element_geometrija_stereometrija_tom_2

проекции вектора AB (рис. 50):

Пусть дана плоскость p и перпендикулярный ей единичный вектор e и пусть p — вектор ортогональной проекции данного вектора r на

плоскость p (рис. 51). Тогда p = r − q, где q — вектор ортогональной проекции вектора r на прямую с направляющим вектором e:

3.2. Решение задач. Формулы (3.14) и (3.15) удобны в применениях. Рассмотрим решения трех следующих задач.

З а д а ч а 1. Докажите, что сумма квадратов ортогональных проекций всех ребер куба на произвольную плоскость постоянна.

Р е ш е н и е. Пусть a, b, c — векторы попарно перпендикулярных трех ребер куба и e — единичный вектор, перпендикулярный плоскости проекций. Тогда сумма квадратов проекций всех 12 ребер куба равна

4(a21 + b21 + c21), где a1, b1, c1 — векторные проекции векторов a, b, c. Согласно (3.15) эта сумма равна 4(a2 −(a e)2 + b2 −(b e)2 + c2 −(c e)2) = = 4(a2 + b2 + c2 − a2 cos2 a − b2 cos2 b − c2 cos2 g), где a, b, g — углы векто-

ра e с векторами a, b, c. Если a — длина ребра куба, то a2 = b2 = c2 = a2 и поэтому искомая сумма равна 12a2 − 4a2(cos2 a + cos2 b + cos2 g). Учитывая тождество (1.1), получаем, что рассматриваемая сумма равна 8a2, т. е. не зависит от выбора плоскости проекций.

61

З а д а ч а 2. Докажите, что сумма квадратов ортогональных проекций всех ребер правильного тетраэдра на произвольную плоскость не зависит от выбора плоскости.

Р е ш е н и е. Построим для данного тетраэдра описанный параллелепипед — куб (п. 3.2, гл. 1). Пусть векторы a, b, c — векторы трех попарно перпендикулярных ребер этого куба. Тогда векторы a+ b, b+ c, c + a, a − b, a − c, b − c есть векторы ребер данного тетраэдра. По формуле (3.15) рассматриваемая сумма c квадратов их проекций равна:

c = (a + b)2 − ((a + b)e)2 + (b + c)2 − ((b + c)e)2 + (c + a)2 − ((c + a)e)2 +

+ (a − b)2 − ((a − b)e)2 + (a − c)2 − ((a − c)e)2 + (b − c)2 − ((b − c)e)2 = = 4(a2 + b2 + c2) − 4((a e)2 + (b e)2 + (c e)2) = 12a2 − 4a2(cos2 a + cos2 b +

+ cos2 g), где a — длина ребра куба, a, b, g — углы векторов a, b, c с вектором e. Так как cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1, то c = 8a2. Если m — длина ребра тетраэдра, то m2 = 2a2 и c = 4m2.

З а д а ч а 3. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного тетраэдра ABCD до произвольной прямой, проходящей через его центр O, не зависит от выбора прямой.

Р е ш е н и е. Пусть e — единичный вектор, коллинеарный заданной прямой. Рассматриваемая сумма квадратов расстояний di от вершин тетраэдра до этой прямой равна сумме квадратов ортогональных проекций векторов OA, OB, OC, OD на плоскость, перпендикулярную вектору e. Рассмотрим куб, описанный около тетраэдра, и векторы a, b, c

ребер куба, направленные в вершины A, B, C. Тогда OD = 12 (a + b + c),

OA = 12 (a − b − c), OB = 12 (b − a − c), OC = 12 (c − a − b) и OA2 = OB2 = = OC2 = OD2 = R2, где R — радиус описанной около тетраэдра сферы.

По формуле (3.15) находим: d21 + d22 + d23 + d24 = 4R2 − 14 ·4((a e)2 + (b e)2 +

+(c e)2) = 4R2 − a2(cos2 a + cos2 b + cos2 g), где a — длина ребра описанного куба, a, b, g — углы заданной прямой с его ребрами, cos2 a + cos2 b +

+cos2 g = 1. Легко подсчитать, что a2 = 43 R2. Следовательно, d21 + d22 +

+d23 + d24 = 83 R2 = const.

Задачи к главе 3

3.1. В тетраэдре ABCD ребра DA, DB, DC попарно перпендикулярны. Докажите, что площадь каждой грани, содержащей вершину D, есть средняя геометрическая величина площади ее ортогональной проекции на плоскость ABC и площади грани ABC.

62

3.2. Докажите, что в прямоугольном тетраэдре ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D имеет место равенство:

S2 = S12 + S22 + S32,

где S — площадь грани ABC. (Стереометрический аналог теоремы Пифагора.)

3.3.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c. Найдите площадь сечения плоскостью, содержащей середины шести его ребер.

3.4.Основание пирамиды — ромб со стороной a. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол величины b. Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами величины a. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.5.Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AD основания и вершину C1. Вычислите площадь сечения, если секущая плоскость наклонена к плоскости основания под углом a, а площадь основания равна S.

3.6.Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной a. Одна из боковых граней также является правильным треугольником

иперпендикулярна плоскости основания. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.

3.7.Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция с боковой стороной a и острым углом a. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами величины b. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

3.8.Основанием пирамиды является равнобочная трапеция, длины оснований которой равны a и b (a>b). Боковые грани наклонены к плоскости основания под равными углами величины a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3.9.Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна S, двугранный угол при основании имеет величину a. Найдите объем пирамиды.

3.10.Докажите, что сумма квадратов площадей ортогональных проекций плоской фигуры на три попарно перпендикулярные плоскости равна квадрату площади этой фигуры.

3.11.В правильном тетраэдре ABCD точка M — середина высоты DH. Докажите, что прямые MA, MB, MC попарно перпендикулярны.

63

3.12.В тетраэдре ABCD ребра DA, DB, DC попарно перпендикулярны и равны, точка H — ортогональная проекция вершины D на плоскость ABC, точка Q симметрична точке H относительно вершины D. Докажите, что тетраэдр QABC правильный.

3.13.В триэдре все плоские углы прямые. Докажите, что треугольник, являющиеся сечением этого триэдра плоскостью, не проходящей через его вершину, остроугольный.

3.14.Постройте прямой триэдр, ребра которого ортогонально проектировались бы на данную плоскость в три заданных луча.

3.15.В правильной треугольной пирамиде угол при вершине равен a, боковое ребро имеет длину l. Вычислите площадь сечения ее плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противолежащему боковому ребру.

3.16.В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро имеет длину l, а двугранный угол при нем равен a. Найдите объем пирамиды.

3.17.В правильной четырехугольной усеченной пирамиде угол между плоскостью, содержащей диагонали оснований, и плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, равен a. Найдите отношение площадей сечений пирамиды этими плоскостями.

3.18.Отношение площади плоской фигуры к площади ее параллельной проекции на некоторую плоскость обратно отношению синусов углов между направлением проектирования и плоскостями данной фигуры и ее проекции. Докажите это утверждение, пользуясь ортогональным проектированием плоскости на плоскость.

3.19.Докажите, что отношение площадей двух фигур, лежащих в одной плоскости, равно отношению площадей их параллельных проекций на другую плоскость.

3.20.В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания. Найдите этот угол. Постройте его циркулем и линейкой. Решите аналогичную задачу для правильной четырехугольной пирамиды.

64

Для примера найдем геометрическое место точек пересечения плоскостей, содержащих данную точку A, со всеми перпендикулярными им прямыми, лежащими в данной плоскости a и пересекающимися в данной точке B.

Пусть точка A не лежит в плоскости a и точка H — ее ортогональная проекция на плоскость a (рис. 52). Пусть M — произвольная точка искомого ГМТ, т. е. M = (BM) ∩ g, BM g, BM a, A g.

По определению a g (п. 2.2, гл. 1). На основании следствия из него

также обладают этим свойством: точка H ле-

Рис. 52

жит в плоскости, проходящей через точку A

иперпендикулярной BH, а точка B лежит в плоскости ABH и на прямой плоскости a и перпендикулярной BH.

Таким образом, искомым ГМТ является окружность в плоскости a с диаметром BH.

Отметим два частных случая. 1) A a. Тогда точки A и H совпадают

иискомым ГМТ является та же окружность. 2) Если точки B и H совпадают, то искомым ГМТ является одна точна B.

1.2.Простейшие ГМТ пространства. Следующие девять ГМТ пространства являются простейшими (в определенном смысле первоначальными).

I. Множество точек пространства, удаленных от данной точки O на заданное расстояние R, есть по определению сфера (O, R) с центром O радиуса R. Ее можно рассматривать и как ГМТ пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

II. Множество точек пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных точек A и B, есть плоскость c, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно этому отрезку (плоскость симметрии точек A и B). Действительно, проведем через прямую AB произвольную плоскость a. Множество точек плоскости a, каждая из которых равноудалена от точек A и B, есть серединный перпендикуляр

66

к отрезку AB. Объединение всех таких перпендикуляров, получаемых во всех плоскостях a, и есть указанная плоскость c.

III. Геометрическое место точек пространства, удаленных от данной плоскости a на данное расстояние h, есть пара плоскостей, параллельных данной плоскости a. Эти же две плоскости можно рассматривать как объединение прямых, каждая из которых параллельна плоскости a и удалена от нее на расстояние h.

IV. ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, делящая пополам любой отрезок с концами на данных плоскостях.

V. ГМТ пространства, удаленных от данной прямой l на данное расстояние r, есть круговая цилиндрическая поверхность с осью l радиуса r. Ее можно рассматривать как объединение всех прямых, каждая из которых параллельна l и удалена от нее на расстояние r, а также как объединение всех окружностей радиуса r с центрами на l в плоскостях, перпендикулярных прямой l.

VI. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых a и b, есть плоскость g, перпендикулярная плоскости p этих прямых и содержащая среднюю линию m полосы между этими прямыми (рис. 53).

b

M

b b

VII. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых a и b, есть пара взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярных плоскости данных прямых и содержаших биссектрисы углов между ними (рис. 54).

VIII. Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся плоскостей, состоит из двух перпендикулярных плоскостей — биссекторных плоскостей двугранных углов между данными плоскостями.

67

§2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми

2.1.Серединная плоскость скрещивающихся прямых. Найдем геометрическое место середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум данным скрещивающимся прямым a и b.

Р е ш е н и е 1. Пусть M — произвольная точка искомого множества, т.е. середина некоторого отрезка AB, A a, B b (рис. 56). Построим пару параллельных плоскостей a и b, содержащих соответственно прямые a и b (п. 3.1, гл. 1). Проведем через

Aточку M плоскость g, параллельную этим

68

a

O

b

Рис. 58

Эта седлообразная поверхность изучается в вузах. Гиперболический параболоид может быть о п р е д е л е н как множество прямых, каждая из которых пересекает три данные попарно скрещивающиеся пря-

69

§3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости

3.1.Окружность Аполлония и сфера Аполлония. Найдем ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек A и B одно и то же (равно данному отношению m : n двух отрезков).

70