element_geometrija_stereometrija_tom_2

× CE2 · BE = 13 p · CE2 · AB. Так как CE · AB = BC · AH, то

1 1

V (T ) = 3 p · CE(BC · AH) = SBC · 3 AH.

Доказанный результат можно представить иначе. Пусть BC = a. По формуле (7.10) SBC = a · 2pr, где r — расстояние от середины E стороны

BC до оси вращения (рис. 108). Тогда V (T ) = 13 ah · 2pr.

131

Расстояние r от центроида G треугольника ABC до оси x вращения

2

равно 3 r, ah = 2SABC. Поэтому

Итак, объем тела вращения треугольника около оси, лежащей в плоскости треугольника, содержащей его вершину и не имеющей внутренних точек треугольника, равен произведению площади треугольника и длины окружности, радиус которой равен расстоянию от центроида треугольника до оси вращения (теорема Г ю л ь д е н а для треугольника).

З а д а ч а. Найдите объем тела, образованного вращением треугольника ABC около прямой, проходящей через вершину C в его плоскости

\

перпендикулярно медиане CM, если CA = b, CB = a, ACB = g.

= 13 pa2 + b2 + 2ab cos g. По формуле (7.12)

V (T ) = 12 ab sin g · 2p · 13 pa2 + b2 + 2ab cos g =

= 13 pab sin gpa2 + b2 + 2ab cos g.

4.3.Объем тела вращения центрально-симметричной фигуры. В своей общей формулировке теорема Гюльдена связана с понятием центра массы площади («центра тяжести») плоской фигуры. Введение этого понятия и доказательство теоремы Гюльдена в общем содержании далеко не элементарны и рассматриваются в высшей школе. Однако для плоской фигуры, имеющей площадь и центр симметрии, центр массы совпадает с центром симметрии. Для этого частного, но часто встречающегося случая теорема Гюльдена имеет такую формули ровку.

Объем тела вращения плоской центрально-симметричной фигуры около прямой, не имеющей с этой фигурой общих ее внутренних точек, равен произведению площади S фигуры и длины окружности, радиус r которой равен расстоянию от центра симметрии фигуры до оси вращения:

V = S · 2pr.

Например, если вращающаяся фигура является кругом радиуса R и ось вращения удалена от его центра на расстояние a, то объем V

132

полученного тора равен

V = pR2 · 2pa = 2p2aR2,

что совпадает с формулой (7.9), полученной по принципу Кавальери. Если вместо круга будем вращать эллипс с длинами a и b его полуосей около прямой, удаленной от его центра на расстояние m > a, то по теореме Гюльдена объем полученного «тора» будет равен:

V= pab · 2pm = 2p2abm,

Всилу равенства площадей треугольников, на которые разбивается данный треугольник соединением его вершин с центроидом, центр массы однородной треугольной пластинки совпадает с ее центроидом. Поэтому при использовании формулы (7.12) для объема тела вращения треугольника условие, чтобы ось вращения содержала вершину данного треугольника, не является обязательным. Осью вращения может служить любая прямая, не пересекающая треугольник при той же формуле (7.12) объема полученного тела вращения.

4.4. Эквивалентная замена вращающейся фигуры. В предыдущем изложении необходимым условием была принадлежность оси вращения плоскости вращающейся фигуры. Если это условие не выполнено, то можно заменить вращающуюся фигуру другой фигурой так, чтобы ее плоскость содержала данную ось, а объем полученного тела вращения остался без изменения.

Теорема. Пусть ось x вращения является линией пересечения двух перпендикулярных плоскостей a и b и плоскость g данной фигуры F перпендикулярна плоскости b, а F1 — ортогональная проекция фигуры F на плоскость a. Тогда объем тела вращения фигуры F около оси x равен объему тела вращения фигуры F1 около оси x.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть некоторая плоскость d, перпендику-

лярная оси x, пересекает фигуру F по отрезку AB, а фигуру F1 — по отрезку A1B1 (рис. 109). Так как AB k a, то A1B1 = AB. Тело T , образованное вращением фигуры F около оси x, пересекается с плоскостью d по кольцу K, которое получается при вращении отрезка AB. Пусть

(AB) ∩ b = C и (A1B1) ∩ x = C1. Тогда AC12 − AC2 = BC12 − BC2 = CC12. Поэтому площадь кольца K равна p(AC12 − BC12) = p(AC2 − BC2). Ана-

логично тело T1, образованное вращением фигуры F1 около оси x, пересекается с плоскостью d по кольцу K1, площадь которого равна p(A1C12 − B1C12) = p(AC2 − BC2), т.е. равна площади кольца K. Согласно принципу Кавальери объемы тел T и T1 равны.

Следовательно, фигуру F можно заменить ее ортогональной проекцией F1 так, что x a и V (T1) = V (T ). Кроме того, фигуру F мож-

133

но, очевидно, заменить ее образом при переносе параллельно плоскости b.

З а д а ч а. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого имеет длину a. Вычислите объем тела вращения треугольника AA1C1 около прямой AB (рис. 110).

Р е ш е н и е. Условия теоремы выполняются для плоскостей a = = (AB1A1), b = (ABC) и g = (AA1C1). Согласно этой теореме объем тела вращения треугольника AA1C1 около прямой AB равен объему тела вращения треугольника AA1B1 около прямой AB. А последний вычисляется непосредственно как разность объемов цилиндра и конуса:

V= pa2 · a − 13 pa2 · a = 23 pa3.

4.5.Замена оси вращения. Объем V (Tx) тела, полученного вращением фигуры F около оси x, не лежащей в ее плоскости, равен объему V (Tl) тела, полученного вращением этой фигуры около ортогональной

проекции l оси x на плоскость фигуры F , умноженному на cos f, где f — угол наклона оси x к плоскости фигуры F .

Д о к а з а т е л ь с т в о. При построениях, выполненных для доказательства предыдущей теоремы (п. 4.4, рис. 109) прямая l пересечения плоскостей b и g является ортогональной проекцией оси x на плоскость g фигуры F . Если Q — центр симметрии (или центр массы) фигуры F , то его ортогональная проекция Q1 на плоскость a есть центр симметрии (центр массы) фигуры F1. Точки Q и Q1 равноудалены от плоскости b на расстояние r. Тогда по теореме Гюльдена V (Tl) = S(F ) · 2pr

134

и V (T1) = S(F1) · 2pr, где T1 — тело вращения фигуры F1 около оси x. Но S(F1) = S(F ) cos f, так как угол f есть угол между плоскостями g и a. Тогда V (T1) = S(F )2pr · cos f = V (Tl) cos f. Согласно предыдущей теореме V (T1) = V (Tx). Следовательно,

V (Tx) = V (Tl) cos f,

что и необходимо было доказать. З а д а ч а 1. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 имеет длину a. Найдите объем тела T , полученного вращением треугольника A1B1C1 около

диагонали AC1 куба (рис. 110).

Замена оси вращения может играть еще и другую роль — роль средства для нахождения центра массы плоской фигуры с использованием теоремы Гюльдена об объеме тела вращения: объем тела вращения плоской фигуры около непересекающей ее прямой, лежащей в плоскости данной фигуры, равен произведению площади фигуры и длины окружности, радиус которой равен расстоянию от центра массы фигуры до оси вращения.

В этой книге элементарного характера не даем математического определения понятия центра массы фигуры. Ограничимся лишь его физической иллюстрацией. Если данную фигуру представить как тонкую материальную пластинку однородной массы, то центром ее массы является такая точка, при подстановке в которую снизу точечной опоры эта фигура остается в равновесии. В частности, если данная фигура имеет ось симметрии, то центр ее массы принадлежит этой оси симметрии.

Разумеется, центр массы фигуры не связан с ее вращением и потому не может зависеть от оси вращения. Если ось вращения выбрать так, что полученное тело вращения имеет известный объем, то теорема Гюльдена позволит вычислить расстояние от оси вращения до центра массы. Тогда по этой же теореме можно найти объем тела вращения данной фигуры относительно другой оси. Вот пример.

135

lЗ а д а ч а 2. Вычислите объем тела вращения по-

откуда r = 43Rp . По той же теореме, но уже для другой оси l вращения, указанной в условии задачи, искомый объем V равен

V = 12 pR2 · 2p(R − r) = p2R2 R − 43Rp = 13 pR3(3p − 4).

Задачи к главе 7

7.1.В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна S,

аугол между высотой и образующей равен a. Найдите объем шара.

7.2.Если в шаровом секторе площадь осевого сечения равна третьей части площади большого круга, то его объем равен четверти объема шара. Докажите.

7.3.Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит конус на две равновеликие части. Найдите угол между образующей конуса и его высотой.

7.4.Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы частей шара.

7.5.Плоскость делит перпендикулярный ей диаметр шара в отношении l. В каком отношении эта плоскость делит объем шара?

7.6.Сфера касается четырех ребер куба, принадлежащих одной его грани, и касается противоположной грани. Найдите отношение объема куба к объему шара, ограниченного данной сферой.

7.7.Шар касается всех ребер куба. Найдите объем части шара, заключенной внутри куба, если его ребро имеет длину 2a.

7.8.Найдите отношение объема шарового сегмента к объему шара, если дуга осевого сечения сегмента соответствует центральному углу a.

7.9.Вычислите объем пересечения двух равных шаров радиуса R, расстояние между центрами которых равно 2a.

136

7.10.Сегмент круга, вмещающий угол 135◦, вращается около диаметра, проходящего через конец хорды этого сегмента. Найдите объем тела вращения, если длина хорды равна a.

7.11.В шаровой сектор вписан шар. Найдите отношение их объемов, если центральный угол сектора равен a.

7.12.Конус и полушар имеют общее основание и лежат в одном полупространстве от его плоскости. Радиус полушара равен R, а образующая конуса равна диаметру основания. Вычислите объем пересечения конуса и полушара.

7.13.Вычислите отношение объемов тел вращения треугольника около его стороны и около прямой, проходящей через его вершину параллельно данной стороне.

7.14.Докажите, что отношение объемов тел вращения параллелограмма около его смежных сторон обратно отношению длин этих сторон.

7.15.Касательная к окружности в точке C пересекает прямую, содержащую диаметр AB, в точке D. Определите объем тела вращения треугольника ACD около прямой AB, если радиус окружности равен R, а дуга BC содержит 60◦.

7.16.Площадь поверхности вращения центрально-симметричного многоугольника около непересекающей его прямой, лежащей в плоскости этого многоугольника, равна произведению его периметра и длины окружности, радиус которой равен расстоянию от центра симметрии многоугольника до оси вращения (теорема Г ю л ь д е н а). Докажите.

7.17.Правильный шестиугольник вращается около прямой, лежащей

вего плоскости, параллельной его стороне и удаленной от нее на длину апофемы. Вычислите площадь поверхности и объем тела вращения, если длина стороны шестиугольника равна a.

7.18.Прямоугольник вращается около прямой, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения, если длина диагонали равна d, а угол между ними равен f.

7.19.Квадрат ABCD со стороной a вращается около прямой, удаленной от ближайшей его вершины A на расстояние b и составляющей угол a со стороной AB. Найдите площадь поверхности и объем тела вращения.

7.20.Ромб со стороной a и острым углом a вращается около прямой,

лежащей в плоскости ромба, параллельной его стороне и удаленной от нее на расстояние a4 . Вычислите объем и площадь поверхности тела вращения.

137

7.21.Параболоидом вращения называется тело вращения параболы y = kx2 около оси Oy. Пользуясь формулой Ньютона–Симпсона, найдите объем сегмента параболоида вращения при 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 h.

7.22.Докажите формулу объема параболоида вращения, полученную в предыдущей задаче, по принципу Кавальери, сравнив его с прямой треугольной призмой высотой h, основанием которой является прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом a.

7.23.Найдите объем тела, полученного вращением круга радиуса R около оси, наклоненной к его плоскости под углом f, если ортогональная проекция оси на его плоскость удалена от центра круга на расстояние m > R.

7.24.Найдите объем тела, полученного вращением куба с ребром a около его диагонали.

7.25.Плоскость a параллельна плоскости основания цилиндра, имеющего радиус R и высоту 2R, и удалена на 2R от центра цилиндра. Прямая l лежит в плоскости a и находится на расстоянии 2R от проекции центра цилиндра на плоскость a. Найдите объем тела, полученного вращением цилиндра около оси l.

7.26.Четверть круга радиуса R вращается около касательной к его дуге в середине этой дуги. Вычислите объем полученного тела вращения.

138

1.2. Малые окружности сферы. Плоскость a, не содержащая центр данной сферы и пересекающая ее, пересекает сферу по окружности, называемой малой окружностью сферы. Пусть P P1 — диаметр сферы, перпендикулярный плоскости a малой окружности g, (P P1) ∩ a = Q (рис. 113). Точка Q есть центр окружности g (в плоскости a). Кроме того, малая окружность g имеет еще два сферических центра — точки P и P1, так как все дуги P N для любой точки N g равны и все дуги P1N также равны. Меньшая из этих дуг (ее радианная мера меньше p2 ) называется сферическим радиусом малой окружности g.

Через всякие три точки сферы, не лежащие на большой окружности, проходит единственная малая окружность сферы.

В самом деле, через три данные точки сферы проходит единственная плоскость, которая пересекает сферу по малой окружности, т. к. по условию они не лежат на большой окружности.

Теорема 2. Для каждой точки A малой окружности сферы существует единственная ее большая окружность, касающаяся данной малой окружности в точке A и перпендикулярная ее сферическому радиусу, проведенному в точку касания (рис. 114).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Две окружности сферы называются касательными друг другу, если они имеют единственную общую точку. В точке касания они имеют общую касательную прямую — линию пересечения плоскостей данных окружностей.

Пусть дана малая окружность g сферы и на ней точка A. Проведем к окружности g в точке A касательную t. Она принадлежит плоскости этой окружности. Центр O сферы и прямая t определяют плоскость искомой большой окружности w, касающейся g в точке A. Очевидно, эта окружность w единственная. Если P — сферический центр окружно-

140