МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП
Состоит из m шагов.
Для приведения матрицы к треугольному виду используются ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ преобразования расширенной матрицы:
•перестановка строк,
•умножение строки на ненулевую константу,
•сложение строк
9
МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ 1
|
|
0 |
|
x1 |
|
0 |
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
a11 |
|
a12 |
|
... a1m xm |
f1 |
|||||||||
Исходная система: |
a |
0 |
x |
a |
0 |
x |
|
... a |
0 x |
|
f |
0 |
|||
|
21 |
|
1 |
|
22 |
|
|
2 |
... |
2m |
|
m |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
x |
a |
0 |
x |
2 |
... a |
0 |
x |
m |
f 0 |
|||
|
|
m1 1 |
|
m2 |
|
|
mm |
|
|
m |
|||||
Пусть a110 0
Разделим на этот элемент первую строку и исключим x1 из всех последующих строк :
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
a12 x2 |
|
... a1m xm |
|
|
f1 |
|
|
||
x1 |
|
|
|
0 |
|
||||
|
a221 x2 |
... a21m xm |
|
f2 1 |
|
… |
|
||
|
|
|
... |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
Матрица СЛАУ |
||
|
am2 x2 |
... amm xm |
fm |
||||||
10
МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ 2
Исходная матрица
1 |
|
a221 0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
0 |
|
|
0 |
|
|
… |
|
. . . |
… |
… |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ m
0
11
МЕТОД ГАУССА
ОБРАТНЫЙ ЭТАП: РЕШЕНИЕ СЛАУ С ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ
|
|
|
x1 a121 x2 a131 x3 ... a11m xm |
f1 1 |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
x2 a23 |
x3 ... a2m xm |
|
f2 |
||
|
|
|
|
|
|
x3 ... a33m xm f3 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
xm |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
fm |
||
xm |
fmm |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
fmm1 1 amm1,1m xm |
|
|
|
|
|
||
xm 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f |
1 a 1 x |
2 |
a 1 x |
3 |
... a 1 x |
m |
|
|
|
1 |
|
1 |
12 |
13 |
1m |
|
|
|||
12