МЕТОД ГАУССА

КОЛИЧЕСТВО ОПЕРАЦИЙ m3

КОЛИЧЕСТВО ОПЕРАЦИЙ НА ОДНУ НЕИЗВЕСТНУЮ

m2

ПОНЯТИЕ ЭКОНОМИЧНОГО МЕТОДА:

КОЛИЧЕСТВО ОПЕРАЦИЙ НА ОДНУ НЕИЗВЕСТНУЮ НЕ ЗАВИСИТ ОТ ЧИСЛА НЕИЗВЕСТНЫХ

МЕТОД ГАУССА НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЭКОНОМИЧНЫМ, ПОЭТОМУ НЕ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ПРИ m>40

ПРИМЕР 1

Метод Гаусса-Жордано

• Позволяет исследовать и решать недоопределенные, переопределенные, вырожденные СЛАУ

Если все уравнения независимы, то задача неразрешима.

Исследуем систему с помощью метода Гаусса-Жордано

Пример 2

Составляем таблицу:

•Выберем разрешающий элемент a11

•Выполним преобразования Гаусса –Жордано относительно этого разрешающего элемента.

•Все элементы столбца надо превратить в 0,

прибавляя или отнимая разрешающий элемент

Пример 3

Решить СЛАУ: 2 x1 0 x2 1 x3 1 x4 1

3 x1 1 x2 1 x3 0 x4 2 5 x1 1 x2 2 x3 1 x4 3 1 x1 1 x2 0 x3 1 x4 1

Число неизвестных n= 4 Число уравнений m=4

Решим систему с помощью метода Гаусса-Жордана

Пример 3

Исходная таблица

Шаг 1: переменная x2 – в базис

Шаг 2: переменная x4 – в базис

Пример 3

Шаг 2: переменная x4 – в базис

СЛАУ в векторной форме:

Две строки нулевые, отбрасываем их

x1 2 x2 0 x3 1 x4 1 13 1 1 0 2

базисные вектора

Пример 3

x1 2 x2 0 x3 1 x4 1 13 1 1 0 2

базисные вектора

Выражаем базисные переменные через свободные

x4 1 2 x1 x3 x2 2 3 x1 x3

Получили общее решение, зависящее от двух параметров – x1. x3, изменяя которое получим множество всех решений СЛАУ

Метод Гаусса Жордано

•Если в результате преобразований получены одинаковые строки, то одну из них можно отбросить, т.е. сократить число уравнений

•Если число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений

•Общее решение СЛАУ зависит от параметров (свободных переменных), которые могут принимать произвольные значения

•Если в результате преобразований все коэффициенты в левой части занулились, а правые части остались ненулевыми, система несовместна (не имеет решений)