5.Время прохождения луча.

Время прохождения луча в волноводах с градиентным профилем определяет­ся интегралом вдоль искривленной траектории луча (см. рис. 3).Локаль­ная скорость света непрерывно изменяется по закону c/п(х),где с— ско­рость света в свободном пространстве и п(х)- профиль показателя прелом­ления. Следовательно,время прохождения луча на расстояниеzвдоль оси волновода определяется интегральным выражением

.

(5.1)

Оно получено с помощью уравнения (3.1). Здесь интегрирование выполня­ется вдоль кривой х=х(z).Этот интеграл не имеет простого представле­ния, но его можно аппроксимировать. Из (4.4) следует, что время про­хождения луча на расстояние,равное полупериоду траектории z_p,и состав­ляет,гдеL₀— оптическая длина пути. Таким образом, если zточно кратно полупериоду траектории,то время прохождения луча можно пред­ставить выражением

.

(5.2)

В общем случае zне кратно z_p,однако приz>>z_pвыражение (5.2) может служить достаточно точным приближением для (5.1).

Выравнивание времени прохождения.В волноводах с градиентным профи­лем происходит выравнивание времени прохождения для различных лучей, что легко объяснить. Так как п(х)уменьшается при удалении от оси, то чем дальше от оси распространяется луч, тем больше локальная скорость света с/п(х).Такое увеличение скорости частично компенсирует увеличение длины пути неосевых лучей.

6. Параксиальное приближение.

Оптические волноводы, используемые в технике связи,обычно являются сла­бонаправляющими,то есть перепад между максимумом и минимумом показа­теля преломления в поперечном сечении мал и обычно не превосходит 1%от максимального значения. Рассмотрим некоторые особенности такого приближения применительно к лучевому анализу.

Если максимальное и минимальное значения показателя преломления близ­ки, то из (2.6) следует, что критические углы скольжения θ_си θ_с(0)малы и справедливо следующее соотношение:

(6.1)

аналогичное соотношение получается для θ_с(0).Таким образом, интервал углов направляемых лучей в (2.7а)мал, и любой направляемый луч распространяется почти параллельно оси. Такое приближение называет­сяпараксиальным.

Параксиальное приближение не приводит к упрощению уравнений (2.2), поскольку, как видно из(4.3),β— константа,а п(х)принимает значения, уменьшающиеся вплоть до β.Однако оно позволяет упростить выражения для длины путиz_pв (4.5) при использовании указанной ниже аппроксима­ции. Профиль может быть описан следующим образом:

,

(6.2)

где и n_c0— максимальное значение показателя преломления,f(x)—неотрица­тельная функция, а Δ—константа, определяемая с учетом (2.6)соотношением

(6.3)

В однородной оболочке п(х)=п_c1,аf(х)=1.Такое определение Δпредпола­гает выполнение условияΔ<<1в приближении слабонаправляющего вол­новода, то есть условия n_c0≈п_c1.Таким образом, в низшем порядке прибли­жения величина Δпредставляет собой относительный перепад между п_c0иn_c1

или ,

(6.4)

и характеризует относительную высоту профиля, поэтому параметр Δбудем называть параметром высоты профиля.ПриΔf(x)<<1из (6.2) получа­ем приближенное соотношение

,

(6.5)

которое будет использовано при определенииL_Pниже.