Одношаговые итерационные методы
Зададим вектор начального приближения:
xi 0 0 ,i=1,…n
Следующие приближения ищем по формулам:
k 1 |
k |
β, |
k 0, 1, 2, ... |
x |
α x |
Итерации останавливаем, когда невязка r станет меньше
заданной точности : |
|
|
|
r |
|
max |
|
xk xk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 i n |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
МЕТОД ЯКОБИ
МАТРИЦА МЕТОДА:
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
, i j |
|
|
f |
i |
|
|
|
|
|
|||||
αij |
|
A |
|
, |
βi |
|
, i 1, 2, ..., n |
|
|
|
Aii |
||||||
|
|
ii |
i j |
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
|
||
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДА:
условие диагонального преобладания для исходной матрицы A :
Aii |
|
n |
|
Aij |
|
i 1,2,...,n |
|
|
|
||||
|
|
|||||
|
||||||
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
40
МЕТОД РЕЛАКСАЦИИ
|
x x Ax b |
0 |
Ax b |
x αx β
|
1 A ,i j |
|
b, |
i 1,2,...,n |
||
|
ij |
, |
||||
ij |
A , |
i j |
i |
i |
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
ПАРАМЕТР ПОДБИРАЕМ ТАК, ЧТОБЫ МЕТОД СХОДИЛСЯ
41
Одношаговые итерационные
|
методы |
(k ) |
|
|||
|
|
(k 1) |
|
|||
Канонический вид |
B ( k 1) |
x |
x |
Ax(k ) b |
||
(k 1) |
||||||
A A1 D A2 |
|
|
||||
D – диагональная матрица, |
||||||
|
A1 – левая треугольная, |
|||||
A2– правая треугольная
42