Симметричные матрицы
A = AT
Метод Холецкого (квадратного корня)
• Симметричная матрица может быть разложена в произведение треугольных матриц A =L LT
•В MathCAD есть функция cholesky(A)
•Исходная система решается в два этапа, на каждом необходимо обращать треугольную матрицу:
A x = b L LT x |
Обозначим y = LT x |
|
Решим СЛАУ1 |
L y = b, найдем вектор y |
|
Решим СЛАУ2 |
LT x = y, найдем вектор x |
|
27
Метод Q R разложения
•Ортогональные матрицы: QT Q = E
•Произвольную квадратную матрицу можно представить
как A = Q R
Q – ортогональная матрица
R – правая (верхняя) треугольная матрица
•В MathCAD есть функция qr(A)
• A x = b A = Q R x Обозначим |
y = R x |
• Решаем СЛАУ1 с ортогональной матрицей Q y = b, находим вектор y = QT b
• Решаем СЛАУ2 с треугольной матрицей
28
Метод L U разложения
•Обобщение метода Гаусса
•Матрица перестановок P: элементы матрицы 0 и 1
•В каждой строке и в каждом столбце только один ненулевой элемент
•Произвольную квадратную матрицу можно представить
|
как P A = |
L U |
|
P – матрица перестановок |
|
|
U – правая (верхняя) треугольная матрица |
|
|
L – левая (нижняя) треугольная матрица |
|
• В MathCAD есть функция lu(A) |
||
• |
СЛАУ: P A x = P b L U x = P b |
|
• |
Обозначим |
y = U x |
•Решаем СЛАУ1: L y = P b , находим вектор y
•Решаем СЛАУ2: U x = y, находим вектор x
29
МЕТОД ПРОГОНКИ
ВАРИАНТ МЕТОДА ГАУССА ДЛЯ СЛАУ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ТОЧНЫЙ, ЭКОНОМИЧНЫЙ МЕТОД
ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ЛЕНТОЧНЫМИ (ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫМИ) МАТРИЦАМИ
ВСЕ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОСРЕДОТОЧЕНЫ НА ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ И ДВУХ БЛИЖАЙШИХ К НЕЙ
0 |
0 |
30