2.1.7. Ускорение точки
M(t) |
|
|
• |
Как определить быстроту изменения |
|
|
|||||||
v(t) |
• |
скорости точки? |
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть материальная точка М движется |
|
|||||||||||
v(t t) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
вдоль траектории |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
M(t+ t) |
• Определим приращение скорости за |
|
|
|||||||||
|
|
v(t t) |
время t |
|
|
|
|
|
|
v |
|||
|
|
• Определим среднее ускорение aav |
t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Переходя здесь к пределу t → 0, получим мгновенное ускорение |
|
|
|||||||||||
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
a lim aav lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
dt |
v |
r |
|
|
|
||||
|
|
t 0 |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
• Таким образом, ускорение точки – это векторная кинематическая величина, характеризующая быстроту изменения ее скорости и равная первой производной от скорости или второй производной от радиус-вектора по времени
. ОПРЕДЕЛЕН Е ССС |
91 |
2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ |
|
2.1.8. Тангенциальное и нормальное ускорение
Т.о., |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
s |
|
v |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n v |
|
n |
v n, |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
a a an s |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ω = v/ρ
a |
– тангенциальное ускорение, характеризующее изменение |
|||||||||||||||
|
скорости по величине |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
an |
– нормальное ускорение, характеризующее изменение |
|||||||||||||||
|
скорости по направлению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
v |
4 |
/ |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
a a |
an |
v |
|
|
v |
|
|
|
|||||||
. ОПРЕДЕЛЕН Е ССС |
92 |
2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ |
|
2.1.9. Оси естественного трехгранника
|
|
Спрямляющая |
В этой системе координат |
|||||||
|
|
плоскость |
|
|
|
dr |
|
dr ds |
|
v |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
dt |
ds dt |
s |
|||
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
||
O + |
b |
|
|
|
|
vn vb 0 |
|
|||
– |
n |
|
Аналогично ускорение |
|
||||||
b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a a |
an a ann |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
n |
ab 0 |
Нормальная Соприкасающаяся плоскость плоскость
. ОПРЕДЕЛЕН Е ССС |
93 |
2.1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ |
|
II.Кинематика
2.2.Кинематика ТТ
94
2.8. Кинематика ТТ
•Задание движения твердого тел
•Степени свободы
•Поступательное движение твердого тела
•Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
•Угловая скорость и угловое ускорение
•Скорость и ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг оси
•Вращательное и центростремительное ускорения
•Равномерное и равноускоренное вращение твердого тела вокруг оси
•Движение твердого тела с одной неподвижной точкой
•Сферическое движение
•Произвольное движение твердого тела
12.24..КИНЕМАТИКАОССВЯЗИОВНЫЕИ РЕАКЦИИПОНЯТИЯСВЯЗЕЙИ МОДЕЛИ |
95 |
2.2.1. Задание движения ТТ
|
z |
|
rk1 |
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
r1 |
rk |
|
|
|
|
||
|
O |
|
y |
|
x |
|
|
||
• Пусть задан закон движения |
||||
|
||||
•Пусть дано твердое тело (ТТ)
•По определению это совокупность материальных точек, расстояние между которыми фиксированы и не меняются со временем
•Закон движения скольки точек нужно задать, чтобы определить движение ТТ?
r1 r1(t) 
• Радиус-вектор произвольной точки k твердого тела равен
rk (t) r1 |
(t) rk1 |
(t) |
|
|
|
|
0 |
• Модуль вектора rk1 постоянен, но относительная скорость rk1 |
|||
•Таким образом, знание кинематических характеристик одной точки твердого тела не позволяет определить кинематические характеристики любой другой его точки
2.21. КИНЕМАТИКАОПР ДЕЛЕНИЕТТССС |
96 |
|
|
2.2.2. Степени свободы
•Положение трех точек твердого тела в произвольный момент времени характеризуется девятью координатами
xi xi (t), yi yi (t), zi zi (t), i = 1, 2, 3
Поскольку, однако, в твердом теле расстояния между любыми двумя его точками постоянны, то эти координаты связаны тремя условиями
(x |
2 |
x )2 |
(y |
2 |
y )2 |
(z |
2 |
z )2 |
r |
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
21 |
|||||||
(x |
3 |
x )2 |
( y |
3 |
y )2 |
(z |
3 |
z )2 |
r |
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
31 |
||||||||
(x |
3 |
x |
2 |
)2 |
( y |
3 |
y |
2 |
)2 |
(z |
3 |
z |
2 |
)2 |
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
||||||
Число независимых параметров (или координат), определяющих положение системы в пространстве, называется числом степеней свободы
2.21. КИНЕМАТИКАОПР ДЕЛЕНИЕТТССС |
97 |
2.2.3. Поступательное движение ТТ
Поступательным называется такое движение тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, остается
впроцессе движения параллельной самой себе
•Очевидно, любое прямолинейное движение твердого тела является поступательным
А 
В
•Однако есть примеры поступательных движений, когда траектории отдельных его точекС вовсе не являютсяDпрямыми линиями
•Cпарник АВ при вращении кривошипов АС и BD также движется поступательно, он остается параллельным самому себе
2.21. КИНЕМАТИКАОПР ДЕЛЕНИЕТТССС |
98 |
2.2.4. Теорема о кинематических характеристиках
При поступательном движении твердого тела все его точки описывают конгруэнтные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения
|
|
|
rАВ |
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
||||
z |
|
А |
В |
|
• |
Для любых двух точек А и В |
|
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
rB (t) rA (t) rАВ (t) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
rА |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
rВ |
|
|
|
drB |
drA |
drAB |
|
drA |
|
или |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O |
|
|
|
y |
|
|
dt |
dt |
dt |
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
vB (t) vA (t) |
|
|
|
aB (t) aA (t) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
•Таким образом, траектория точки В получается из траектории точки А простым сдвигом на постоянный
вектор rАВ , это и означает, что траектории конгруэнтны (при наложении совпадают)
2.21. КИНЕМАТИКАОПР ДЕЛЕНИЕТТССС |
99 |
2.2.5. Вращательное движение ТТ
|
z |
z1 |
|
• |
Положение твердого тела полностью опреде- |
|
A |
|
|||
|
|
|
|
лится углом поворота φ этого тела вокруг оси |
|
|
|
B(t) |
|
|
|
|
|
|
• |
Введем подвижную систему координат Ox1 y1z1, |
|
|
K |
φ |
B(0) |
||
|
|
|
связанную с телом |
||
|
|
|
|
• |
Угол поворота φ тогда можно определить как |
|
O |
|
|
y1 |
угол, образуемый между осями в плоскости ху |
|
|
φ |
y |
• При повороте тела на угол φ точка В |
|
|
|
|
|
поворачивается вокруг оси также на этот угол |
|
x |
φ |
|
• Закон движения произвольной точки тела определяется |
||
x1 |
|
||||
|
|
|
тогда уравнением |
||
(t)
Это уравнение называется законом вращательного
движения твердого тела
ВЕКТОРНЫЙ1. ОПРЕДЕЛЕНСПОСОБЕ ССС |
ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. |
100 |
2.2. КИНЕМАТИКА ТТ |
|
|