С градиентным профилем

Длина пути (измеряется вдоль траектории между точками и и оптическая длина пути определяются интегралами по траектории:

(5.40)

где - расстояние вдоль траектории. Заменяянаиз (5.34) инаиз (5.38), получаем

(5.41)

Полупериод траектории луча можно получить из (5.39) в виде

(5.42)

Отсюда определяется и количество точек поворота траектории луча на единицу длины волновода

(5.43)

В случае симметричного профиля интеграл вычисляется в пределах , а результат удваивается.

Локальный критический угол скольжения.

При рассмотрении волноводов с градиентным профилем вводится дополнительный параметр – локальный критический угол скольжения.

Ранее отмечалось, что в любой точке поперечного сечения сердцевины волновода со ступенчатым профилем все направляемые лучи распространяются под углами к оси волновода, значения которых лежат в интервале где- критический угол скольжения.

Для волноводов с градиентным профилем область значений углов направляемых лучей изменяется в зависимости от положения луча в поперечном сечении. На оси указанная область определяется выражением (5.33), а на границе сердцевины все направляемые лучи имеют, то есть они параллельны оси волновода. Соответственно определим локальный критический угол скольжения, как

(5.44)

В результате интервал углов направляемых лучей в точке с координатой определяется следующим образом:

(5.45)

При выражение (5.45) сводится к (5.33), а при

3. Время прохождения луча

Время прохождения луча в волноводах с градиентным профилем определяются интегралом вдоль искривленной траектории луча (см. рис. 5.30). Локальная скорость света непрерывно изменяется по закону , где– скорость света в свободном пространстве и- профиль показателя преломления. Итак, время прохождения луча на расстояниевдоль оси волновода определяется интегральным выражением

(5.46)

Оно получено с помощью уравнения (5.34). Здесь интегрирование выполняется вдоль кривой . Этот интеграл не имеет простого представления, но его можно аппроксимировать. Из выражения (5.40) следует, что время прохождения луча на расстояние равное полупериоду траектории, составляет, где- оптическая длина пути. Таким образом, еслиточно кратно полупериоду траектории, то время прохождения луча можно представит выражением

(5.47)

В общем случае не кратно, однако привыражение (5.47) может служить достаточно точным приближением для (5.46).

Выравнивание времени прохождения.

В волноводах с градиентным профилем происходит выравнивание времени прохождения для различных лучей, что легко объяснить.

Так как уменьшается при удалении от оси, то чем дальше от оси распространяется луч, тем больше локальная скорость светаТакое увеличение скорости частично компенсирует увеличение длины пути неосевых лучей, а в случае гиперболического секансного профиля (как будет показано позже) происходит полное выравнивание.

Дисперсия материала.

Обобщим и влияние дисперсии материала на групповую скорость, рассмотренное ранее для ступенчатого профиля.

Профиль в первом интеграле правой части выражения (5.46) необходимо заменить групповым показателем. Следовательно,

(5.48а)

Далее, повторяя рассуждения, используемые при выводе выражений (5.47) и (5.46) получаем

(5.48б)

Таким образом, (дисперсная длина пути) заменяет оптическую длину путив выражении (5.47).

4. Слабонаправляющие волноводы

Оптические волноводы, используемые в технике связи, обычно являются слабонаправляющими, то есть перепад между максимумом и минимумом показателя преломления в поперечном сечении мал и обычно не превосходит 1% от максимального значения. В следующем разделе будут часто использоваться вытекающие отсюда преимущества, так как это позволяет значительно упростить алгебраические выражения и решать задачи, которые в общем случае не могут быть решены аналитически. Здесь рассматриваются некоторые особенности такого приближения применительно к лучевому анализу.

Параксиальное приближение.

Если максимальное и минимальное значения показателя преломления близки, то из выражений (5.12) и (5.32) следует, что критические углы скольжения ималы и справедливо следующее соотношение:

(5.49)

аналогичное соотношение получается для . Таким образом, интервал углов направляемых лучей в выражениях (5.14) и (5.33) мал, и любой направляемый луч распространяется почти параллельно оси. Такое приближение называетсяпараксиальным.

Параксиальное приближение не приводит к упрощению уравнений (5.28), поскольку, как видно из выражения (5.39), - константа, апринимает значения, уменьшающиеся вплоть до. Однако оно позволяет упростить выражения для путив выражении (5.41) при использовании указанной ниже аппроксимации. Профиль может быть описан следующим образом:

(5.50)

где – максимальное значение показателя преломления,- неотрицательная функция, а- константа, определяемая с учетом (5.12) соотношением

(5.51)

В однородной оболочке , а. Такое определениепредполагает выполнение условияв приближении слабонаправляющего волновода, то есть условие. Таким образом, в низшем порядке приближения величинапредставляет собой относительный перепад междуи, то есть

(5.52)

и характеризует относительную высоту профиля, поэтому параметр называетсяпараметром высоты профиля (см. рис.5.32).

Рис. 5.32. Параметр высоты профиля

При из выражения (5.50) получаем приближенное соотношение

(5.53)

которое будет использовано при определении .

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВОДЫ

В изложенном материале исследовано распространение лучей в планарных волноводах в предположении, что профиль показателя преломления симметричный, то есть . Однако изложенные методы построения лучей траектории лучей применимы для анализа волноводов снесимметричным профилем. Единственное существенное отличие заключается в том, что в случае симметричного профиля для определения полной траектории достаточно рассчитать путь луча только на полупериоде, в то время как для построения траектории луча в несимметричном волноводе необходимо знать путь луча на полном периоде траектории. Параметры траектории для несимметричного профиля определяются с помощью соответствующей модификации выражений для симметричных волноводов.