Эйконал (от греч. eikon — изображение) (в геометрической оптике), функция, определяющая оптическую длину пути луча света между двумя произвольными точками, одна из которых А принадлежит пространству предметов (объектов), другая A' — пространству изображений, как показано на рис.1.

Применение эйконала при расчётах оптических системдаёт возможность, дифференцируя его по определённым параметрам, найти выражения для некоторых основных (т. н. поперечных)аберраций оптических систем.

Аберрация оптических систем – это ошибка или погрешность изображения в оптической системе, вызываемая отклонением луча от того направления, по которому он должен был идти в идеальной оптической системе.

Функции, называемые эйконалом, широко используются в электронной и ионной оптикев рамках общей аналогии, существующей между нею и классической оптикой, а также при описании процессов рассеяния частиц и волн (метод эйконала, эйкональное приближение в квантовой механике и квантовой теории поля), где тоже возникают аналогии с оптикой.

а) б) в) г)

Рис. 1. Аберрация оптических систем

На рис. 1а условно показан случай определения траектории светового луча А A', когда свойствами преломления среды можно пренебречь. На рис. 1б показана траектория светового луча в среде со ступенчатым преломлением. В этих случаях не требуется применение уравнения эйконала.

На рис. 1в, 1г показаны случаи градиентного преломления светового луча. Здесь описание процессов рассеяния и преломления лучей невозможно без использования метода эйконала.

Плоская монохроматическая электромагнитная волна отличается тем свойством, что направление ее распространения, характеризуемое волновым вектором и амплитудой везде одинаковы

(1)

Произвольные электромагнитные волны этим свойством конечно не обладают. Однако, часто электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, тем не менее, таковы, что их можно рассматривать как плоские в каждом небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялось на протяжении расстояний порядка длины волны .

Рис. 2. Лучи и волновые поверхности

Если выполнено это условие, то можно ввести, так называемые волновые поверхности, во всех точках которых фаза волны в данный момент времени одинакова (для плоской волны это плоскости, перпендикулярные к направлению ее волнового вектора ). В каждом небольшом участке пространства можно говорить о направлении распространения волны, нормальном к волновой поверхности. При этом можно ввести понятие лучей – линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны, как показано на рис. 2.

Изучение законов распространения волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики. Геометрическая оптика рассматривает распространение электромагнитных волн, в частности света, как распространение лучей, совершенно отвлекаясь при этом от их волновой природы. Другими словами, геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн, .

Выведем теперь основное уравнение геометрической оптики, уравнение, определяющее направление лучей. Пусть - любая из величин описывающих поле волныВ плоской монохроматической волне имеет вид

(2)

Запишем выражение (2) для поля в более общем виде, но аналогичном этому

(3)

В случае, когда волна не плоская, но геометрическая оптика применима, амплитуда является функцией координат и времени, а фаза , называемаяэйконалом, не имеет такого простого вида как . Очень важно, однако, что эйконал является большой величиной. Это видно уже из того, что он меняется нана масштабах длины волны, а геометрическая оптика соответствует пределу(то есть все расстояния считаются много больше

В малых участках пространства и интервалах времени эйконал можно разложить в ряд с точностью до членов первого порядка. Имеем

(4)

Начало координат выбрано в рассматриваемом участке пространства и интервала времени. Сравнивая это с выражением для плоской волны

(5)

можно записать

(6)

С другой стороны, для плоской волны имеет место соотношение

(7)

Поэтому

(8)

Это и есть уравнение эйконала – одно из основных уравнений геометрической оптики.

Если волна обладает определенной постоянной частотой , то зависимость поля волны от времени определяется множителемПоэтому, для эйконала такой волны мы можем написать

(9)

где - функция только от координат. В этом частном случае уравнение эйконала принимает вид

(10)

Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, то есть семейством поверхностей вида

(11)

Лучи в каждой точке нормальны к соответствующей волновой поверхности; их направление определяется градиентом .

Лит.: Борн М., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., М., 1973; Кельман В. М., Явор С. Я., Электронная оптика, 3 изд., Л., 1968; Гольдбергер М., Ватсон К., Теория столкновений, пер. с англ., М., 1967.

Д.А. Паршин, Г.Г. Зегря. Уравнение Эйконала

А

Изображение

Предмет

А^Ꞌ

В зависимости от выбора параметров различают: точечный Э., или эйконал У. Р. Гамильтона (гамильтонова характеристическая функция от координат х, у, z; x', y', z' точек А и A'); угловой эйконал Г. Э. Брунса (функция угловых коэффициентов µ, v; µ', v' луча); более сложный эйконал К. Шварцшильда и ряд др.

Уравнение эйконала (др.-греч. εἰκών) — это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью теории ВКБ. Оно является следствием уравнений Максвелла, и связывает волновую оптику с геометрической оптикой. Уравнение эйконала может быть представлено в форме:

, где

есть подмножество в ,

- функция с положительными значениями,

- обозначает градиент, |...| - Евклидова норма.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКОЕ

картина, получаемая в результате прохождения через оптическую систему лучей, распространяющихся от объекта, и воспроизводящая его контуры и детали. При практич. использовании И. о. пользуются возможностью изменения масштаба изображений предметов и их проектирования на поверхность (киноэкран, фотоплёнку, фотокатод и т. д.). Основой зрит. восприятия предмета явл. его И. <о., спроектированное на сетчатку глаза.

Макс. соответствие изображения объекту достигается, когда каждая его точка изображается точкой. Иными словами, после всех преломлений и отражений в оптич. системе лучи, испущенные светящейся точкой, должны пересечься в одной точке. Однако это возможно не при любом расположении объекта относительно системы. Напр., системы, обладающие осью симметрии (оптической осью), дают точечные И. о. лишь тех точек, к-рые находятся на небольшом угловом удалении от оси, в т. н. параксиальной области. Применение законов геометрической оптики позволяет определить положение И. о. любой точки из параксиальной области; для этого достаточно знать, где расположены кардинальные точки системы.

Совокупность точек, И. о. к-рых можно получить с помощью оптич. системы, образует пространство объектов, а совокупность точечных изображений этих точек — пространство изображений.

И. о. разделяют на действительные и мнимые. Первые создаются сходящимися пучками лучей в точках их пересечения. Поместив в плоскости пересечения лучей экран или фотоплёнку, можно наблюдать на них действит. И. о. В др. случаях лучи, выходящие из оптич. системы, расходятся, но если их мысленно продолжить в противоположную сторону, они пересекутся в одной точке. Эту точку наз. мнимым изображением точки-объекта; т. к. она не соответствует пересечению реальных лучей, то мнимое И. о. невозможно получить на экране или зафиксировать на фотоплёнке. Однако мнимое И. <о. способно играть роль объекта по отношению к др. оптич. системе (напр., глазу или собирающей линзе), к-рая преобразует его в действительное.

Образование оптич. изображений: а — мнимого изображения М' точки М в плоском зеркале; б — мнимого изображения М' точки М в выпуклом сферич. зеркале; в — мнимого изображения М' точки М и действительного изображения N' точки N в вогнутом сферич. зеркале; г — действительного А'В' и мнимого М'N' изображений предметов АВ и MN в собирающей линзе; д — мнимого изображения M'N' предмета MN в рассеивающей линзе; i, j — углы падения лучей; i', j'—углы отражения; С — центры сфер; F, F' — фокусы линз.

Оптич. объект представляет собой совокупность светящихся собственным или отражённым светом точек. Зная, как оптич. система изображает каждую точку, легко графически построить и изображение объекта в целом.

И. о. действит. объектов в плоских зеркалах — всегда мнимые (рис., а); в вогнутых зеркалах и собирающих линзах они могут быть как действительными, так и мнимыми, в зависимости от положения объектов относительно фокуса зеркала или линзы (рис., в, г). Выпуклые зеркала и рассеивающие линзы дают только мнимые И. <о. действит. объектов (рис., б, д). Положение и размеры И. о. зависят от хар-к оптич. системы и расстояния между нею и объектом (см. УВЕЛИЧЕНИЕ ОПТИЧЕСКОЕ). Лишь в случае плоского зеркала И. о. по величине всегда равно объекту.

Если точка-объект находится не в параксиальной области, то исходящие из неё и прошедшие через оптич. систему лучи не собираются в одну точку, а пересекают плоскость изображения в разных точках, образуя аберрационное пятно (см. АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ); размеры этого пятна зависят от положения точки-объекта и конструкции системы. Безаберрационными (идеальными) оптич. системами, дающими точечное изображение точки, явл. только плоские зеркала. При конструировании оптич. систем аберрации исправляют, т. е. добиваются, чтобы аберрац. пятна рассеяния не ухудшали в заметной степени картины изображения; однако полное уничтожение аберраций невозможно.

Сказанное выше строго справедливо лишь в рамках геом. оптики (не учитывающей волн. явлений, напр. дифракции света), к-рая явл. хотя и достаточно удовлетворительным во мн. случаях, но всё-таки лишь приближённым способом описания явлений, происходящих в оптич. системах. Более детальное рассмотрение микроструктуры И. <о., принимающее во внимание волн. природу света, показывает, что изображение точки даже в идеальной (безаберрационной) системе представляет собой не точку, а сложную дифракц. картину (подробнее (см. РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ)).

Для оценки кач-ва И. <о., получившей большое значение в связи с развитием фотогр., телевиз. и пр. методов, существенно распределение плотности световой энергии в изображении. С этой целью используют особую хар-ку — контраст

k=(Eмакс-Eмин)/(Eмакс+Eмин),

где Eмин и Eмакс — наименьшее и наибольшее значения освещённости в И. о. стандартного тест-объекта; за такой объект обычно принимают решётку, яркость к-рой меняется по синусоидальному закону с частотой R (число периодов решётки на 1 мм). Контраст k зависит от R и направления штрихов решётки. Ф-ция k(R) наз. частотно-контрастной характеристикой. Чем меньше k при заданной R, тем хуже кач-во И. о. в данной системе.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ОПТИЧЕСКОЕ

- картина, получаемая в результате прохождения через оптическую систему лучей, распространяющихся от объекта, и воспроизводящая его контуры и детали. При практич. использовании И. о. часто меняют масштаб изображения предметов при проецировании на к.-л. поверхность (киноэкран, фотоплёнку, фотокатод и т. п.). Основой зрит, восприятия предмета является его И. о., спроецированное на сетчатку глаза. <Макс. соответствие изображения объекту достигается, когда каждая его точка изображается точкой. Иными словами, после всех преломлений и отражений в оптич. системе лучи, испущенные светящейся точкой, должны пересечься в одной точке. Однако это возможно не при любом расположении объекта относительно системы. Напр., системы, обладающие осью симметрии ( оптической осью), дают точечные И. о. лишь тех точек, к-рые находятся на небольшом удалении от оси, в т. н. параксиальной области. Применение законов геометрической оптики позволяет определить положение И. о. любой точки из параксиальной области; для этого достаточно знать, где расположены кардинальные точки оптической системы. Совокупность точек, И. о. к-рых можно получить с помощью оптич. системы, образует пространство объектов, а совокупность точечных изображений этих точек - пространство изображений. <И. о. разделяют на действительные и мнимые. Первые создаются сходящимися пучками лучей в точках их пересечения. Поместив в плоскости пересечениялучей экран или фотоплёнку, можно наблюдать на них действительное И. о. В др. случаях лучи, выходящие из оптич. системы, расходятся, но если их мысленно продолжить в противоположную сторону, они пересекутся в одной точке. Эту точку наз. мнимым изображением точки-объекта; т. к. она не соответствует пересечению реальных лучей, то мнимое И. о. невозможно получить на экране или зафиксировать на фотоплёнке. Однако мнимое И. о. способно играть роль объекта по отношению к др. оптич. системе (напр., глазу или собирающей линзе), к-рая преобразует его в действительное. Оптич. объект представляет собой совокупность светящихся собственным или отражённым светом точек. Зная, как оптич. система изображает каждую точку, легко графически построить и изображение объекта в целом. <И. о. действительных объектов в плоских зеркалах - всегда мнимые (рис., а); в вогнутых зеркалах и собирающих линзах они могут быть как действительными, Образование оптических изображений: а - мнимого изображения М' точки М в плоском зеркале; б - мнимого изображения М' точки М в выпуклом сферическом зеркале; в - мнимого изображения М' точки М и действительного изображения Л " точки N в вогнутом сферическом зеркале; г - действительного А'В' и мнимого М' изображений предметов АВ и МN в собирающей линзе; д - мнимого изображения M'N' предмета MN в рассеивающей линзе; i,j - углы падения лучей; i', j'- углы отражения; С - центры сфер; F, F'- фокусы линз.

так и мнимыми, в зависимости от положения объектов относительно фокуса зеркала или линзы (рис., в, г). Выпуклые зеркала и рассеивающие линзы дают только мнимые И. о. действительных объектов (рис., б, д). Положение и размеры И. о. зависят от характеристик оптич. системы и расстояния между нею и объектом (см. Увеличение оптическое). Лишь в случае плоского зеpкала И. о. по величине всегда равно объекту. <Если точка-объект находится не в параксиальной области, то исходящие из неё и прошедшие через оптич. систему лучи не собираются в одну точку, а пересекают плоскость изображения в разных точках, образуя аберрационное пятно (см. Аберрации оптических систем); размеры этого пятна зависят от положения точки-объекта и конструкции системы. Безаберрационными (идеальными) оптич. системами, дающими точечное изображение точки, являются только плоские зеркала. При конструировании оптич. систем аберрации исправляют, т. е. добиваются того, чтобы аберрац. пятна рассеяния не ухудшали в заметной степени картины изображения; однако полное уничтожение аберраций невозможно. <Сказанное выше строго справедливо лишь в рамках геом. оптики (не учитывающей волновых явлений, напр, дифракции света), к-рая является хотя идостаточно удовлетворительным во мн. случаях, по всё-таки лишь приближённым способом описания явлений, происходящих в оптнч. системах. Более детальное рассмотрение микроструктуры И. о., принимающее во внимание волновую природу света, показывает, что изображение точки даже в идеальной (безаберрац.) системе представляет собой не точку, а сложную дифракц. картину (подробнее см. в ст. Разрешающая способность оптич. приборов).Для оценки качества И. о., получившей большое значение в связи с развитием фотогр., телевиз. и пр. методов, существенно распределение плотности световой энергии в изображении. С этой целью используют особую характеристику-контраст К=(Е _макс-E _мин).( Е _макс+E _мин)^-1, где E _мин и E _макс - наименьшее и наибольшее значение освещённости в И. о. стандартного тест-объекта; за такой объект обычно принимают решётку, яркость к-рой меняется по синусоидальному закону с частотой R (число периодов решётки на 1 мм). Контраст К зависит от R и направления штрихов решётки. Ф-ция К (R )наз. частотно-контрастной характеристикой. Чем меньше К при заданной R, тем хуже качество И. о. в данной системе. Лит.: Тудоровский А. И., Теория оптических приборов, 2 изд., т. 1, М.- Л., 1948; Слюсарев Г. Г., Методы расчета оптических систем, 2 изд., Л., 1969, гл. 10; Марешаль А., Франсон М., Структура оптического изображения, пер. с франц., М., 1964. Г. Г. Слюсарев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Кафедра радиофизики

Зав.кафедрой Сажин В.И.

Курсовая работа

Лучи в планарном волноводе

Руководитель

профессор Тинин М.В.

Студент гр.1323

Евстигнеев П.А.

Работа защищена

с оценкой .

“”1999г.

Протокол№.

Нормоконтролёр

Акатова Л.А.

Иркутск1999.

Содержание

Введение 4

Краткий теоретический курс. 7

1. Планарные волноводы. 7

2. Построение лучевой траектории. 9

3. Лучевой инвариант. 12

4. Лучевые параметры. 13

5. Время прохождения луча. 16

6. Параксиальное приближение. 17

7. Параболический профиль. 19

Практическое моделирование. 21

Заключение 23

Список используемых источников 24

Приложение 1. 25

Приложение 2. 26

Листинг программы 27

Пример работы программы 28

Введение

В конце70-х начале 80-х годов в мире произошёл информационный бум. С начала информацию передавали по проводным линиям связи(попросту говоря по средствам электрических импульсов). Но с передачей сигнала по проводам возникали множественные проблемы да и качество связи желала лучшего. Свет же позволил человеку повысить скорость передачи информации,да и влияний на него меньше. Человек научился использовать свет, направлять его куда это ему необходимо. Это происходит по средствам оптических волноводов,которые имеют неоднородный коэффициент преломления. За счёт этой неоднородности и происходит направление луча свет в нужное “русло”. В данной работе рассматривается принципы и законы, по которым распространяется свет в оптических волокнах, на примере планарного волновода.

Оптические волноводы- это диэлектрические структуры, по которым может распространяться электромагнитная энергия в видимой и инфракрасной областях спектра. Реальные волноводы, используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокна из прочных диэлектрических материалов.Поперечное сечение таких волоконных световодов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса. Обычно состоит из трёх областей: центральная область – сердцевина– окруженаоболочкой,которая, в свою очередь, окружена защитным покрытием.Показатель преломления сердцевины nможет быть постоянным или изменяться по сечению (зависимо от профиля волновода),показатель преломления оболочки обычно постоянен по сечению. Два случая,соответствуют ступенчатому и градиентному профилям показателя преломления. Чтобы волновод имел направляющие свойства необходимо, чтобы показатель преломления сердцевины хотя бы в части сечения превосходил показатель преломления оболочки. В основном вся энергия(информация) передаётся по сердцевине и лишь её малая часть – по оболочке.Покрытие полностью оптически изолировано от сердцевины, поэтому мы пренебрежём её влиянием и при анализе предположим,что оболочка снаружи не ограничена.

Оптическиеволноводы можно условно разделить на две группы – многомодовые(с относительно большим поперечным размером сердцевины) и одномодовые(с относительно малым поперечным размером сердцевины). Для многомодовых волноводов справедливо условие,гдеρ– характерный размер сердцевины, например радиус сердцевины волоконного световода, λ– длина волны света в свободном пространстве, n_c0–максимальное значение показателя преломления сердцевины, а n_c1– показатель преломления оболочки.

Распространение электромагнитных волн по оптическим волноводам может быть описано строго с помощью уравнений Максвелла. Однако хорошо известно, что классическая геометрическая оптика даёт приближённое описание распространения света в среде,где показатель преломления слабо изменяется на расстояниях порядка длины волны света. Это условие обычно выполняется для многомодовых оптических волноводов,используемых в системах связи. Таким образом, наиболее прямой и наглядный способ описания распространения света в многомодовых волноводах – с помощью лучей, распространяющихся по сердцевине.