1 i + a2 j + a3 k) × (b1 i + b2 j + b3 k) =

= (a2b3 − a3b2)i − (a1b3 − a3b1)j + (a1b2 − a2b1)k.

Коэффициенты при i, j, k суть координаты векторного произведения a × b. Они являются определителями второго порядка:

3.2. Координатное представление смешанного произведения. Пусть векторы a, b, c заданы своими декартовыми координатами: a(a1, a2,

a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3). На основании формулы (5.8) и координатной формулы скалярного произведения имеем:

83

Правая часть представляет собой разложение определителя третьего порядка:

a1 a2 a3

c1 c2 c3

Это и есть искомая формула.

§4. Сложные произведения векторов

4.1.Двойное векторное произведение. Вектор a × b можно снова умножить векторно на некоторый вектор c: (a × b) × c. Это произве-

Далее найдем координаты правой части (5.10). Так как ac = ac1 и bc = = b1c1 + b2c2, то b(ac) − a(bc) = (b1 i + b2 j)ac1 −ai(b1c1 + b2c2) = −ab2c2 i +

+ ab2c1 j. Следовательно, равенство (5.10) истинно для a ,b. Если a k b,

то b = la и оно проверяется без использования координат: (a × b) × c = = 0 × c = 0, чему равна и его правая часть.

Скобки в двойном векторном произведении могут быть поставлены иначе: a × (b × c). Тогда a × (b × c) = −(b × c) × a и по формуле (5.10) получаем:

a × (b × c) = −(c(ab) − b(ac)) = b(ac) − c(ab),

что не совпадает с (5.10). Итак,

84

Формулам (5.10) и (5.11) можно дать общую формулировку: двойное векторное произведение равно разности среднего вектора, умноженного на скалярное произведение двух крайних, и другого вектора скобки, умноженного на скалярное произведение двух оставшихся.

4.2. Скалярное произведение двух векторных произведений. Произведение (a × b)(p × q) есть смешанное произведение (a × b)r, где r = p × q. Поэтому

(a × b)(p × q) = (a × b)r = a(b × r) = a(b × (p × q)) =

=a(p(bq) − q(bp)) = (ap)(bq) − (aq)(bp).

(a × b) × (p × q) = b(a(p × q)) − a(b(p × q)) =

=b(apq) − a(bpq). (5.13)

Можно также применить и формулу (5.11):

4.4. Квадрат смешанного произведения. Используя (5.10) и тождество (ab)2 = a2 b2 − (a × b)2, получаем последовательно:

(abc)2 = ((a × b)c)2 = (a × b)2 c2 − ((a × b) × c)2 =

=(a2 b2 − (ab)2)c2 − (b(ac) − a(bc))2 =

=a2 b2 c2 − c2(ab)2 − b2(ac)2 − a2(bc)2 + 2(ab)(bc)(ac).

Это выражение есть определитель третьего порядка:

85

§5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов

5.1.Тригонометрия триэдра. Возвратимся к триэдру (гл. 2). Пусть a, b, c — единичные векторы ребер триэдра Oabc и тройка (a, b, c) правая. По определению скалярного произведения

а по определению векторного произведения

Угол Ab между плоскостями Oab и Oac равен углу между перпендикулярными к ним векторами a × b и a × c. Следовательно,

cos Ab= (a × b)(a × c) ,

|a × b||a × c|

(5.18)

так как aac = 0 и |a| = 1. Аналогичные формулы для углов Bb и Cb получаются из (5.18) круговой перестановкой букв a, b, c.

С учетом (5.17) последнюю формулу можно представить в виде:

Произведение трех синусов в левой части есть по определению синус Штаудта Δ(O) триэдра (п. 3.3, гл. 2). Из первой формулы (5.18)

cos Ab· |a × b||a × c| = (a × b)(a × c).

Привлекая формулу (5.12), получаем:

cos Absin b sin g = (aa)(bc) − (ab)(ac).

Поскольку aa = 1, то имеем:

Это — уже известная первая теорема косинусов для триэдра (§ 3 гл. 2).

5.2.Теорема Менелая для триэдра. Предварительно докажем такую

ле м м у: если a, b, c — произвольные некомпланарные векторы, то для того чтобы векторы a + lb, b + mc, c + na были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы lmn = −1.

86

Д о к а з а т е л ь с т в о. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равняется нулю:

(a + lb)(b + mc)(c + na) = abc + lmn(bca) = 0.

Остальные смешанные произведения обратились в нуль по причине компланарности векторов, входящих в каждое из них. Так как abc = = bca 6= 0, то из последнего равенства получаем критерий 1 + lmn = 0 компланарности векторов a + lb, b + mc, c + na.

Переходим к доказательству теоремы Менелая для триэдра.

Теорема. Пусть в плоскостях граней BOC, COA, AOB триэдра O(ABC) проведены прямые OA1, OB1, OC1 через его вершину. Для того чтобы эти прямые лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы

где углы считаются ориентированными соответственно в гранях.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы a1 = b + lc, b1 = c + ma, c1 =

=a + nb коллинеарны указанным прямым. Согласно предыдущей лем-

ме для их компланарности необходимо и достаточно, чтобы lmn = −1. Умножая эти равенства векторно соответственно на a1, b1, c1, находим:

После подстановок и последующих очевидных видоизменений получаем:

А это равносильно (5.21).

5.3. Теорема Чевы для триэдра. Пусть в плоскостях граней BOC,

COA, AOB триэдра O(ABC) проведены соответственно прямые OA1, OB1, OC1 через его вершину. Для того чтобы плоскости AOA1, BOB1, COC1 имели общую прямую, необходимо и достаточно, чтобы

где углы рассматриваются ориентированными в соответственных им гранях.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть по-прежнему указанные прямые коллинеарны векторам a1 = b + lc, b1 = c + ma, c1 = a + nb. Для того чтобы

87

рассматриваемые плоскости проходили через одну прямую, необходимо и достаточно, чтобы перпендикулярные к ним векторы a × a1, b × b1, c × c1 были компланарны. Но так как

a × a1 = a × b − l(c × a),

b × b1 = b × c − m(a × b),

c × c1 = c × a − n(b × c),

то согласно лемме должно быть (−l)(−m)(−n) = −1 или lmn = 1, где l, m, n имеют те же значения, что и в (5.22). Отсюда получаем:

что равносильно доказываемому равенству (5.24).

5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра через косинусы и синусы его двугранных углов. Дан тетраэдр ABCD. Пусть n1, n2, n3, n4 — единичные векторы, перпендикулярные соответственно его граням BCD, CDA, ABD, ABC и направленные в его внешнюю область. Тогда вектор n1 × n2 коллинеарен DC, а вектор

n3 × n4 коллинеарен AB. Поэтому

Поскольку n1 n3 = − cos(DB), n2 n4 = − cos(AC), . . . и |n1 n2| = sin(DC),

|n3 n4| = sin(AB), то предыдущая формула дает требуемое выражение:

Задачи к главе 5

5.1.Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы векторы a + b и a − b были коллинеарны?

5.2.Вычислите площадь треугольника ABC, если его вершины имеют координаты: A(1, 2, 0), B(3, 0, −3), C(5, 2, 6).

5.3.Вычислите расстояние от точки M(5, −6, 2) до прямой AB, если

A(1, −1, 2), B(1, 3, −1).

5.4.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c. Найдите площадь сечения его плоскостью, проходящей через середины трех ребер, имеющих общую вершину.

88

5.5.Докажите, что точки A(1, 2, −1), B(0, 1, 5), C(−1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости, и вычислите площадь четырехугольника

ABCD.

5.6.На трех диагоналях граней параллелепипеда, выходящих из одной его вершины, построен как на ребрах новый параллелепипед. Докажите, что его объем вдвое больше объема первоначального параллелепипеда.

5.7.Вершина параллелепипеда и центры трех не содержащих ее граней являются вершинами некоторого тетраэдра. Найдите отношение его объема к объему данного параллелепипеда.

5.8.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки M и N являются серединами ребер SC и SD. Построена треугольная призма

соснованием AMN и боковым ребром AS. Найдите отношение объема пирамиды к объему этой призмы.

5.9.Докажите, что если (a × b) + (b × c) + (c × a) = 0, то векторы a, b, c компланарны.

5.10. Докажите, что если векторы a × b, b × c, c × a компланарны, то они коллинеарны.

5.11. Докажите, что для любого тетраэдра ABCD имеет место равенство:

S12 AA1 + S22 BB1 + S32 CC1 + S42 DD1 = 0,

где AA1, BB1, CC1, DD1 — векторы его высот, Si — площади соответственных им граней.

5.12.Вершины тетраэдра ABCD имеют координаты: A(2, −4, 5), B(−1, −3, 4), C(5, 5, −1), D(1, −2, 2). Найдите длину высоты AH.

5.13.Даны точки A(2, 3, 1), B(4, 1, −2), C(6, 3, 7), D(−5, −4, 8). Вычислите расстояние от точки D до плоскости ABC.

5.14.Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 задан координатами его вершин A(1, 2, 3), B(9, 6, 4), D(3, 0, 4), A1(5, 2, 6). Найдите угол между диагональю AC1 и плоскостью ABC.

5.15.Тетраэдр ABCD задан координатами векторов AB(0, 1, −1), AC(2, −1, 4), AD(3, 2, 0). Вычислите угол между плоскостями ABC

иABD.

5.16.Даны векторы a(2, −3, 1), b(−3, 1, 2), c(1, 2, 3). Найдите координаты векторов (a × b) × c и a × (b × c).

5.17.Докажите тождество Якоби:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

5.18.Решите задачу 1 пункта 5.2 гл. 2, используя тождество Якоби.

5.19.Докажите равенства 2.13, используя свойства смешанного и векторного произведений векторов.

89

5.20.Точки A1, B1, C1 делят стороны BC, CA, AB треугольника ABC в отношениях a, b, g соответственно. Найдите отношение площадей треугольников A1B1C1 и ABC. При каком условии точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой?

5.21.Если в триэдр вписана некоторая сфера, то три плоскости, каждая из которых проходит через ребро и точку касания этой сферы с противоположной гранью, имеют общую прямую. Докажите.

5.22.Докажите тождество:

ap aq ar

(abc)(pqr) = bp bq br .

cp cq cr

5.23.Докажите теорему об ортооси триэдра (п. 4.4, гл. 2), пользуясь теоремой Чевы для триэдра.

90